Circuits Électriques

Équation différentielle d’un circuit RL

Électricité : Équation différentielle d'un circuit RL

Équation différentielle d'un circuit RL

Contexte : Modéliser l'Inertie du Courant

De la même manière qu'un condensateur s'oppose à une variation de tension, une bobine s'oppose à une variation de courant. Cette "inertie" électromagnétique est au cœur des phénomènes transitoires dans les circuits RL. Lorsqu'on applique une tension, le courant ne peut pas s'établir instantanément. La relation \(u_L = L \frac{di}{dt}\) introduit une dépendance à la dérivée du courant. En combinant cette relation avec la loi des mailles, on obtient une équation différentielleÉquation qui relie une fonction (ici, le courant i(t)) à ses dérivées. qui décrit mathématiquement comment le courant évolue dans le temps, depuis un état initial jusqu'à son état final stable.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est le "dual" de celui sur le circuit RC. Il montre que, bien que les composants soient différents, la méthode mathématique pour décrire le système est très similaire. La maîtrise de l'établissement et de la résolution de ces équations est une compétence clé pour prédire le comportement de n'importe quel circuit du premier ordre.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer la loi des mailles dans un circuit RL.
  • Établir l'équation différentielle du premier ordre régissant le courant \(i(t)\).
  • Comprendre la forme de la solution générale d'une telle équation.
  • Utiliser les conditions initiales et finales pour déterminer la solution unique.
  • Faire le lien entre la résolution mathématique et la constante de temps \(\tau = L/R\).

Données de l'étude

On considère le circuit RL série ci-dessous, alimenté par un générateur de tension continue parfait de force électromotrice \(E\). Le courant dans le circuit est initialement nul. À l'instant \(t=0\), on ferme l'interrupteur K.

Schéma du Circuit RL Série
E t=0 R L

Questions à traiter

  1. En appliquant la loi des mailles, établir l'équation différentielle qui régit le courant \(i(t)\).
  2. Vérifier que la fonction \(i(t) = A + B e^{-t/\tau}\) est une solution de cette équation, et exprimer \(\tau\) en fonction de R et L.
  3. En utilisant les conditions initiales (\(t=0\)) et finales (\(t \to \infty\)), déterminer les valeurs des constantes A et B.

Correction : Équation différentielle d'un circuit RL

Question 1 : Établissement de l'Équation Différentielle

Principe :

On applique la loi des mailles au circuit pour \(t \ge 0\). La tension du générateur \(E\) est égale à la somme des tensions aux bornes de la résistance (\(u_R\)) et de la bobine (\(u_L\)). On utilise ensuite les relations propres à chaque composant (\(u_R = Ri\) et \(u_L = L \frac{di}{dt}\)) pour obtenir une équation ne contenant que \(i(t)\) et sa dérivée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La relation \(u_L = L \frac{di}{dt}\) est fondamentale. Elle montre que la tension aux bornes d'une bobine n'est pas proportionnelle au courant lui-même, mais à la *vitesse de variation* du courant. C'est cette relation qui introduit la dérivée dans l'équation du circuit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_R(t) + u_L(t) = E \]
\[ u_R(t) = R \times i(t) \]
\[ u_L(t) = L \frac{di(t)}{dt} \]
Donnée(s) :
  • Circuit RL série avec un générateur de tension E.
Calcul(s) :

On part de la loi des mailles et on substitue les expressions de \(u_R\) et \(u_L\):

\[ Ri(t) + L \frac{di(t)}{dt} = E \]

On réarrange souvent pour isoler la dérivée :

\[ \frac{L}{R} \frac{di(t)}{dt} + i(t) = \frac{E}{R} \]
Points de vigilance :

Orientation des tensions : Il est crucial de bien orienter les flèches de tension. Par convention, pour les récepteurs (R et L), la flèche de tension est opposée au sens du courant. C'est ce qui mène à une somme \(u_R + u_L\) dans la loi des mailles.

Le saviez-vous ?

Cette même forme d'équation différentielle décrit de nombreux autres phénomènes physiques, comme la vitesse d'un objet tombant dans l'air avec des frottements, ou la température d'un objet qui se réchauffe dans un environnement plus chaud.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la tension aux bornes de la bobine dépend-elle de la dérivée du courant ?

