Circuits Électriques

Équation différentielle d’un circuit RC série

Exercice : Circuit RC Série en Régime Transitoire

Équation différentielle d’un circuit RC série

Contexte : Le Régime TransitoirePériode durant laquelle les tensions et courants d'un circuit varient dans le temps avant de se stabiliser en régime permanent. dans les circuits électriques.

Les circuits RC (Résistance-Condensateur) sont fondamentaux en électronique, utilisés dans de nombreuses applications comme les filtres, les oscillateurs ou les circuits de temporisation. Leur comportement n'est pas instantané : lorsqu'on applique une tension, le condensateur ne se charge pas immédiatement. Cette phase de charge, où les tensions et courants évoluent, est appelée le régime transitoire. Cet exercice se concentre sur l'établissement et la résolution de l'équation différentielle qui décrit ce phénomène.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un système physique simple (un circuit électrique) par une équation mathématique (une équation différentielle du premier ordre) et à interpréter physiquement la solution obtenue.

Objectifs Pédagogiques

  • Établir l'équation différentielle régissant la tension aux bornes d'un condensateur.
  • Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
  • Comprendre et interpréter la notion de constante de tempsCaractéristique temporelle d'un système du premier ordre, représentant le temps nécessaire pour que la réponse atteigne environ 63% de sa valeur finale. \(\tau\).
  • Analyser les courbes de charge du condensateur et de l'évolution du courant.

Données de l'étude

On considère le circuit RC série ci-dessous, alimenté par un générateur de tension idéal de f.é.m. \(E\). À l'instant \(t=0\), on ferme l'interrupteur K. Le condensateur est initialement considéré comme déchargé.

Schéma du circuit RC série
+ - E K R C i(t) uR(t) + - uC(t) + -
Paramètre Symbole Valeur
Force électromotrice \(E\) 12 V
Résistance \(R\) 1 k\(\Omega\)
Capacité \(C\) 10 \(\mu\)F

Questions à traiter

  1. Établir l'équation différentielle qui régit la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur après la fermeture de l'interrupteur.
  2. Vérifier que la solution est de la forme \(u_C(t) = A + B e^{-t/\tau}\). Déterminer les expressions littérales des constantes A, B et \(\tau\) en fonction de E, R et C.
  3. Calculer la valeur numérique de la constante de temps \(\tau\). Quelle est sa signification physique ?
  4. Au bout de combien de temps peut-on considérer que le condensateur est complètement chargé (à 99% de sa charge maximale) ?
  5. Déterminer l'expression de l'intensité du courant \(i(t)\) dans le circuit pendant la charge et tracer son allure.

Les bases sur les Circuits RC

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques lois et définitions fondamentales de l'électricité.

1. Loi des mailles (ou loi d'additivité des tensions)
Dans une maille quelconque d'un circuit électrique, la somme algébrique des tensions le long de cette maille est nulle. Pour notre circuit, cela se traduit par : \[ \sum V_i = 0 \Rightarrow E - u_R(t) - u_C(t) = 0 \]

2. Lois de comportement des composants
Chaque composant a sa propre relation entre tension et courant :
- Résistance (Loi d'Ohm) : La tension \(u_R\) aux bornes d'une résistance est proportionnelle au courant \(i\) qui la traverse : \(u_R(t) = R \cdot i(t)\).
- Condensateur : Le courant \(i\) qui charge un condensateur est proportionnel à la dérivée de la tension \(u_C\) à ses bornes : \(i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt}\).

Correction : Équation différentielle d’un circuit RC série

Question 1 : Établir l'équation différentielle

Principe

L'objectif est de trouver une équation qui relie la tension \(u_C(t)\) et sa dérivée \(\frac{du_C(t)}{dt}\). Pour cela, nous allons combiner les lois fondamentales de l'électricité (loi des mailles, loi d'Ohm, relation du condensateur) afin d'éliminer les autres variables du circuit (\(u_R\) et \(i\)).

