Dimensionnement d'un Convertisseur Buck
Contexte : Stabilisation de tension pour un système embarqué.
Vous êtes chargé de concevoir l'étage d'alimentation d'un système de charge de batterie. Vous disposez d'une source d'énergie fluctuante (panneau solaire ou alimentation brute) délivrant une tension de 24V. L'objectif est de convertir cette tension en une sortie stable de 12V pour charger la batterie, en utilisant un Convertisseur BuckHacheur série abaisseur de tension utilisant un interrupteur commandé et une inductance. (ou hacheur série).
Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de comprendre le lien entre la fréquence de découpage, la valeur de l'inductance et l'ondulation du courant, éléments cruciaux pour la stabilité et le rendement du circuit. L'électronique de puissance est la clé des systèmes modernes économes en énergie.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe physique de fonctionnement d'un hacheur abaisseur (stockage et restitution d'énergie).
- Calculer le rapport cyclique nécessaire pour obtenir une tension de sortie précise.
- Dimensionner l'inductance de lissage pour respecter un cahier des charges strict d'ondulation de courant.
- Choisir un condensateur de filtrage adapté pour minimiser l'ondulation de tension.
- Évaluer la puissance du système pour anticiper les contraintes thermiques.
Données de l'étude
On souhaite dimensionner les composants passifs (Inductance \(L\) et Condensateur \(C\)) pour assurer un fonctionnement en mode de conduction continue (CCM) avec une faible ondulation, garantissant ainsi la longévité de la batterie.
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Tension d'entrée nominale (\(V_{\text{in}}\)) | 24 V |
| Tension de sortie désirée (\(V_{\text{out}}\)) | 12 V |
| Courant de sortie moyen (\(I_{\text{out}}\)) | 5 A |
| Fréquence de découpage (\(f_{\text{sw}}\)) | 100 kHz |
| Ondulation de courant admissible (\(\Delta I_L\)) | 20% de \(I_{\text{out}}\) |
Schéma de Principe du Buck
Questions à traiter
- Calculer le rapport cyclique \(\alpha\) pour obtenir 12V en sortie.
- Déterminer l'ondulation de courant admissible \(\Delta I_L\) en Ampères.
- Calculer la valeur de l'inductance \(L\) nécessaire pour respecter cette ondulation.
- Estimer la valeur minimale du condensateur \(C\) pour une ondulation de tension de 1% (soit 0.12V).
- Calculer la puissance totale délivrée à la charge pour dimensionner l'alimentation.
Les bases théoriques
Le convertisseur Buck est un convertisseur DC-DC abaisseur. Contrairement à un régulateur linéaire qui dissipe l'excédent de tension en chaleur, le Buck "hache" la tension d'entrée à haute fréquence et utilise un filtre LC pour lisser le courant et obtenir une tension moyenne inférieure en sortie.
Rapport de transformation
En régime de conduction continue (le courant dans l'inductance ne tombe jamais à zéro), la tension de sortie est directement proportionnelle au temps de conduction de l'interrupteur :
Dimensionnement de l'inductance
L'inductance s'oppose aux variations brutales de courant. Sa valeur détermine l'amplitude de l'ondulation (\(\Delta I_L\)) autour de la valeur moyenne :
Ondulation de tension
Le condensateur absorbe le courant ondulatoire de l'inductance. Sa capacité détermine la stabilité de la tension de sortie :
Correction : Dimensionnement d'un Convertisseur Buck
Question 1 : Calcul du rapport cyclique \(\alpha\)
Principe
Le rapport cyclique \(\alpha\) (ou Duty Cycle \(D\)) est le paramètre de contrôle fondamental du convertisseur. Il représente la fraction de la période de commutation \(T\) pendant laquelle l'interrupteur électronique (transistor MOSFET) est fermé (passant). C'est ce hachage temporel qui permet de moduler la tension moyenne vue par le filtre de sortie.
