Diagramme de Bode d'un Circuit RLC

Contexte : L'analyse fréquentielle des circuits électriques.

L'étude de la réponse d'un circuit à différentes fréquences est fondamentale en électronique. Elle permet de caractériser le comportement de systèmes complexes, notamment les filtres. Le Diagramme de BodeUne représentation graphique de la réponse en fréquence d'un système. Il se compose de deux graphiques : le gain (en décibels) et la phase (en degrés), tous deux en fonction de la fréquence sur une échelle logarithmique. est l'outil privilégié pour cette analyse. Cet exercice se concentre sur un circuit RLC passe-bas du second ordre, un montage classique qui illustre des concepts clés comme la résonance et l'amortissement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans la construction et l'interprétation d'un diagramme de Bode, en différenciant l'approche asymptotique (simplifiée) de la courbe réelle. C'est une compétence essentielle en traitement du signal, en automatique et en conception de circuits.

Objectifs Pédagogiques

Établir la fonction de transfert d'un circuit RLC du second ordre.
Identifier la pulsation propre et le facteur d'amortissement.
Construire le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase).
Calculer les corrections pour tracer le diagramme de Bode réel.
Analyser l'influence des composants sur la réponse fréquentielle du filtre.

Données de l'étude

On s'intéresse au circuit RLC série ci-dessous, alimenté par une tension sinusoïdale $v_e(t)$. La tension de sortie $v_s(t)$ est mesurée aux bornes du condensateur. Ce circuit agit comme un filtre passe-bas.

Schéma du circuit RLC passe-bas

Composant	Symbole	Valeur
Résistance	R	$50 \text{ } \Omega$
Inductance	L	$20 \text{ mH}$
Capacité	C	$5 \text{ µF}$

Questions à traiter

Déterminer la fonction de transfert complexe $H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e}$.
Mettre la fonction de transfert sous forme canonique d'un système du second ordre.
Identifier la pulsation propre $\omega_0$ et le facteur d'amortissement $\zeta$, puis calculer leurs valeurs.
Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques pour le gain et la phase.
Calculer la valeur exacte du gain en dB à $\omega_0$ et en déduire l'allure du diagramme de Bode réel.

Les bases de l'analyse fréquentielle

1. Fonction de Transfert
La fonction de transfert $H(j\omega)$ d'un circuit est le rapport entre la sortie et l'entrée en régime sinusoïdal permanent. Elle est généralement une fonction complexe de la pulsation $\omega = 2\pi f$. \[ H(j\omega) = \frac{V_s(j\omega)}{V_e(j\omega)} \]

2. Diagramme de Bode
Il représente graphiquement la fonction de transfert.

Le gain en décibels (dB) : $G_{\text{dB}}(\omega) = 20 \log_{10} |H(j\omega)|$
La phase en degrés : $\phi(\omega) = \arg(H(j\omega))$

L'axe des fréquences (ou pulsations) est toujours en échelle logarithmique.

3. Forme Canonique du 2nd Ordre
Un système passe-bas du second ordre a une fonction de transfert qui peut s'écrire sous la forme : \[ H(j\omega) = \frac{H_0}{1 - \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 + 2j\zeta\frac{\omega}{\omega_0}} \] Où $H_0$ est le gain statique, $\omega_0$ la pulsation propre et $\zeta$ le facteur d'amortissement.

Correction : Diagramme de Bode d'un Circuit RLC

Question 1 : Déterminer la fonction de transfert complexe $H(j\omega)$

Principe

Pour trouver la fonction de transfert, on utilise le modèle du circuit en régime sinusoïdal forcé, en remplaçant chaque composant par son impédance complexe. La relation entre sortie et entrée est alors obtenue par un pont diviseur de tension.

Mini-Cours

En régime sinusoïdal, on utilise la notation complexe. Une tension $v(t) = V\cos(\omega t + \phi)$ est représentée par le phaseur $V e^{j\phi}$. Les composants passifs (R, L, C) sont caractérisés par leur impédance $Z$, qui est le rapport de la tension à leurs bornes sur le courant qui les traverse, en notation complexe ($Z = V/I$). Cette approche transforme les équations différentielles temporelles en simples équations algébriques.