Mini-Cours

Une équation différentielle est une relation entre une fonction et ses dérivées. Celles du premier ordre, comme celle de notre circuit, décrivent de nombreux phénomènes physiques transitoires (refroidissement, désintégration radioactive, etc.). Elles modélisent un système qui tend vers un état d'équilibre.

Remarque Pédagogique

La méthode est toujours la même : écrire la loi fondamentale du système (ici, la loi des mailles), puis utiliser les lois de comportement de chaque élément pour n'exprimer l'équation qu'en fonction de la variable d'intérêt (\(u_C\)) et de ses dérivées.

Normes

Pour cet exercice fondamental, aucune norme industrielle (comme la NFC 15-100 en France) n'est directement applicable. Nous utilisons les lois universelles de l'électrocinétique établies par Kirchhoff et Ohm.

Formule(s)

Loi des mailles

\[ E = u_R(t) + u_C(t) \]

Loi d'Ohm

\[ u_R(t) = R \cdot i(t) \]

Relation du condensateur

\[ i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt} \]
Hypothèses

Le modèle utilisé repose sur des hypothèses simplificatrices :

  • Les composants sont parfaits (résistance pure, capacité pure, source de tension idéale).
  • Les fils de connexion ont une résistance nulle.
  • L'interrupteur est idéal (fermeture instantanée).
Donnée(s)

Pour cette question, la démarche est purement littérale. Aucune valeur numérique n'est nécessaire.

Astuces

Pour vérifier rapidement la cohérence de l'équation finale, on peut tester les cas limites : en régime permanent (\(t \to \infty\)), la dérivée est nulle (\(\frac{du_C}{dt}=0\)), et on doit retrouver \(u_C=E\), ce qui est bien le cas dans notre équation (\(0 + u_C = E\)).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de référence est celui de l'énoncé, sur lequel nous appliquons la loi des mailles.

Schéma du circuit pour l'application de la loi des mailles
+-ERCuR(t)uC(t)
Calcul(s)

Substitution de \(u_R(t)\)

On remplace \(u_R(t)\) par son expression issue de la loi d'Ohm dans la loi des mailles.

\[ E = R \cdot i(t) + u_C(t) \]

Substitution de \(i(t)\)

On remplace ensuite \(i(t)\) par son expression pour un condensateur. On obtient une équation ne contenant que \(u_C(t)\) et sa dérivée.

\[ E = R \cdot \left( C \frac{du_C(t)}{dt} \right) + u_C(t) \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat de cette étape est l'équation différentielle elle-même, qui modélise le comportement dynamique du schéma initial.

Modèle mathématique du circuit
RC uC'(t) + uC(t) = E
Réflexions

Nous avons obtenu une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant. Cette forme est caractéristique des systèmes du premier ordre soumis à un échelon de tension. Elle décrit un système qui évolue d'un état initial vers un état final stable.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur de signe dans la loi des mailles. Il faut bien définir une convention de fléchage des tensions et des courants et s'y tenir tout au long du calcul pour éviter toute incohérence.

Points à retenir
  • La loi des mailles est le point de départ de l'étude.
  • Il faut combiner les lois des composants pour obtenir une équation avec une seule variable.
  • L'équation finale \(RC u_C' + u_C = E\) est la forme canonique de la charge d'un circuit RC.
Le saviez-vous ?

Le condensateur a été inventé au 18ème siècle avec la "bouteille de Leyde". C'était l'un des premiers dispositifs capables de stocker une charge électrique significative, ouvrant la voie à de nombreuses expériences sur l'électricité.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi est-ce une équation "différentielle" ?

Car elle contient à la fois la fonction inconnue \(u_C(t)\) et sa dérivée par rapport au temps \(\frac{du_C(t)}{dt}\). Le mot "différentiel" fait référence à l'opérateur de dérivation.

Résultat Final
L'équation différentielle régissant la tension \(u_C(t)\) est : \(RC \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = E\).
A vous de jouer

Quelle serait l'équation différentielle si on s'intéressait à la charge \(q(t)\) du condensateur, sachant que \(q(t) = C \cdot u_C(t)\) et \(i(t) = \frac{dq(t)}{dt}\) ?