Cela vient de la loi de l'induction de Faraday. Un courant variable crée un champ magnétique variable, qui à son tour induit une force électromotrice (une tension) dans la bobine. Cette tension induite s'oppose à la variation du courant qui l'a créée. La vitesse de variation du champ magnétique étant proportionnelle à la vitesse de variation du courant (\(di/dt\)), la tension induite l'est aussi.

Résultat : L'équation différentielle régissant \(i(t)\) est \(L \frac{di(t)}{dt} + Ri(t) = E\).

Question 2 : Vérification de la Solution et Calcul de \(\tau\)

Principe :

Pour vérifier si la fonction \(i(t) = A + B e^{-t/\tau}\) est une solution, on calcule sa dérivée par rapport au temps, puis on injecte la fonction et sa dérivée dans l'équation différentielle établie à la question 1. En identifiant les termes, on pourra déterminer la valeur de \(\tau\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La solution générale d'une équation différentielle du premier ordre avec un second membre constant est toujours la somme d'une constante (le régime permanent) et d'une exponentielle décroissante (le régime transitoire).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ i(t) = A + B e^{-t/\tau} \]
\[ \frac{di(t)}{dt} = - \frac{B}{\tau} e^{-t/\tau} \]
Donnée(s) :
  • Équation différentielle : \(L \frac{di}{dt} + Ri = E\)
  • Solution proposée : \(i(t) = A + B e^{-t/\tau}\)
Calcul(s) :

On remplace \(i(t)\) et sa dérivée dans l'équation :

\[ L \left( - \frac{B}{\tau} e^{-t/\tau} \right) + R(A + B e^{-t/\tau}) = E \]

On regroupe les termes constants et les termes en exponentielle :

\[ RA + B e^{-t/\tau} \left( R - \frac{L}{\tau} \right) = E \]

Pour que cette égalité soit vraie pour tout \(t\), il faut que le terme dépendant du temps soit nul :

\[ R - \frac{L}{\tau} = 0 \quad \Rightarrow \quad \tau = \frac{L}{R} \]
Points de vigilance :

Ne pas se tromper de constante de temps : La constante de temps pour un circuit RL est \(\tau = L/R\), alors que pour un circuit RC, c'est \(\tau = RC\). C'est une source d'erreur classique qu'il faut éviter.

Le saviez-vous ?

En mécanique, l'équation du mouvement d'un objet avec une force de frottement visqueux est \(m\frac{dv}{dt} + kv = F\), où k est le coefficient de frottement. C'est exactement la même forme que l'équation du circuit RL ! L'inductance L joue le rôle de la masse (inertie), et la résistance R joue le rôle du frottement.

FAQ en rapport avec la question :
Que représente la constante A ?

Une fois que le terme en exponentielle s'annule, l'équation se simplifie en \(RA = E\). La constante A représente donc la valeur finale du courant en régime permanent : \(A = E/R\).

Résultat : La fonction est bien solution à condition que \(\tau = L/R\).

Question 3 : Détermination des Constantes A et B

Principe :

Pour trouver les constantes d'intégration A et B, on utilise les conditions du circuit à deux instants clés : à \(t=0\) (condition initiale) et lorsque \(t \to \infty\) (condition finale, ou régime permanent).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'analyse des conditions aux limites est une étape systématique dans la résolution d'équations différentielles en physique. Elle permet d'adapter la solution mathématique générale au cas physique particulier que l'on étudie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ i(t) = A + B e^{-t/\tau} \]
Donnée(s) :
  • Condition initiale : le courant est nul, \(i(0) = 0\).
  • Condition finale : le courant est stable, \(i(\infty) = E/R\).
Calcul(s) :

1. En régime permanent (\(t \to \infty\)), \(e^{-t/\tau} \to 0\). L'équation devient :

\[ i(\infty) = A + B \times 0 \quad \Rightarrow \quad A = i(\infty) = \frac{E}{R} \]

2. À l'instant initial (\(t = 0\)), \(e^0 = 1\). L'équation devient :

\[ i(0) = A + B e^0 = A + B \]

Puisque \(i(0)=0\), on a \(0 = A + B\), donc \(B = -A\).

\[ B = -A = -\frac{E}{R} \]

La solution complète est donc :

\[ i(t) = \frac{E}{R} - \frac{E}{R} e^{-t/\tau} = \frac{E}{R} (1 - e^{-t/\tau}) \]
Points de vigilance :

Continuité du courant : La condition initiale clé est la continuité du courant dans une bobine. Le courant ne peut pas changer instantanément. Puisqu'il était nul avant \(t=0\), il est forcément encore nul à \(t=0^+\).