Remarque Pédagogique

Le pont diviseur de tension est une technique extrêmement utile et rapide pour analyser des circuits en série. Il faut toujours s'assurer que le courant qui sort du pont (ici, vers l'appareil de mesure de $v_s$) est négligeable pour que la formule soit valide.

Normes

L'utilisation de la transformation de Fourier (et de son cas particulier, l'analyse par phaseurs pour le régime sinusoïdal) est la méthode normalisée internationalement pour l'analyse des circuits linéaires en régime fréquentiel. Elle est à la base de toutes les normes de télécommunication et de traitement du signal.

Formule(s)

Impédance de la résistance :

\[Z_R = R\]

Impédance de l'inductance :

Z_L = jL\omega

Impédance du condensateur :

Z_C = \frac{1}{jC\omega}

Pont diviseur de tension :

V_s = V_e \cdot \frac{Z_{\text{sortie}}}{Z_{\text{total}}}

Hypothèses

Le calcul est mené en supposant que les composants sont idéaux : la résistance est pure, l'inductance n'a pas de résistance série, et le condensateur n'a pas de courant de fuite.

Donnée(s)

Pour cette question, nous travaillons de manière symbolique. Aucune valeur numérique n'est requise. Les données sont les symboles R, L et C.

Astuces

Pour se débarrasser des fractions complexes, une bonne astuce est de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction principale par le dénominateur de la sous-fraction (ici, $jC\omega$).

Schéma (Avant les calculs)

Circuit RLC avec impédances

Calcul(s)

Application du pont diviseur :

\begin{aligned} H(j\omega) &= \frac{V_s}{V_e} \\ &= \frac{Z_C}{Z_R + Z_L + Z_C} \\ &= \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + jL\omega + \frac{1}{jC\omega}} \end{aligned}

Simplification de l'expression :

\begin{aligned} H(j\omega) &= \frac{1}{jRC\omega + (j\omega)^2LC + 1} \\ &= \frac{1}{1 - LC\omega^2 + jRC\omega} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Système en boîte noire

Réflexions

L'expression obtenue contient un terme constant, un terme en $j\omega$ et un terme en $\omega^2$ (ou $(j\omega)^2$). La présence du terme de plus haut degré au carré ($\omega^2$) au dénominateur nous indique qu'il s'agit bien d'un système du second ordre, comme attendu pour un circuit avec deux éléments stockant de l'énergie (L et C).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mal manipuler les nombres complexes, notamment le terme $j^2 = -1$. C'est ce qui fait apparaître le signe négatif devant le terme $LC\omega^2$.

Points à retenir

Pour trouver une fonction de transfert : 1. Passer en notation complexe (impédances). 2. Utiliser les lois de circuits classiques (loi d'Ohm, ponts diviseurs, Millman, etc.). 3. Isoler le rapport $V_s/V_e$.

Le saviez-vous ?

La méthode des phaseurs et des impédances complexes a été popularisée par Charles Proteus Steinmetz, un ingénieur de General Electric, à la fin du 19ème siècle. Elle a révolutionné l'analyse des circuits en courant alternatif (AC), qui était jusqu'alors extrêmement fastidieuse.

FAQ

Résultat Final

La fonction de transfert du circuit est : $H(j\omega) = \frac{1}{1 - LC\omega^2 + jRC\omega}$

A vous de jouer

En utilisant la même méthode, quelle serait la fonction de transfert si la sortie était prise aux bornes de la résistance R ?

Question 2 : Mettre la fonction de transfert sous forme canonique

Principe

Il s'agit de réarranger l'expression de $H(j\omega)$ pour la faire correspondre parfaitement à la forme canonique d'un système du second ordre. Cette forme standardisée permet d'identifier directement les paramètres dynamiques clés du système, $\omega_0$ et $\zeta$.

