Équilibrage d'un Réseau Triphasé Déséquilibré

Contexte : Le Régime Sinusoïdal TriphaséAnalyse des circuits électriques alimentés par trois sources de tension alternatives de même fréquence, déphasées de 120°..

Une installation industrielle est alimentée par un réseau triphasé 400V / 50Hz. Elle comporte une charge déséquilibrée montée en triangle (ou delta). Ce déséquilibre entraîne une circulation de courants inégaux dans les lignes, ce qui est inefficace et peut endommager l'équipement. Votre mission est d'analyser ce réseau, de quantifier le déséquilibre en termes de puissances, et de proposer une solution de compensation pour ramener le facteur de puissance global à l'unité.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la loi des nœuds et la loi d'Ohm en régime sinusoïdal triphasé (avec les nombres complexes) pour analyser une charge déséquilibrée et la compenser.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les courants de phase et de ligne pour une charge triangle déséquilibrée.
Utiliser les nombres complexes (forme polaire et rectangulaire) pour l'analyse de circuits.
Appliquer le théorème de Boucherot pour calculer les puissances P et Q totales.
Comprendre le principe de la compensation de l'énergie réactive.
Dimensionner une batterie de condensateurs pour relever le facteur de puissance.

Données de l'étude

L'installation est alimentée par un réseau triphasé 400V, 50Hz. Le système est supposé direct (séquence L1-L2-L3). On prendra la tension composée \(\underline{U}_{12}\) comme référence de phase (angle \(0^\circ\)).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Tension (composée) \(U\)	400 V
Fréquence \(f\)	50 Hz
Montage de la charge	Triangle (Delta)

Schéma de la charge déséquilibrée

Nom du Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
\(\underline{Z}_{12}\)	Impédance (L1-L2)	\(50\)	\(\Omega\)
\(\underline{Z}_{23}\)	Impédance (L2-L3)	\(30 + j40\)	\(\Omega\)
\(\underline{Z}_{31}\)	Impédance (L3-L1)	\(80 - j60\)	\(\Omega\)

Questions à traiter

Calculer les tensions composées \(\underline{U}_{12}\), \(\underline{U}_{23}\) et \(\underline{U}_{31}\) sous forme complexe (polaire et rectangulaire).
Calculer les courants de phase complexes \(\underline{J}_{12}\), \(\underline{J}_{23}\) et \(\underline{J}_{31}\) (polaire et rectangulaire).
Déterminer les courants de ligne complexes \(\underline{I}_1\), \(\underline{I}_2\) et \(\underline{I}_3\) (polaire et rectangulaire).
Calculer les puissances active (\(P_T\)) et réactive (\(Q_T\)) totales consommées par la charge.
Déterminer la capacité \(C\) (par phase) des condensateurs, montés en triangle, nécessaires pour compenser intégralement la puissance réactive totale (ramener le facteur de puissance à 1).

Les bases du Triphasé et des Nombres Complexes

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons la représentation complexe des grandeurs sinusoïdales. Cela permet de transformer les équations différentielles en équations algébriques simples, faciles à manipuler avec l'arithmétique complexe.

1. Tensions Triphasées (Système Direct)
Dans un système direct, les tensions sont déphasées de 120° (\(2\pi/3\) radians) dans l'ordre 1-2-3. En posant \(\underline{U}_{12}\) comme référence de phase : \[ \underline{U}_{12} = U \cdot e^{j0} = 400 \angle 0^\circ \text{ V} \] Les autres tensions sont décalées : \[ \underline{U}_{23} = U \cdot e^{-j2\pi/3} = 400 \angle -120^\circ \text{ V} \] \[ \underline{U}_{31} = U \cdot e^{j2\pi/3} = 400 \angle +120^\circ \text{ V} \]

2. Loi d'Ohm en Complexe
La relation entre tension, courant et impédance est directe : \[ \underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I} \quad \text{ou} \quad \underline{I} = \frac{\underline{U}}{\underline{Z}} \] Pour diviser, on utilise la forme polaire : \(\frac{U_1 \angle \phi_1}{Z_2 \angle \phi_2} = \frac{U_1}{Z_2} \angle (\phi_1 - \phi_2)\).

3. Loi des Nœuds (Courants de Ligne en Triangle)
Le courant dans chaque ligne d'alimentation est la différence des deux courants de phase qui y sont connectés : \[ \underline{I}_1 = \underline{J}_{12} - \underline{J}_{31} \] \[ \underline{I}_2 = \underline{J}_{23} - \underline{J}_{12} \] \[ \underline{I}_3 = \underline{J}_{31} - \underline{J}_{23} \] Pour additionner ou soustraire, on utilise la forme rectangulaire (\(a+jb\)).