Mini-Cours
Dans un convertisseur Buck idéal fonctionnant en Conduction Continue (CCM), la relation entre l'entrée et la sortie est linéaire. Le filtre LC agit comme un moyenneur : la tension de sortie est la valeur moyenne de la tension hachée.
Remarque Pédagogique
Le convertisseur Buck est strictement abaisseur : la tension de sortie \(V_{\text{out}}\) sera toujours inférieure ou égale à la tension d'entrée \(V_{\text{in}}\). Pour élever la tension, il faudrait une topologie Boost.
Normes
Les symboles utilisés varient selon les régions : \(\alpha\) est courant en Europe, tandis que \(D\) (Duty Cycle) est standard aux USA et dans les datasheets internationales (norme IEEE/IEC).
Formule(s)
Fonction de transfert en tension
Hypothèses
Nous supposons ici que le convertisseur est idéal :
- Pas de chute de tension dans l'interrupteur (Ron = 0).
- Pas de chute de tension dans la diode.
- Le régime est établi et en conduction continue.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension Entrée | \(V_{\text{in}}\) | 24 | V |
| Tension Sortie | \(V_{\text{out}}\) | 12 | V |
Astuces
Vérification rapide : Le rapport cyclique doit TOUJOURS être compris entre 0 et 1. Si vous trouvez une valeur supérieure à 1, vous avez probablement inversé \(V_{\text{in}}\) et \(V_{\text{out}}\).
Schéma (Avant Calcul)
Transformation de tension souhaitée
Calcul Principal
Application numérique détaillée
On commence par identifier les tensions d'entrée et de sortie. Nous cherchons le rapport qui lie 24V à 12V.
Le calcul nous donne un résultat exact de 0.5. Cela signifie que le rapport cyclique est de 50%. En d'autres termes, l'interrupteur de commande (le transistor) doit être fermé (passant) exactement la moitié du temps de chaque cycle de commutation pour obtenir la tension moyenne désirée en sortie.
Réflexions
Un rapport de 0.5 est idéal car il permet une bonne dynamique de contrôle dans les deux sens (augmentation ou diminution de la tension d'entrée). On est au milieu de la plage de fonctionnement.
Points de vigilance
Dans la réalité, à cause des pertes (chute de tension dans le transistor et la diode), le rapport cyclique réel devra être légèrement supérieur à 0.5 pour compenser ces pertes et maintenir 12V en sortie.
Le saviez-vous ?
La technique de régulation par rapport cyclique s'appelle la PWM (Pulse Width Modulation) ou MLI (Modulation de Largeur d'Impulsion) en français. Elle est utilisée partout, de la variation de lumière (dimming) au contrôle de vitesse des moteurs.
FAQ
Pourquoi ne pas utiliser un régulateur linéaire (type 7812) ?
Un régulateur linéaire dissiperait la différence de tension en chaleur. Pour passer de 24V à 12V à 5A, il dissiperait \( (24-12) \times 5 = 60 \text{ W} \) ! Le Buck, lui, a un rendement élevé (souvent > 90%) et chauffe très peu.
A vous de jouer
Si la tension d'entrée chute à 20V (batterie source déchargée), quel doit être le nouveau rapport cyclique pour maintenir 12V en sortie ?
📝 Mémo
\(\alpha\) est un ratio sans unité. Pour un abaisseur, toujours \(\alpha < 1\).
Question 2 : Ondulation de courant \(\Delta I_L\)
Principe
L'ondulation de courant \(\Delta I_L\) (ou ripple current) correspond à la variation cyclique de l'intensité traversant l'inductance. Lorsque l'interrupteur est fermé, le courant augmente linéairement. Lorsqu'il est ouvert, le courant diminue linéairement. L'écart entre le pic et le creux est \(\Delta I_L\).
Mini-Cours
Cette ondulation est inhérente au principe de découpage. Elle n'est pas un défaut, mais une caractéristique. Une ondulation trop faible demanderait une inductance énorme (coûteuse et volumineuse). Une ondulation trop forte augmenterait les pertes par effet Joule et magnétiques.