Mini-Cours

La forme canonique est une "carte d'identité" pour les systèmes dynamiques. Pour un système du 2nd ordre, $\omega_0$ représente sa "vitesse" de réaction naturelle, tandis que $\zeta$ représente sa tendance à "freiner" les oscillations. Quel que soit le système physique (mécanique, électrique, hydraulique), s'il peut être décrit par la même forme canonique, son comportement dynamique sera similaire.

Remarque Pédagogique

L'objectif est de faire apparaître les termes $\frac{\omega}{\omega_0}$. Pour cela, la première étape est de s'assurer que le terme constant du dénominateur est égal à 1, ce qui est déjà le cas ici. Ensuite, on identifie le coefficient du terme en $\omega^2$ pour trouver $\omega_0$.

Normes

La forme canonique $H(s) = \frac{\omega_0^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0 s + \omega_0^2}$ (en utilisant la variable de Laplace $s=j\omega$) est une convention standard dans tous les domaines de l'ingénierie, en particulier en automatique (Control Theory) pour l'étude de la stabilité et de la performance des systèmes asservis.

Formule(s)

La forme canonique à atteindre pour un filtre passe-bas du 2nd ordre est :

H(j\omega) = \frac{H_0}{1 - \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 + 2j\zeta\frac{\omega}{\omega_0}}

Hypothèses

Ceci est une manipulation purement algébrique. Aucune nouvelle hypothèse physique n'est nécessaire.

Donnée(s)

La fonction de transfert à mettre en forme canonique est :

H(j\omega) = \frac{1}{1 - LC\omega^2 + jRC\omega}

Astuces

Pour identifier les termes, procédez par ordre de puissance de $\omega$. Le terme en $\omega^2$ donne $\omega_0$, puis le terme en $\omega$ donne $\zeta$. C'est la méthode la plus directe.

Schéma (Avant les calculs)

Objectif : Forme Canonique

Calcul(s)

Identification du terme en $\omega^2$ :

\begin{aligned} \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 &= LC\omega^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{\omega_0^2} &= LC \\ \Rightarrow \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{aligned}

Identification du terme en $j\omega$ :

\begin{aligned} 2j\zeta\frac{\omega}{\omega_0} &= jRC\omega \\ \Rightarrow 2\zeta\frac{1}{\omega_0} &= RC \\ \Rightarrow \zeta &= \frac{RC\omega_0}{2} \end{aligned}

Substitution de $\omega_0$ dans l'expression de $\zeta$ :

\begin{aligned} \zeta &= \frac{RC}{2} \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{R}{2}\frac{\sqrt{C^2}}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Influence de $\zeta$ sur la réponse

Réflexions

Cette mise en forme est cruciale. Elle montre que la pulsation propre $\omega_0$ ne dépend que des composants réactifs (L et C), qui stockent l'énergie. Le facteur d'amortissement $\zeta$, lui, dépend des trois composants, car il représente la dissipation d'énergie (via R) par rapport à l'énergie stockée.

Points de vigilance

Une erreur fréquente est d'oublier le facteur 2 dans le terme $2j\zeta$. Assurez-vous de bien l'inclure dans votre identification. De même, ne confondez pas $\omega_0^2$ et $\omega_0$.

Points à retenir

La forme canonique d'un système du second ordre est définie par deux paramètres fondamentaux : sa pulsation propre $\omega_0$ et son facteur d'amortissement $\zeta$. Savoir les extraire d'une fonction de transfert est une compétence clé.

Le saviez-vous ?

Le concept de "forme canonique" ou "forme normale" est très puissant en mathématiques et en physique. Il s'agit de trouver la manière la plus simple et la plus universelle de représenter un objet mathématique, en éliminant les détails superflus pour ne garder que ses caractéristiques essentielles.

FAQ

Résultat Final

La forme canonique est $H(j\omega) = \frac{1}{1 - (\frac{\omega}{\omega_0})^2 + 2j\zeta\frac{\omega}{\omega_0}}$, avec $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$.

A vous de jouer

Sachant que la fonction de transfert aux bornes de l'inductance L est $H_L(j\omega) = \frac{-LC\omega^2}{1-LC\omega^2+jRC\omega}$, mettez-la sous forme canonique. Quel est le gain statique $H_0$ dans ce cas ?