Question 2 : Résolution de l'équation différentielle

Principe

La solution générale d'une équation différentielle linéaire avec second membre est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre (régime transitoire) et d'une solution particulière de l'équation complète (régime permanent). Ici, nous vérifions une forme de solution donnée et nous déterminons les constantes grâce aux conditions du circuit.

Mini-Cours

La solution \(u_C(t) = A + B e^{-t/\tau}\) est composée de deux termes :
- \(A\) est la solution particulière ou régime permanent (\(u_C\) lorsque \(t \to \infty\)).
- \(B e^{-t/\tau}\) est la solution de l'équation homogène ou régime transitoire, qui s'annule avec le temps.

Remarque Pédagogique

La détermination des constantes d'intégration est une étape cruciale. Une constante est toujours liée au régime permanent du circuit, et l'autre est toujours déterminée par les conditions à l'instant initial (\(t=0\)).

Normes

La méthode de résolution des équations différentielles est une technique mathématique standard et universelle, non soumise à une norme d'ingénierie.

Formule(s)

Équation différentielle

\[ RC \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = E \]

Forme de la solution

\[ u_C(t) = A + B e^{-t/\tau} \]
Hypothèses

La condition initiale cruciale est qu'à \(t=0\), le condensateur est déchargé. Cela signifie que la tension à ses bornes est nulle.

  • Condition initiale : \(u_C(t=0) = 0 \text{ V}\).
Donnée(s)

La résolution est purement littérale et ne nécessite pas de valeurs numériques à ce stade.

Astuces

Pour trouver la solution particulière (le régime permanent), il suffit de considérer le circuit pour \(t \to \infty\). Le condensateur est alors complètement chargé et se comporte comme un interrupteur ouvert. Le courant est nul (\(i=0\)), donc la tension aux bornes de R est nulle (\(u_R = Ri = 0\)). La loi des mailles donne alors \(E - 0 - u_C(\infty) = 0\), donc \(u_C(\infty) = E\). Ceci donne directement la constante A.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul s'appuie sur la condition initiale du circuit, à l'instant \(t=0\), où le condensateur est déchargé.

Circuit à l'instant initial t=0
+-ERCuC(0) = 0V
Calcul(s)

Dérivation de la solution

\[ \frac{du_C(t)}{dt} = -\frac{B}{\tau} e^{-t/\tau} \]

Injection dans l'équation différentielle

\[\begin{aligned} RC \left(-\frac{B}{\tau} e^{-t/\tau}\right) + (A + B e^{-t/\tau}) &= E \\ A + B e^{-t/\tau} \left(1 - \frac{RC}{\tau}\right) &= E \end{aligned} \]

Identification des termes

Pour que l'équation soit vraie pour tout \(t\), les coefficients doivent correspondre. Le coefficient du terme exponentiel doit être nul, et les termes constants doivent être égaux.

\[1 - \frac{RC}{\tau} = 0 \Rightarrow \tau = RC\]
\[A = E\]

Utilisation de la condition initiale

On sait que \(u_C(t) = E + B e^{-t/RC}\). On utilise \(u_C(0) = 0\).

\[ \begin{aligned} u_C(0) &= E + B e^{0} \\ 0 &= E + B \\ B &= -E \end{aligned}\]
Schéma (Après les calculs)

La solution est une fonction mathématique. Son allure générale est une courbe exponentielle partant de 0 et tendant asymptotiquement vers la valeur E.

Allure générale de la solution \(u_C(t)\)
tuC(t)E0
Réflexions

La solution \(u_C(t) = E - E e^{-t/RC}\) décrit bien le phénomène physique : à \(t=0\), \(u_C(0) = E-E=0\), ce qui respecte la condition initiale. Pour \(t \to \infty\), le terme \(e^{-t/RC} \to 0\) et \(u_C(\infty) \to E\), ce qui correspond bien à un condensateur complètement chargé à la tension du générateur.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier la condition initiale pour déterminer la constante B. Sans elle, la solution reste indéterminée et ne décrit pas notre circuit spécifique. Une erreur de signe sur B est également très fréquente.