Remarque Pédagogique
C'est ce courant "triangulaire" qui traverse l'inductance. La valeur moyenne de ce triangle correspond au courant de sortie \(I_{\text{out}}\) (5A dans notre cas).
Normes
Une règle empirique standard dans la conception d'alimentations à découpage est de fixer cette ondulation entre 10% et 30% (parfois jusqu'à 40%) du courant de charge nominal maximum.
Formule(s)
Application directe du pourcentage défini dans le cahier des charges :
Hypothèses
On considère que le convertisseur débite son courant nominal \(I_{\text{out}} = 5 \text{ A}\). C'est le "pire cas" pour le dimensionnement en termes d'énergie stockée.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Courant Moyen de Sortie | \(I_{\text{out}}\) | 5 A |
| Critère d'ondulation | - | 20% |
Astuces
Multiplier par 20% revient à multiplier par 0.2. C'est simple, mais attention aux unités si le courant était en mA !
Schéma (Ondulation)
Forme d'onde triangulaire du courant centrée sur 5A
Calcul Principal
Application numérique détaillée
On applique simplement le taux d'ondulation choisi (20%) au courant moyen de sortie.
L'ondulation crête-à-crête sera donc de 1 Ampère.
Réflexions
Le courant instantané dans l'inductance oscillera donc entre \(I_{\text{min}} = 5 - 0.5 = 4.5 \text{ A}\) et \(I_{\text{max}} = 5 + 0.5 = 5.5 \text{ A}\). Comme \(I_{\text{min}} > 0\), nous sommes bien confirmés en Mode de Conduction Continue (CCM), ce qui valide nos hypothèses de départ.
Points de vigilance
Courant de Saturation : L'inductance choisie devra supporter le courant de pic \(I_{\text{peak}} = 5.5 \text{ A}\) sans saturer. Si le noyau sature, la valeur de l'inductance s'effondre, le courant s'emballe et le transistor peut être détruit.
Points à Retenir
- \(\Delta I_L\) est un choix de conception, un compromis.
- Il détermine directement la taille de l'inductance et le stress sur les condensateurs.
Le saviez-vous ?
En anglais, on distingue le "Ripple Current" (l'ondulation AC) du courant DC. Les pertes dans le bobinage sont dues aux deux : \(P = R_{\text{DC}} \cdot I_{\text{DC}}^2 + R_{\text{AC}} \cdot I_{\text{AC}}^2\).
FAQ
Pourquoi ne pas viser 0% d'ondulation ?
Pour avoir \(\Delta I_L = 0\), il faudrait selon la formule une inductance \(L\) infinie ou une fréquence \(f_{\text{sw}}\) infinie. C'est physiquement impossible. De plus, une certaine ondulation est parfois nécessaire pour la stabilité des boucles de régulation.
A vous de jouer
Si on avait choisi une ondulation de 40%, quelle serait la valeur de \(\Delta I_L\) ?
📝 Mémo
\(I_{\text{peak}} > I_{\text{moy}}\). Toujours dimensionner les composants magnétiques pour le courant de pic.
Question 3 : Dimensionnement de l'inductance \(L\)
Principe
L'inductance est le cœur du stockage d'énergie du Buck. Pendant que l'interrupteur est fermé, elle emmagasine de l'énergie sous forme magnétique. Pendant qu'il est ouvert, elle restitue cette énergie à la charge. Sa valeur \(L\) (en Henrys) détermine sa capacité à limiter la variation de courant (\(di/dt\)) pour une tension donnée.
Mini-Cours
La loi fondamentale de l'inductance est \(u_L = L \cdot \frac{di}{dt}\).
Pendant la phase de roue libre (interrupteur ouvert), la tension aux bornes de L est approximativement \(-V_{\text{out}}\) (si on néglige la diode). La durée de cette phase est \((1-\alpha)T\).
On a donc : \(V_{\text{out}} = L \cdot \frac{\Delta I_L}{(1-\alpha)T}\), d'où la formule ci-dessous.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape critique du design. Une inductance trop faible entraînera une ondulation énorme et un mode discontinu. Une inductance trop forte sera physiquement grosse, lourde, chère et aura une résistance série plus élevée.