Question 3 : Identifier et calculer $\omega_0$ et $\zeta$

Principe

On utilise les formules établies à la question précédente et les valeurs numériques des composants pour calculer la pulsation propre et le facteur d'amortissement.

Mini-Cours

Le comportement dynamique d'un système du second ordre est dicté par la valeur de $\zeta$ :

Si $\zeta > 1$ : Régime sur-amorti (réponse lente sans oscillation).
Si $\zeta = 1$ : Régime critique (réponse la plus rapide sans dépassement).
Si $\zeta < 1$ : Régime sous-amorti (réponse rapide avec oscillations). C'est ce régime qui peut présenter une résonance.

Remarque Pédagogique

La conversion de toutes les valeurs dans les unités du Système International (Mètres, Kilogrammes, Secondes, Ampères...) est une étape non négociable avant tout calcul numérique. Oublier de convertir des mH en H ou des µF en F est la source d'erreur la plus fréquente.

Normes

L'utilisation du Système International d'unités (SI) est la norme mondiale en sciences et en ingénierie pour garantir la cohérence et la reproductibilité des calculs et des mesures.

Formule(s)

Les formules à appliquer sont :

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad \text{et} \quad \zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}

Hypothèses

Nous supposons que les valeurs des composants données dans l'énoncé sont précises et constantes.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité $\text{SI}$
Résistance	R	$50 \text{ } \Omega$	$50$
Inductance	L	$20 \text{ mH}$	$20 \times 10^{-3}$ H
Capacité	C	$5 \text{ µF}$	$5 \times 10^{-6}$ F

Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul avec les puissances de 10, calculez d'abord le produit $LC$ et le rapport $C/L$ avant de prendre la racine carrée. $LC = (20 \times 10^{-3}) \times (5 \times 10^{-6}) = 100 \times 10^{-9} = 10^{-7}$.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit avec valeurs numériques

Calcul(s)

Calcul de la pulsation propre $\omega_0$ :

\begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{(20 \times 10^{-3}) \times (5 \times 10^{-6})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{100 \times 10^{-9}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{10^{-7}}} \\ &= 10^{3.5} \\ &\approx 3162.3 \text{ rad/s} \end{aligned}

Calcul du facteur d'amortissement $\zeta$ :

\begin{aligned} \zeta &= \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} \\ &= \frac{50}{2}\sqrt{\frac{5 \times 10^{-6}}{20 \times 10^{-3}}} \\ &= 25\sqrt{0.25 \times 10^{-3}} \\ &= 25\sqrt{25 \times 10^{-5}} \\ &= 25 \times 5 \times 10^{-2.5} \\ &\approx 0.395 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Position des Pôles dans le Plan Complexe

Réflexions

Le facteur d'amortissement $\zeta \approx 0.395$ est inférieur à $1/\sqrt{2} \approx 0.707$. Cela indique que le système est sous-amorti et que le diagramme de Bode du gain présentera une surtension (un pic de résonance) autour de la pulsation propre $\omega_0$. La réponse temporelle à un échelon présenterait des oscillations.

Points de vigilance

Attention aux préfixes des unités ! milli (m) = $10^{-3}$, micro (µ) = $10^{-6}$. Une erreur ici fausserait complètement le résultat de $\omega_0$ et $\zeta$.

Points à retenir

La pulsation propre $\omega_0$ définit la "frontière" fréquentielle du système. Le facteur d'amortissement $\zeta$ définit la "forme" de la transition autour de cette frontière.

Le saviez-vous ?

Le phénomène de résonance n'est pas que électrique. Le pont du détroit de Tacoma, qui s'est effondré en 1940, est un exemple célèbre de résonance mécanique où la fréquence du vent correspondait à la fréquence propre de la structure du pont.

FAQ

Résultat Final

La pulsation propre est $\omega_0 \approx 3162 \text{ rad/s}$ (soit $f_0 \approx 503 \text{ Hz}$) et le facteur d'amortissement est $\zeta \approx 0.395$.