Points à retenir
  • La solution est la somme d'un régime permanent (\(E\)) et d'un régime transitoire (\(-E e^{-t/\tau}\)).
  • La constante de temps \(\tau=RC\) apparaît naturellement dans l'exponentielle.
  • Les conditions initiales (\(u_C(0)\)) sont indispensables pour trouver la solution unique.
Le saviez-vous ?

La fonction exponentielle \(e^x\) est omniprésente en physique car c'est la seule fonction (à une constante près) qui est égale à sa propre dérivée. C'est pourquoi elle apparaît dans toutes les équations différentielles de type \(y' = ay\).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Et si le condensateur n'était pas déchargé au départ ?

Si la tension initiale était \(u_C(0) = U_0\), alors l'étape 4 du calcul changerait : \(u_C(0) = E+B = U_0\), ce qui donnerait \(B = U_0 - E\). La solution deviendrait \(u_C(t) = E + (U_0-E)e^{-t/RC}\).

Résultat Final
Les constantes sont \(A=E\), \(B=-E\) et \(\tau=RC\). La solution est donc : \(u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})\).
A vous de jouer

Quelle serait la valeur de la constante B si la tension initiale aux bornes du condensateur était de 2V ?

Question 3 : Calcul et interprétation de la constante de temps \(\tau\)

Principe

La constante de temps, notée \(\tau\) (tau), est un paramètre fondamental qui caractérise la durée du régime transitoire. Elle est déterminée par les composants physiques du circuit qui stockent et dissipent l'énergie.

Mini-Cours

Dans tout système du premier ordre (électrique, thermique, mécanique...), la constante de temps représente la durée nécessaire pour que la réponse du système à un échelon atteigne environ 63.2% de sa variation totale. C'est une mesure universelle de la "lenteur" ou de l'"inertie" du système.

Remarque Pédagogique

Retenez que \(\tau\) a la dimension d'un temps. C'est un excellent moyen de vérifier l'homogénéité de vos formules. Si vous obtenez une expression pour \(\tau\) qui n'est pas en secondes, il y a probablement une erreur.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique, il s'agit d'une définition issue de l'analyse des systèmes linéaires.

Formule(s)

Formule de la constante de temps

\[ \tau = R \cdot C \]
Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs numériques de la résistance et de la capacité fournies dans l'énoncé, en veillant à les convertir dans leurs unités de base du Système International.

ParamètreSymboleValeurUnité SI
RésistanceR1 k\(\Omega\)\(1 \times 10^3\) \(\Omega\)
CapacitéC10 \(\mu\)F\(10 \times 10^{-6}\) F
Astuces

Lors des calculs avec des puissances de 10, il est facile de se tromper. Souvenez-vous des préfixes : kilo (\(10^3\)), méga (\(10^6\)), milli (\(10^{-3}\)), micro (\(\mu\), \(10^{-6}\)), nano (n, \(10^{-9}\)). Ici, \(10^3 \times 10^{-6} = 10^{-3}\).

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul de \(\tau\) se base sur les valeurs des composants R et C du circuit.

Composants déterminant la constante de temps
RC1 k Ohm10 micro F
Calcul(s)

Calcul de la constante de temps \(\tau\)

\[ \begin{aligned} \tau &= (1 \times 10^3 \, \text{ \(\Omega\)}) \times (10 \times 10^{-6} \, \text{F}) \\ &= 10 \times 10^{-3} \, \text{s} \\ &= 10 \, \text{ms} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser la signification de \(\tau\) sur la courbe de charge. C'est l'abscisse du point de la courbe dont l'ordonnée est \(u_C(\tau) \approx 0.63 E\). C'est aussi l'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote \(u_C = E\).

Visualisation de la constante de temps
tuC(t)Eτ0
Réflexions

Une constante de temps de 10 ms signifie que le régime transitoire est relativement rapide. Si R ou C étaient plus grands, \(\tau\) augmenterait et le condensateur mettrait plus de temps à se charger. Cette valeur est cruciale pour le dimensionnement de circuits de temporisation ou de filtrage.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est l'oubli de la conversion des unités. Utiliser 1 k\(\Omega\) et 10 \(\mu\)F directement dans le calcul donnerait un résultat incorrect. Toujours passer par les unités de base (Ohm, Farad, Volt, Ampère).