Normes
Les valeurs d'inductance sont normalisées selon les séries E12 ou E24 (ex: 33µH, 47µH, 68µH, 100µH). On choisit généralement la valeur normalisée directement supérieure au calcul.
Formule(s)
En isolant \(L\) de l'équation différentielle de base :
Hypothèses
On néglige la chute de tension directe de la diode (souvent 0.5V pour une Schottky) qui augmenterait légèrement la valeur d'inductance requise.
Donnée(s)
- \(V_{\text{out}} = 12 \text{ V}\)
- \(\alpha = 0.5\)
- \(f_{\text{sw}} = 100 \text{ kHz} = 100\,000 \text{ Hz}\)
- \(\Delta I_L = 1 \text{ A}\)
Astuces
Augmenter la fréquence \(f_{\text{sw}}\) permet de réduire proportionnellement la valeur de \(L\). C'est pourquoi les alimentations à découpage modernes tendent vers des fréquences élevées (MHz) pour miniaturiser les composants.
Schéma (Composant)
Inductance Torique
Calcul Principal
Application numérique détaillée
Nous allons calculer séparément le numérateur (partie tension et rapport cyclique) et le dénominateur (partie fréquence et courant).
1. Calcul du numérateur (Volt)
2. Calcul du dénominateur (Ampère/Seconde)
3. Résultat Final
La division finale nous donne la valeur de l'inductance en Henrys. Le résultat est de 60 microhenrys. C'est la valeur minimale stricte pour respecter l'ondulation de 1A.
Réflexions
60µH n'est pas toujours une valeur standard. On regardera dans le catalogue des fournisseurs pour une 68µH (valeur E12 standard supérieure). Prendre une valeur plus grande réduit encore plus l'ondulation, ce qui est bénéfique.
Points de vigilance
Tolérance : Les inductances ont souvent une tolérance de ±20%. Si vous choisissez 60µH pile, une inductance réelle à -20% (48µH) ne respectera pas votre cahier des charges. Toujours prendre une marge de sécurité.
Points à Retenir
- La valeur de L est inversement proportionnelle à la fréquence de commutation.
- La valeur de L dépend directement de la tension de sortie et du rapport cyclique.
Le saviez-vous ?
Les inductances de puissance utilisent souvent des noyaux en ferrite ou en poudre de fer pour limiter les pertes par courants de Foucault à haute fréquence.
FAQ
Puis-je utiliser une inductance de 100µH ?
Oui, absolument. Cela réduira encore plus l'ondulation de courant (\(<1 \text{ A}\)), ce qui est excellent pour le bruit et la stabilité. Le seul inconvénient est potentiellement la taille et le coût du composant.
A vous de jouer
Si on double la fréquence à 200kHz (composants plus rapides), que devient la valeur nécessaire de L pour la même ondulation ?
📝 Mémo
Double fréquence = Demi Inductance. C'est la clé de la miniaturisation.
Question 4 : Condensateur de Sortie \(C\)
Principe
Le condensateur agit comme un réservoir d'énergie. Il absorbe l'ondulation de courant (\(\Delta I_L\)) provenant de l'inductance pour que la tension de sortie reste la plus constante possible et pure.
Mini-Cours
La variation de charge \(\Delta Q\) dans le condensateur crée une variation de tension \(\Delta V = \Delta Q / C\). C'est ce \(\Delta V\) que l'on appelle l'ondulation de tension et que l'on veut minimiser.
Remarque Pédagogique
L'ondulation de tension est souvent appelée "Ripple" en anglais technique.
Normes
Pour les alimentations sensibles (comme les microprocesseurs ou l'audio), on exige souvent un ripple très faible, inférieur à 1% ou 50mV.
Formule(s)
En considérant le condensateur parfait (sans ESR) :
Hypothèses
On néglige ici la résistance série équivalente (ESR) du condensateur, qui ajoute souvent une ondulation supplémentaire significative en pratique (effet résistif).
Donnée(s)
- \(\Delta I_L = 1 \text{ A}\) (calculé à la Q2)
- \(f_{\text{sw}} = 100\,000 \text{ Hz}\)
- Objectif \(\Delta V_{\text{out}}\) : 1% de 12V.
Astuces
Le facteur "8" au dénominateur provient de l'intégration mathématique de la surface du triangle de courant excédentaire qui charge le condensateur.
Schéma (Condensateur)
Condensateur Électrochimique
Calcul Intermédiaire
Calcul de la tension d'ondulation cible (Ripple Voltage)
D'abord, convertissons le pourcentage demandé en valeur de tension concrète.
Calcul Principal
Application numérique détaillée
1. Numérateur
2. Dénominateur
3. Résultat Final
Le calcul nous donne une capacité minimale théorique de 10.41 microfarads pour absorber ce courant ondulatoire.
Réflexions
10µF est une valeur assez faible. En pratique, on mettra beaucoup plus (ex: 100µF, 220µF ou 470µF) pour avoir une marge de sécurité et surtout pour compenser l'effet néfaste de l'ESR.
Points de vigilance
L'ennemi ESR : Si votre condensateur a une ESR de 0.2 \(\Omega\), l'ondulation due à la résistance seule sera \(\Delta V = \Delta I_L \times \text{ESR} = 1 \times 0.2 = 0.2 \text{ V}\), ce qui dépasse déjà votre cible de 0.12V ! La formule de capacité pure devient alors secondaire.
Points à Retenir
- Le condensateur lisse la tension en absorbant les pics de courant.
- La formule idéale donne une valeur minimale théorique souvent insuffisante en réalité à cause de l'ESR.
- Toujours surdimensionner C.
Le saviez-vous ?
Les condensateurs électrolytiques chimiques vieillissent mal : leur électrolyte sèche, leur capacité diminue et leur ESR augmente avec le temps et la chaleur.
FAQ
Peut-on mettre plusieurs condensateurs ?
Oui, c'est une excellente pratique. Mettre des condensateurs en parallèle permet d'augmenter la capacité totale et surtout de diviser l'ESR globale, améliorant grandement le filtrage.
A vous de jouer
Si on tolère une ondulation plus large de 0.24V (2%), quelle est la valeur min de C ? (Inversement proportionnel)
📝 Mémo
Plus C est grand et son ESR faible, plus la tension est propre.
Question 5 : Puissance délivrée à la charge
Principe
Le but final de toute alimentation est de transférer de la puissance. Le calcul de puissance permet de vérifier la capacité de la source amont, et surtout de dimensionner le refroidissement (dissipateurs) des composants de puissance (transistor et diode) qui vont chauffer à cause des pertes.
Mini-Cours
En courant continu (DC), la puissance électrique \(P\) (en Watts) est simplement le produit de la tension \(V\) (en Volts) par le courant \(I\) (en Ampères). C'est la base de tout calcul énergétique.
Remarque Pédagogique
Si le convertisseur était parfait (rendement \(\eta = 100\%\)), la puissance d'entrée serait égale à la puissance de sortie (\(P_{\text{in}} = P_{\text{out}}\)). Ce n'est jamais le cas en réalité, il y a toujours des pertes (\(P_{\text{in}} = P_{\text{out}} + P_{\text{pertes}}\)).
Normes
La puissance s'exprime en Watts (W). Dans l'industrie, on parle souvent de densité de puissance (W/cm³) pour évaluer la compacité d'un convertisseur.
Formule(s)
Hypothèses
On considère que la charge absorbe un courant constant de 5A sous une tension constante de 12V régulée.
Donnée(s)
- \(V_{\text{out}} = 12 \text{ V}\)
- \(I_{\text{out}} = 5 \text{ A}\)
Astuces
Règle du pouce : Si vous avez un rendement de 90%, les pertes valent environ 10% de la puissance de sortie (approximation pour \(P_{\text{out}} \approx P_{\text{in}}\)). Prévoyez donc d'évacuer 10% de \(P_{\text{out}}\) en chaleur.