A vous de jouer

Recalculez le facteur d'amortissement $\zeta$ si la résistance est augmentée à $R=200 \Omega$. Le système devient-il plus ou moins amorti ?

Question 4 : Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques

Principe

On trace les asymptotes pour le gain et la phase en se basant sur le comportement de la fonction de transfert à très basse et très haute fréquence par rapport à la pulsation de coupure $\omega_0$. C'est une méthode rapide pour esquisser la réponse fréquentielle.

Mini-Cours

Le tracé asymptotique se base sur la décomposition de la fonction de transfert en termes simples (constantes, intégrateurs/dérivateurs, 1er ordre, 2nd ordre). Pour chaque terme, on trace ses asymptotes, puis on somme graphiquement (on ajoute) les contributions de chaque terme pour obtenir le diagramme final. Ici, nous avons un seul terme du 2nd ordre passe-bas.

Remarque Pédagogique

Repérez d'abord la pulsation de "cassure" $\omega_0$ sur l'axe des fréquences. Tracez ensuite les lignes droites (asymptotes) de part et d'autre de cette pulsation. C'est la façon la plus simple de commencer.

Normes

Le diagramme de Bode est un outil d'analyse graphique standardisé, universellement utilisé en ingénierie pour sa simplicité et son efficacité à visualiser le comportement fréquentiel d'un système.

Formule(s)

On utilise les approximations de $G_{\text{dB}}(\omega) = 20 \log_{10} |H(j\omega)|$ :

G_{\text{dB}} \approx \begin{cases} 0 \text{ dB} & \text{si } \omega \ll \omega_0 \\ -40 \log_{10}(\frac{\omega}{\omega_0}) & \text{si } \omega \gg \omega_0 \end{cases}

Hypothèses

On fait l'hypothèse que la transition entre les deux régimes (basse et haute fréquence) se fait brutalement à $\omega = \omega_0$. C'est l'essence même de l'approximation asymptotique.

Donnée(s)

La pulsation de cassure est :

\omega_0 \approx 3162 \text{ rad/s}

Astuces

Rappelez-vous : une décade correspond à un facteur 10 en fréquence (ex: de 100 à 1000 rad/s). Une pente de -40 dB/décade signifie que le gain chute de 40 dB chaque fois que la fréquence est multipliée par 10.

Schéma (Avant les calculs)

Grille vierge pour Diagramme de Bode

Calcul(s)

Le "calcul" ici est le tracé graphique qui résulte de l'analyse asymptotique. On trace une droite horizontale à 0 dB jusqu'à $\omega_0$, puis une droite de pente -40 dB/décade. Pour la phase, on trace une droite de $0^\circ$ jusqu'à $0.1\omega_0$, une pente de $-90^\circ$/décade jusqu'à $10\omega_0$, puis une droite à $-180^\circ$.

Schéma (Après les calculs)

Diagrammes de Bode Asymptotiques

Réflexions

Le diagramme de gain confirme bien le comportement passe-bas : les basses fréquences ($\omega < \omega_0$) passent avec un gain de 1 (0 dB), tandis que les hautes fréquences ($\omega > \omega_0$) sont atténuées. La phase montre que le signal de sortie est de plus en plus en retard par rapport à l'entrée à mesure que la fréquence augmente.

Points de vigilance

L'erreur classique est de tracer une pente de -20 dB/décade pour un système du second ordre. Chaque pôle ajoute -20 dB/décade, et un système du second ordre a deux pôles, donc la pente totale est de -40 dB/décade. De même, la phase totale change de 180°, pas 90°.

Points à retenir

Un système passe-bas du 2nd ordre est caractérisé par une asymptote de gain à 0 dB en basse fréquence, une cassure à $\omega_0$, et une asymptote à -40 dB/décade en haute fréquence.

Le saviez-vous ?

Hendrik Wade Bode, l'inventeur de ces diagrammes, les a développés dans les années 1930 aux Bell Labs. Son but était de simplifier la conception d'amplificateurs stables pour les lignes téléphoniques transcontinentales. L'approche asymptotique était particulièrement utile à une époque sans calculatrices.