Points à retenir
  • La constante de temps d'un circuit RC est \(\tau = RC\).
  • Elle représente le temps pour atteindre 63% de la valeur finale.
  • Elle caractérise la rapidité de la réponse du circuit.
Le saviez-vous ?

La valeur de 63% (\(1-1/e\)) n'est pas un hasard. Dans de nombreux domaines, la constante de temps est définie de manière similaire. Par exemple, en radioactivité, la constante de désintégration \(\lambda\) est l'inverse de la durée de vie moyenne \(\tau\) d'un noyau, et la loi de désintégration suit aussi une exponentielle.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi 63% et pas 50% ?

Cette valeur provient directement de la nature de la fonction exponentielle. Il n'y a pas de signification physique plus profonde que d'être le résultat de \(1-e^{-1}\). Le temps pour atteindre 50% de la charge, appelé demi-vie, est aussi utilisé et vaut \(t_{1/2} = \tau \ln(2) \approx 0.693\tau\).

Résultat Final
La constante de temps du circuit est \(\tau = 10 \, \text{ms}\).
A vous de jouer

Calculez la nouvelle constante de temps si la capacité est augmentée à 47 \(\mu\)F.

Question 4 : Temps de charge complète

Principe

Le condensateur n'atteint théoriquement sa charge maximale (\(E\)) qu'à un temps infini. En pratique, on considère le régime transitoire terminé lorsque la tension \(u_C(t)\) est très proche de \(E\). On définit souvent la fin du régime transitoire à \(t = 5\tau\), ce qui correspond à plus de 99% de la charge.

Mini-Cours

Le choix de 99% (ou \(t=5\tau\)) est une convention d'ingénieur. Selon la précision requise par l'application, on pourrait choisir \(t=3\tau\) (95% de la charge), \(t=4\tau\) (98%) ou même \(t=7\tau\) (99.9%). La convention \(5\tau\) est un compromis courant entre précision et durée.

Remarque Pédagogique

Il est important de comprendre la différence entre la valeur théorique (l'infini) et la valeur pratique de l'ingénieur (\(5\tau\)). En physique appliquée, on travaille souvent avec de telles approximations raisonnables pour pouvoir dimensionner les systèmes.

Normes

La convention de \(5\tau\) est une règle de l'art largement acceptée en ingénierie électrique, bien qu'elle ne soit pas formalisée dans une norme.

Formule(s)

Équation de la tension de charge

\[ u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau}) \]
Hypothèses

On se place dans le cadre du modèle déjà établi, avec les valeurs calculées précédemment.

Donnée(s)

Nous utilisons la constante de temps calculée à la question précédente.

  • \(\tau = 10 \, \text{ms}\)
Astuces

Pour résoudre une équation de type \(e^{-x} = y\), on utilise le logarithme népérien : \(-x = \ln(y)\), donc \(x = -\ln(y)\).

Schéma (Avant les calculs)

On cherche le temps \(t_{99\%}\) sur la courbe de charge qui correspond à l'ordonnée \(0.99E\).

Objectif : trouver le temps de charge à 99%
tuC(t)E0.99Et_99% = ?
Calcul(s)

Mise en équation

\[ 0.99E = E(1 - e^{-t/\tau}) \]

Résolution de l'équation

\[ \begin{aligned} 0.99 &= 1 - e^{-t/\tau} \\ e^{-t/\tau} &= 1 - 0.99 \\ e^{-t/\tau} &= 0.01 \\ -t/\tau &= \ln(0.01) \\ -t/\tau &\approx -4.6 \\ t &\approx 4.6\tau \end{aligned} \]

Application de la convention

Le calcul exact donne \(t \approx 4.6\tau\). La convention de \(5\tau\) est une approximation simple et légèrement plus conservatrice (elle garantit d'avoir dépassé 99%).

\[ \begin{aligned} t_{\text{charge}} &= 5\tau \\ &= 5 \times 10 \, \text{ms} \\ &= 50 \, \text{ms} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le graphique ci-dessous montre l'allure de la tension \(u_C(t)\). On observe que la courbe est quasiment plate après \(t=50\) ms.