Schéma (Flux de Puissance)
Bilan de puissance et dissipation
Calcul Principal
Application numérique détaillée
On multiplie simplement la tension de sortie par le courant de sortie.
Le système fournit 60 Watts utiles à la charge. C'est une puissance significative qui classe ce convertisseur dans la catégorie moyenne puissance.
Réflexions
Supposons un rendement standard de \(\eta = 90\%\).
La puissance d'entrée sera \(P_{\text{in}} = 60 / 0.9 = 66.6 \text{ W}\).
Les pertes seront \(P_{\text{pertes}} = 66.6 - 60 = 6.6 \text{ W}\).
Il faudra dissiper 6.6 Watts. Sans radiateur, le transistor brûlera instantanément.
Points de vigilance
Emballement thermique : La résistance interne des MOSFETs (\(R_{\text{DS(on)}}\)) augmente avec la température. Plus il chauffe, plus il a de pertes, plus il chauffe... jusqu'à la destruction. Un bon refroidissement est vital.
Points à Retenir
- La puissance de sortie définit la "taille" électrique globale du convertisseur.
- Les pertes sont inévitables et se transforment toujours en chaleur.
Le saviez-vous ?
Les serveurs de données (Data Centers) utilisent des étages Buck multiphases pour délivrer des centaines d'ampères (ex: 1V @ 500A pour un CPU) avec un rendement optimal.
FAQ
La puissance d'entrée est-elle constante ?
Dans un convertisseur DC-DC régulé, si la tension d'entrée augmente, le courant d'entrée diminue pour maintenir la puissance d'entrée constante (approximativement, si on néglige les variations de rendement).
A vous de jouer
Si le rendement est de 90% (\(0.9\)), quelle puissance \(P_{\text{in}}\) doit fournir la source ? (Rappel: \(P_{\text{in}} = P_{\text{out}} / \eta\))
📝 Mémo
\(P_{\text{out}}\) dimensionne l'application, \(P_{\text{pertes}}\) dimensionne le refroidissement.
Schéma Bilan : Convertisseur Dimensionné
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Voici la synthèse des points clés pour le convertisseur Buck :
-
🔑
Rapport Cyclique
\(\alpha = V_{\text{out}} / V_{\text{in}}\). Il contrôle directement la tension de sortie moyenne. -
📐
Inductance
Plus elle est grande, plus l'ondulation de courant est faible, mais plus le composant est volumineux et cher. Elle stocke l'énergie. -
⚠️
Fréquence
Augmenter la fréquence réduit la taille des composants passifs (L et C) mais augmente les pertes de commutation dans le transistor. -
💡
Condensateur et ESR
La capacité n'est pas le seul critère : l'ESR est souvent prédominante pour l'ondulation de tension.
🎛️ Simulateur Buck Interactif
Visualisez l'évolution de la tension de sortie en fonction du rapport cyclique pour une tension d'entrée donnée.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Si j'augmente le rapport cyclique \(\alpha\), la tension de sortie...
2. Quel est le rôle principal de l'inductance dans un convertisseur Buck ?
📚 Glossaire
- Hacheur
- Dispositif électronique de puissance convertissant une tension continue en une autre tension continue (DC-DC) en découpant la tension d'entrée.
- Rapport Cyclique
- Ratio entre la durée de conduction de l'interrupteur et la période totale du cycle de commutation (compris entre 0 et 1).
- Ondulation
- Variation périodique résiduelle d'une grandeur (tension ou courant) autour de sa valeur moyenne. On l'appelle aussi "Ripple".
- Conduction Continue
- Mode de fonctionnement où le courant dans l'inductance ne s'annule jamais au cours d'un cycle.
- Commutation
- Action d'ouvrir et de fermer rapidement un interrupteur électronique (Transistor) pour contrôler le flux d'énergie.
Le Saviez-vous ?
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