FAQ

Résultat Final

Les diagrammes asymptotiques du gain et de la phase ont été tracés, montrant une coupure à $\omega_0$ avec une pente de -40 dB/décade.

A vous de jouer

Quelle serait la pente haute fréquence du gain pour un filtre passe-bas composé de trois circuits RC du 1er ordre mis en cascade ?

Question 5 : Calculer le gain réel à $\omega_0$ et tracer le diagramme réel

Principe

Le diagramme asymptotique est une approximation. Le diagramme réel s'en écarte, notamment autour de la pulsation propre. La correction à $\omega = \omega_0$ est entièrement déterminée par le facteur d'amortissement $\zeta$. Un $\zeta$ faible crée un pic de résonance.

Mini-Cours

Le "facteur de qualité" ou "facteur de surtension" $Q$ est une autre mesure de l'amortissement, très utilisée en radiofréquences. Il est lié à $\zeta$ par la relation $Q = 1/(2\zeta)$. Un $Q$ élevé signifie un $\zeta$ faible et donc un pic de résonance très étroit et très haut, ce qui est recherché pour sélectionner une fréquence précise (ex: un tuner radio).

Remarque Pédagogique

Le calcul de la valeur exacte à la pulsation de coupure est le point le plus important pour corriger le tracé asymptotique. C'est là que l'erreur entre le modèle simple et la réalité est maximale. Connaître ce point permet d'esquisser la courbe réelle avec une bien meilleure précision.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique ici, mais le calcul du pic de résonance est une procédure standard dans la caractérisation de tous les systèmes du second ordre (filtres, suspensions de voiture, sismographes, etc.).

Formule(s)

La valeur du gain en dB à $\omega = \omega_0$ est donnée par la formule :

G_{\text{dB}}(\omega_0) = -20\log_{10}(2\zeta)

Hypothèses

On calcule la valeur exacte de la fonction de transfert, donc il n'y a plus d'approximation asymptotique.

Donnée(s)

Le facteur d'amortissement est :

\zeta \approx 0.395

Astuces

Si $2\zeta < 1$ (soit $\zeta < 0.5$), alors $\log(2\zeta)$ est négatif, et le gain $-20\log(2\zeta)$ sera positif. C'est un moyen rapide de vérifier si vous devez vous attendre à un pic (> 0 dB) ou une atténuation (< 0 dB) à $\omega_0$ par rapport à l'asymptote.

Schéma (Avant les calculs)

Rappel du diagramme de gain asymptotique

Calcul(s)

Calcul de la fonction de transfert à $\omega = \omega_0$ :

\begin{aligned} H(j\omega_0) &= \frac{1}{1 - (\frac{\omega_0}{\omega_0})^2 + 2j\zeta\frac{\omega_0}{\omega_0}} \\ &= \frac{1}{1 - 1 + 2j\zeta} \\ &= \frac{1}{2j\zeta} \end{aligned}

Calcul du module :

\begin{aligned} |H(j\omega_0)| &= \left|\frac{1}{2j\zeta}\right| \\ &= \frac{1}{2\zeta} \end{aligned}

Conversion en décibels :

\begin{aligned} G_{\text{dB}}(\omega_0) &= 20\log\left(\frac{1}{2\zeta}\right) \\ &= -20\log(2\zeta) \end{aligned}

Application numérique avec $\zeta \approx 0.395$ :

\begin{aligned} G_{\text{dB}}(\omega_0) &= -20\log(2 \times 0.395) \\ &= -20\log(0.79) \\ &\approx 2.0 \text{ dB} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Gain Réel vs. Asymptotique

Réflexions

À la pulsation propre, le gain asymptotique est de 0 dB. Le gain réel est de +2.0 dB. Il y a donc une surtension (un pic de résonance) de 2.0 dB. La courbe réelle passe donc au-dessus de l'intersection des asymptotes avant de redescendre pour rejoindre l'asymptote de -40 dB/décade. Ce pic est la signature d'un système sous-amorti.