Le saviez-vous ?

Cette même équation différentielle et sa solution décrivent la vitesse d'un skydiver qui saute d'un avion. Sa vitesse initiale est nulle, puis elle augmente exponentiellement jusqu'à atteindre une vitesse terminale (constante) lorsque la force de gravité est équilibrée par la résistance de l'air.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la tension aux bornes de la bobine est-elle maximale à t=0 ?

À \(t=0\), le courant est nul, donc la tension aux bornes de R est nulle (\(u_R=0\)). Par la loi des mailles, \(u_L + u_R = E\), donc \(u_L(0) = E\). Toute la tension du générateur est aux bornes de la bobine, qui s'oppose à la mise en circulation du courant. Ensuite, cette tension décroît exponentiellement vers 0.

Résultat : Les constantes sont \(A = E/R\) et \(B = -E/R\), menant à la solution \(i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau})\).

Simulation Interactive

Faites varier la résistance et l'inductance. Observez comment la constante de temps \(\tau\) et le courant final changent, et comment cela affecte la vitesse d'établissement du courant.

Paramètres du Circuit RL
Constante de Temps τ
Courant Final I_final
Courbe d'Établissement du Courant

Pour Aller Plus Loin : Le Circuit RLC

Passer au second ordre : Si l'on ajoute un condensateur en série, le circuit devient un RLC. La relation de la bobine (\(u_L = L \frac{di}{dt}\)) et celle du condensateur (\(i = C \frac{du_C}{dt}\)) introduisent une dérivée seconde. L'équation devient une équation différentielle du second ordre : \(LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E\). Sa résolution est plus complexe et peut donner lieu à des solutions oscillantes amorties.

Le Saviez-Vous ?

Les systèmes de suspension d'une voiture peuvent être modélisés par une équation différentielle du second ordre très similaire à celle d'un circuit RLC. La masse de la voiture joue le rôle de l'inductance (inertie), le ressort celui du condensateur (stockage d'énergie potentielle), et l'amortisseur celui de la résistance (dissipation d'énergie).

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la tension aux bornes de la bobine à t=0 ?

À \(t=0\), le courant est nul, donc la tension aux bornes de la résistance R est nulle (\(u_R=0\)). Par la loi des mailles, \(u_L + u_R = E\), donc \(u_L(0) = E\). Toute la tension du générateur est aux bornes de la bobine, qui s'oppose à la mise en circulation du courant. Ensuite, cette tension décroît exponentiellement vers zéro.

Que se passe-t-il si le courant n'est pas nul au départ ?

Si le courant a une valeur initiale \(I_0\), cette valeur est utilisée dans la condition initiale à \(t=0\). L'équation \(i(0) = A+B\) devient \(I_0 = A+B\). Cela changera la valeur de la constante B, et donc la courbe de départ, mais la constante de temps \(\tau\) et la valeur finale \(A\) resteront les mêmes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La constante de temps \(\tau\) d'un circuit RL est donnée par :

2. À l'instant \(t=0\), la tension aux bornes de la résistance R est :

Glossaire

Circuit RL
Un circuit composé d'une résistance (R) et d'une bobine (Inductance L).
Équation Différentielle
Une équation mathématique qui met en relation une fonction avec ses propres dérivées. Elle est utilisée pour modéliser l'évolution des systèmes dynamiques.
Régime Transitoire
La phase durant laquelle les tensions et courants d'un circuit évoluent d'un état stable initial à un nouvel état stable final.
Constante de Temps (\(\tau\))
Pour un circuit RL, \(\tau = L/R\). C'est une mesure de la rapidité de l'établissement ou de la rupture du courant.
Phénomènes Transitoires : Équation différentielle d'un circuit RL

D’autres exercices de Phénomènes transitoires:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *