Circuits Électriques

Équation différentielle d’un circuit RC série

Électricité : Équation différentielle d'un circuit RC série

Équation différentielle d'un circuit RC série

Contexte : Le Langage Mathématique des Circuits

Pour décrire précisément l'évolution des tensions et des courants dans un circuit lors d'un phénomène transitoirePhase de courte durée pendant laquelle un circuit passe d'un état stable à un autre, par exemple lors de la mise sous tension., les physiciens et ingénieurs utilisent un outil mathématique puissant : les équations différentiellesÉquation qui relie une fonction à ses dérivées. En électricité, elle relie la tension, le courant, et leurs variations dans le temps.. Dans un circuit RC, la relation entre le courant et la tension aux bornes du condensateur (\(i = C \frac{du_C}{dt}\)) introduit une dérivée. En appliquant la loi des mailles, on obtient une équation qui lie la tension \(u_C(t)\) à sa propre dérivée. La résolution de cette équation nous donne la formule exacte de la charge (ou décharge) du condensateur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est plus théorique que les précédents. Il a pour but de vous montrer d'où viennent les formules de charge et de décharge exponentielles que nous avons utilisées. Comprendre comment établir et vérifier la solution d'une équation différentielle est une compétence fondamentale en sciences de l'ingénieur.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer la loi des mailles dans un circuit RC.
  • Établir l'équation différentielle du premier ordre régissant la tension \(u_C(t)\).
  • Vérifier qu'une solution proposée satisfait bien l'équation différentielle.
  • Utiliser les conditions initiales et finales pour déterminer les constantes de la solution.
  • Faire le lien entre la résolution mathématique et les concepts physiques (constante de temps, valeur finale).

Données de l'étude

On considère le circuit RC série ci-dessous, alimenté par un générateur de tension continue parfait de force électromotrice \(E\). Le condensateur est initialement déchargé. À l'instant \(t=0\), on ferme l'interrupteur K.

Schéma du Circuit RC Série
E t=0 R C

Questions à traiter

  1. En appliquant la loi des mailles, établir l'équation différentielle qui régit la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur.
  2. Vérifier que la fonction \(u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})\) est bien une solution de cette équation, et exprimer \(\tau\) en fonction de R et C.
  3. En utilisant les conditions initiales (\(t=0\)) et finales (\(t \to \infty\)), déterminer la valeur de la constante A.

Correction : Équation différentielle d'un circuit RC série

Question 1 : Établissement de l'Équation Différentielle

Principe :

On applique la loi des mailles au circuit pour \(t \ge 0\). La somme des tensions dans la boucle est nulle. La tension du générateur s'oppose à la tension aux bornes de la résistance (\(u_R\)) et à celle aux bornes du condensateur (\(u_C\)). On utilise ensuite les relations propres à chaque composant (\(u_R = Ri\) et \(i = C \frac{du_C}{dt}\)) pour obtenir une équation ne contenant que \(u_C\) et sa dérivée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est une méthode systématique. 1. Loi des mailles. 2. Lois des composants. 3. Substitution pour n'avoir qu'une seule variable (ici \(u_C\)). Cette méthode est la base de toute mise en équation de circuit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_R(t) + u_C(t) = E \]
\[ u_R(t) = R \times i(t) \]
\[ i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt} \]
Donnée(s) :
  • Circuit RC série avec un générateur de tension E.
Calcul(s) :

On part de la loi des mailles : \(u_R(t) + u_C(t) = E\).
On remplace \(u_R(t)\) par son expression : \(Ri(t) + u_C(t) = E\).
On remplace \(i(t)\) par son expression :

\[ RC \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = E \]
Points de vigilance :

Relation courant-tension pour le condensateur : L'erreur la plus fréquente est d'oublier la relation \(i = C \frac{du_C}{dt}\). C'est cette relation qui introduit la dérivée et transforme une simple équation algébrique en une équation différentielle.

Le saviez-vous ?

Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre. Sa forme canonique est \(\tau \frac{dy}{dt} + y = K\), où \(\tau\) est la constante de temps.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi le courant est-il le même pour R et C ?

Parce qu'ils sont branchés en série. Dans un montage en série, il n'y a qu'un seul chemin pour le courant, donc l'intensité est la même en tout point du circuit à un instant donné.

Résultat : L'équation différentielle régissant \(u_C(t)\) est \(RC \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = E\).

Question 2 : Vérification de la Solution et Calcul de \(\tau\)

Principe :

Pour vérifier si une fonction est solution d'une équation différentielle, on calcule sa dérivée, puis on injecte la fonction et sa dérivée dans l'équation. Si l'égalité est vérifiée, alors la fonction est bien une solution. Cette démarche nous permettra d'identifier la constante de temps \(\tau\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est une étape de pure manipulation mathématique. Il faut être à l'aise avec la dérivation d'une fonction exponentielle : la dérivée de \(e^{ax}\) est \(a \cdot e^{ax}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau}) \]
\[ \frac{du_C(t)}{dt} = A \left( - \left(-\frac{1}{\tau}\right) e^{-t/\tau} \right) = \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau} \]
Donnée(s) :
  • Équation différentielle : \(RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E\)
  • Solution proposée : \(u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})\)
Calcul(s) :

On remplace \(u_C\) et sa dérivée dans l'équation :

\[ RC \left( \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau} \right) + A(1 - e^{-t/\tau}) = E \]

On développe et on réarrange les termes :

\[ \frac{RC}{\tau} A e^{-t/\tau} + A - A e^{-t/\tau} = E \]
\[ A + A e^{-t/\tau} \left( \frac{RC}{\tau} - 1 \right) = E \]

Pour que cette égalité soit vraie pour tout instant \(t\), il faut que le terme dépendant du temps soit nul. Cela impose :

\[ \frac{RC}{\tau} - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \tau = RC \]
Points de vigilance :

Dérivée de l'exponentielle : Attention au signe "moins" et à la dérivée de l'exposant. La dérivée de \(e^{-kt}\) est \(-k e^{-kt}\). L'erreur de signe est fréquente.

Le saviez-vous ?

La solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre est toujours la somme d'une "solution particulière" (l'état final, ici \(E\)) et de la "solution de l'équation homogène" (la partie transitoire en \(e^{-t/\tau}\)).

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi le terme en exponentielle doit-il s'annuler ?

L'équation \(A + \text{Terme}(t) = E\) doit être vraie à chaque instant \(t\). Comme \(\text{Terme}(t)\) varie avec le temps et que A et E sont des constantes, la seule possibilité pour que l'égalité tienne est que le facteur multipliant la partie variable soit nul, c'est-à-dire \(\frac{RC}{\tau} - 1 = 0\).

Résultat : La fonction est bien solution à condition que la constante de temps soit \(\tau = RC\).

Question 3 : Détermination de la Constante A

Principe :

Maintenant que nous savons que \(\tau = RC\), l'équation de la solution se simplifie en \(A = E\). On peut aussi le retrouver en utilisant les conditions aux limites. À \(t=0\), le condensateur est déchargé, donc \(u_C(0)=0\). À \(t \to \infty\), le condensateur est complètement chargé et se comporte comme un circuit ouvert, sa tension est donc égale à celle du générateur, \(u_C(\infty)=E\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'analyse des conditions initiales et finales est une méthode très puissante pour trouver les constantes dans les solutions des équations différentielles, sans avoir à résoudre complètement l'équation.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau}) \]
Donnée(s) :
  • Condition finale : \(u_C(t \to \infty) = E\)
Calcul(s) :

Lorsque \(t \to \infty\), le terme \(e^{-t/\tau}\) tend vers 0. L'équation devient :

\[ \begin{aligned} u_C(\infty) &= A(1 - 0) \\ E &= A \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Bien identifier l'état final : Dans le cas de la charge, l'état final est \(u_C = E\). Dans le cas d'une décharge, l'état final serait \(u_C = 0\), ce qui donnerait une solution différente.

Le saviez-vous ?

Les équations différentielles du premier ordre comme celle-ci décrivent une immense variété de phénomènes en physique, chimie et biologie, ce qui en fait l'un des outils mathématiques les plus importants pour un scientifique ou un ingénieur.

FAQ en rapport avec la question :
Et si on utilisait la condition initiale ?

À \(t=0\), on a \(u_C(0) = A(1 - e^0) = A(1-1) = 0\). Cela nous dit que la tension est bien nulle au début, ce qui est correct, mais ne nous aide pas à trouver la valeur de A. Il faut obligatoirement utiliser la condition finale.

Résultat : La constante A est égale à la tension du générateur, \(A = E\). La solution complète est donc \(u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})\).

Simulation Interactive

Faites varier la résistance et la capacité. Observez comment la constante de temps \(\tau\) change et comment cela affecte la vitesse de charge du condensateur sur le graphique.

Paramètres du Circuit RC
Constante de Temps τ
Durée du transitoire (5τ)
Courbe de Charge du Condensateur

Pour Aller Plus Loin : Le Circuit RLC

Passer au second ordre : Si l'on ajoute une bobine en série, le circuit devient un RLC. La relation de la bobine (\(u_L = L \frac{di}{dt}\)) et celle du condensateur (\(i = C \frac{du_C}{dt}\)) introduisent une dérivée seconde. L'équation devient une équation différentielle du second ordre : \(LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E\). Sa résolution est plus complexe et peut donner lieu à des solutions oscillantes amorties.

Le Saviez-Vous ?

Les équations différentielles sont au cœur de la modélisation de presque tous les systèmes dynamiques en science : la trajectoire d'une planète, la propagation d'une épidémie, les réactions chimiques, les flux financiers, et bien sûr, le comportement des circuits électriques.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la résistance R est nulle ?

Si R est nulle, la constante de temps \(\tau\) est nulle. Théoriquement, le condensateur se chargerait instantanément. Cela provoquerait un courant infini (\(I = U_G/R\)) pendant une durée nulle, ce qui est physiquement impossible. En réalité, la résistance des fils et de la source n'est jamais nulle et limite ce courant.

Comment trouver l'équation du courant i(t) ?

Une fois que l'on a la solution pour \(u_C(t)\), on utilise la relation \(i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt}\). En dérivant \(u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})\), on trouve \(i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}\), ce qui montre que le courant part d'une valeur maximale \(E/R\) et décroît exponentiellement vers zéro.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La constante de temps \(\tau\) d'un circuit RC est donnée par :

2. Dans la solution \(u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})\) pour la charge, la constante A représente :

Glossaire

Équation Différentielle
Une équation mathématique qui met en relation une fonction avec ses propres dérivées. Elle est utilisée pour modéliser l'évolution des systèmes dynamiques.
Régime Transitoire
La phase durant laquelle les tensions et courants d'un circuit évoluent d'un état stable initial à un nouvel état stable final après une perturbation.
Constante de Temps (\(\tau\))
Pour un circuit RC, \(\tau = RC\). C'est une mesure de la rapidité de la charge ou de la décharge. Après un temps \(t=\tau\), le système a effectué environ 63% de son changement total.
Phénomènes Transitoires : Équation différentielle d'un circuit RC série

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