Points de vigilance

Ne pas confondre le gain à la coupure (-3dB) et le pic de résonance. Le pic de résonance n'existe que pour $\zeta < 1/\sqrt{2}$ et sa valeur dépend de $\zeta$. Le point de coupure à -3dB, lui, est une définition conventionnelle de la bande passante.

Points à retenir

Le diagramme de Bode réel s'écarte de l'asymptote autour de $\omega_0$. Pour un système du second ordre sous-amorti, cette correction prend la forme d'un pic de résonance dont la hauteur est donnée par $G_{\text{dB}} = -20\log(2\zeta)$.

Le saviez-vous ?

Les égaliseurs audio (equalizers) sont essentiellement des bancs de filtres RLC (ou leurs équivalents numériques) dont on peut ajuster la résistance (et donc le facteur d'amortissement $\zeta$) pour créer des pics ("boost") ou des creux ("cut") à des fréquences précises, afin de sculpter le son.

FAQ

Résultat Final

Le gain réel à $\omega_0$ est d'environ $2.0 \text{ dB}$, indiquant une résonance. Le diagramme de Bode réel présente un pic à cette fréquence avant de chuter.

A vous de jouer

Calculez la valeur du gain (en $\text{dB}$) à la pulsation $\omega_0$ pour un système en amortissement critique ($\zeta = 1$). Y a-t-il une surtension dans ce cas ?

Outil Interactif : Simulateur de Réponse en Fréquence

Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de la résistance et de la capacité, et observez en temps réel l'impact sur la pulsation propre, l'amortissement et la forme du diagramme de Bode du gain.

Paramètres d'Entrée

Résistance R ($\Omega$) 50 $\Omega$

Capacité C (µF) 5 µF

Résultats Clés

Pulsation propre $\omega_0$ (rad/s) -

Facteur d'amortissement $\zeta$ -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la pente de l'asymptote haute fréquence du gain pour un filtre passe-bas du second ordre ?

-20 dB/décade
-40 dB/décade
+20 dB/décade

2. Un gain de 0 dB correspond à un rapport de gain linéaire $|H(j\omega)|$ de :

3. Si le facteur d'amortissement $\zeta$ est très faible ($\zeta \ll 1$), le diagramme de gain montrera :

Un pic de résonance très marqué
Une coupure très douce
Pas de changement notable

Diagramme de Bode: Représentation graphique de la réponse en fréquence d'un système, composée d'un graphique de gain (dB) et d'un graphique de phase (°), en fonction de la fréquence (échelle log).
Fonction de Transfert: Rapport mathématique entre la sortie et l'entrée d'un système en régime sinusoïdal, caractérisant son comportement fréquentiel.
Pulsation Propre ($\omega_0$): Fréquence angulaire à laquelle un système du second ordre oscillerait naturellement sans amortissement. C'est la pulsation de coupure du filtre.
Facteur d'Amortissement ($\zeta$): Paramètre sans dimension qui décrit comment les oscillations d'un système s'éteignent. Un $\zeta$ faible indique une forte résonance.
Décibel (dB): Unité logarithmique utilisée pour exprimer le rapport entre deux valeurs, couramment utilisée pour le gain en électronique et en acoustique.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité \(\text{SI}\)
Résistance	R	\(50 \text{ } \Omega\)	\(50\)
Inductance	L	\(20 \text{ mH}\)	\(20 \times 10^{-3}\) H
Capacité	C	\(5 \text{ µF}\)	\(5 \times 10^{-6}\) F

Diagramme de Bode d’un Circuit RLC

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du circuit RLC passe-bas

Questions à traiter

Les bases de l'analyse fréquentielle

Correction : Diagramme de Bode d'un Circuit RLC

Question 1 : Déterminer la fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Circuit RLC avec impédances

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Système en boîte noire

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Mettre la fonction de transfert sous forme canonique

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Objectif : Forme Canonique

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Influence de \(\zeta\) sur la réponse

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Identifier et calculer \(\omega_0\) et \(\zeta\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Circuit avec valeurs numériques

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Position des Pôles dans le Plan Complexe

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)