Courbe de charge du condensateur \(u_C(t)\)
Réflexions

Un temps de charge de 50 ms est très court. Dans un circuit d'alimentation, c'est quasi instantané. Dans un circuit de temporisation, cette durée pourrait être utilisée pour déclencher une action après 50 ms.

Points de vigilance

Ne pas confondre le temps de charge à 63% (\(\tau\)) et le temps de charge "complet" à 99% (\(5\tau\)). Ce sont deux indicateurs différents du régime transitoire.

Points à retenir
  • Le régime transitoire est considéré fini après une durée de \(5\tau\).
  • À \(5\tau\), la tension a atteint plus de 99% de sa valeur finale.
  • C'est une convention pratique, pas une limite théorique.
Le saviez-vous ?

Les supercondensateurs sont des condensateurs de très grande capacité (plusieurs milliers de Farads !). Leur constante de temps peut être de plusieurs minutes voire heures, leur permettant d'être utilisés comme des systèmes de stockage d'énergie similaires à des batteries.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi ne pas attendre \(10\tau\) pour être plus précis ?

On pourrait, mais le gain en précision est minime (on passe de 99.3% à 99.995%) pour un temps deux fois plus long. La convention \(5\tau\) est suffisante pour la quasi-totalité des applications pratiques.

Résultat Final
On considère le condensateur comme complètement chargé au bout d'un temps \(t = 5\tau\), soit 50 ms.
A vous de jouer

Calculez le temps (en ms) nécessaire pour que la tension atteigne 95% de sa valeur finale (environ \(3\tau\)).

Question 5 : Expression et allure du courant \(i(t)\)

Principe

Le courant n'est pas constant pendant la charge. Il est maximal au début (quand le condensateur est "vide" et ne s'oppose pas au passage du courant) et diminue jusqu'à devenir nul une fois le condensateur plein. On le trouve en utilisant la relation \(i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt}\).

Mini-Cours

La dérivée d'une fonction représente son taux de variation. Le courant \(i(t)\) est donc proportionnel à la "vitesse" à laquelle la tension \(u_C\) augmente. Au début la tension grimpe vite, donc le courant est fort. À la fin, la tension stagne, sa dérivée est nulle, donc le courant est nul.

Remarque Pédagogique

Notez la dualité entre la tension et le courant : pendant que la tension aux bornes du condensateur croît exponentiellement vers sa valeur maximale, le courant, lui, décroît exponentiellement vers zéro avec la même constante de temps.

Normes

Pas de norme applicable.

Formule(s)

Relation courant-tension du condensateur

\[ i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt} \]

Expression de la tension \(u_C(t)\)

\[ u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC}) \]
Hypothèses

On utilise le modèle du circuit idéal défini précédemment.

Donnée(s)

Les expressions et valeurs suivantes sont utilisées pour le calcul :

  • \(u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})\)
  • \(E=12 \, \text{V}\)
  • \(R=1 \, \text{k}\Omega\)
  • \(C=10 \, \mu\text{F}\)
Astuces

À \(t=0\), le condensateur déchargé se comporte comme un fil. Le circuit est équivalent à une simple résistance R branchée à la source E. Le courant initial est donc logiquement \(i(0) = E/R\) par la loi d'Ohm. C'est une excellente façon de vérifier le résultat final.

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur le courant \(i(t)\) qui circule dans la maille du circuit.

Circuit avec mise en évidence du courant \(i(t)\)
+-ERCi(t)
Calcul(s)

Calcul de la dérivée de la tension

\[ \begin{aligned} \frac{du_C(t)}{dt} &= \frac{d}{dt} \left( E(1 - e^{-t/RC}) \right) \\ &= E \left( - \left(-\frac{1}{RC}\right) e^{-t/RC} \right) \\ &= \frac{E}{RC} e^{-t/RC} \end{aligned} \]

Calcul de l'intensité du courant

\[ \begin{aligned} i(t) &= C \cdot \frac{du_C(t)}{dt} \\ &= C \cdot \left( \frac{E}{RC} e^{-t/RC} \right) \\ &= \frac{E}{R} e^{-t/RC} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le graphique ci-dessous montre la décroissance exponentielle du courant dans le circuit. Il part de sa valeur maximale \(i(0) = 12\text{V} / 1\text{k}\Omega = 12\) mA et tend vers zéro.

Courbe du courant \(i(t)\)
Réflexions

L'expression \(i(t)\) confirme le comportement intuitif : le courant est fort au début pour charger rapidement le condensateur, puis il faiblit à mesure que le condensateur se remplit et s'oppose de plus en plus au passage de nouvelles charges, jusqu'à bloquer complètement le courant en régime permanent (comportement de circuit ouvert).

Points de vigilance

Une erreur fréquente est de penser que le courant est constant. Il est crucial de comprendre que dans un circuit avec condensateur en régime transitoire, le courant varie continuellement.

Points à retenir
  • L'expression du courant est \(i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}\).
  • Le courant est maximal à \(t=0\) et nul à \(t=\infty\).
  • Il suit une décroissance exponentielle avec la même constante de temps \(\tau\) que la tension \(u_C\).
Le saviez-vous ?

Le "courant de fuite" d'un condensateur réel est un très faible courant qui continue de passer même lorsque celui-ci est complètement chargé. C'est l'une des raisons pour lesquelles un condensateur chargé et isolé finit par se décharger tout seul au bout d'un certain temps.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Que se passerait-il lors de la décharge ?

Lors de la décharge (par exemple en court-circuitant le condensateur chargé à travers la résistance), la tension suivrait la loi \(u_C(t) = E e^{-t/\tau}\) et le courant serait \(i(t) = - \frac{E}{R} e^{-t/\tau}\). Le signe négatif indique que le courant circule dans le sens opposé.

Résultat Final
L'intensité du courant dans le circuit est \(i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC}\). C'est une fonction exponentiellement décroissante.
A vous de jouer

Quelle est la valeur du courant (en mA) dans le circuit à l'instant précis \(t = \tau\) ?

Outil Interactif : Simulateur de charge RC

Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les valeurs de la résistance et de la capacité. Observez en temps réel comment la constante de temps et la vitesse de charge du condensateur sont affectées. Le graphique représente la tension \(u_C(t)\) en fonction du temps.

Paramètres d'Entrée
1000 \(\Omega\)
10 \(\mu\)F
Résultats Clés
Constante de temps \(\tau\) (ms) -
Temps de charge (à 99%) (ms) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de la constante de temps \(\tau = RC\) ?

2. Dans un circuit de charge RC, que vaut la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur lorsque le régime permanent est atteint (\(t \to \infty\)) ?

3. Que vaut le courant \(i(t)\) dans le circuit à l'instant initial \(t=0^+\) (juste après la fermeture de l'interrupteur) ?

4. Si on double la valeur de la résistance R, comment la constante de temps \(\tau\) est-elle affectée ?

5. À l'instant \(t=\tau\), la tension aux bornes du condensateur atteint :

Régime Transitoire
Phase durant laquelle les tensions et courants d'un circuit varient dans le temps, suite à une perturbation (comme la fermeture d'un interrupteur), avant de se stabiliser.
Régime Permanent
État stable du circuit atteint après la fin du régime transitoire, où les tensions et courants sont constants (ou périodiques pour des sources alternatives).
Constante de Temps (\(\tau\))
Dans un circuit du premier ordre comme le circuit RC, c'est une mesure de la rapidité de la réponse transitoire. Pour un circuit RC, \(\tau = RC\).
Condensateur
Composant électronique qui stocke de l'énergie sous la forme d'un champ électrique. Il s'oppose aux variations rapides de la tension à ses bornes.
Analyse d'un Circuit RC Série en Régime Transitoire

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