Correction : Équilibrage d'un Réseau Triphasé Déséquilibré

Question 1 : Calculer les tensions composées \(\underline{U}_{12}\), \(\underline{U}_{23}\) et \(\underline{U}_{31}\).

Principe

On établit le système de tensions triphasées en se basant sur la référence donnée (U=400V) et le système direct (déphasages de -120° et +120°). On convertit ensuite les formes polaires en formes rectangulaires (\(a+jb\)) pour les calculs futurs.

Mini-Cours

Système Triphasé Direct : Un système triphasé est composé de trois tensions de même amplitude (module) et de même fréquence, mais déphasées de 120° (\(2\pi/3\) radians) les unes par rapport aux autres.

Système Direct (ou Séquence 1-2-3) : L'ordre de succession des phases est 1, puis 2, puis 3. Si l'on prend la tension 1 comme référence (ex: \(\underline{U}_{12}\) à \(0^\circ\)), la tension 2 (\(\underline{U}_{23}\)) sera en retard de 120° (\(-120^\circ\)), et la tension 3 (\(\underline{U}_{31}\)) sera en avance de 120° (\(+120^\circ\)).
Conversion Polaire \(\rightarrow\) Rectangulaire : \(A \angle \phi = A \times (\cos(\phi) + j\sin(\phi))\).

Remarque Pédagogique

Le choix de \(\underline{U}_{12}\) comme référence à \(0^\circ\) est arbitraire, mais c'est une convention très fréquente. On pourrait choisir n'importe quelle tension comme référence. Ce choix simplifie les calculs de la première branche, mais ne change en rien les résultats finaux (modules, puissances).

Normes

La production et la distribution de l'électricité se font massivement en triphasé (norme mondiale) car cela permet de transporter plus de puissance avec moins de pertes qu'en monophasé, à quantité de cuivre égale. La séquence "directe" est la norme standard de câblage.

Formule(s)

La conversion polaire \(\rightarrow\) rectangulaire est donnée par : \(U \angle \phi = U(\cos(\phi) + j\sin(\phi))\).

Tensions (système direct)

\underline{U}_{12} = 400 \angle 0^\circ \text{ V} \] \[ \underline{U}_{23} = 400 \angle -120^\circ \text{ V} \] \[ \underline{U}_{31} = 400 \angle 120^\circ \text{ V}

Hypothèses

On suppose un système de tensions d'alimentation parfaitement équilibré : les trois modules sont identiques (400V) et les déphasages sont exactement de 120°. L'énoncé précise un "système direct".

Donnée(s)

Les seules données nécessaires pour cette question sont :

Paramètre	Description	Valeur
\(U\)	Module de la tension composée	400 V
Séquence	Ordre des phases	Direct (1-2-3)
Référence	Phaseur à l'origine	\(\underline{U}_{12}\) à \(0^\circ\)

Astuces

Mémorisez les valeurs trigonométriques clés : \(\cos(120^\circ) = -0.5\), \(\sin(120^\circ) = \sqrt{3}/2 \approx 0.866\). Pour \(-120^\circ\), le cosinus est identique (\(-0.5\)) et le sinus est opposé (\(-\sqrt{3}/2 \approx -0.866\)). Cela accélère grandement la conversion.

Schéma (Avant les calculs)

On représente les trois tensions composées sur un diagramme de Fresnel (ou diagramme vectoriel). Elles forment une étoile équilibrée à trois branches.

Diagramme de Fresnel des Tensions Composées

Calcul(s)

Étape 1 : \(\underline{U}_{12}\) (Référence)

La forme polaire est donnée, on convertit en rectangulaire :

\begin{aligned} \underline{U}_{12} &= 400 \angle 0^\circ \text{ V} \\ &= 400 \times (\cos(0^\circ) + j\sin(0^\circ)) \\ &= 400 \times (1 + j0) = 400 + j0 \text{ V} \end{aligned}

Étape 2 : \(\underline{U}_{23}\)

On applique le déphasage de -120° :

\begin{aligned} \underline{U}_{23} &= 400 \angle -120^\circ \text{ V} \\ &= 400 \times (\cos(-120^\circ) + j\sin(-120^\circ)) \\ &= 400 \times (-0.5 - j0.866) \\ &= (400 \times -0.5) + j(400 \times -0.866) \\ &= -200 - j346.4 \text{ V} \end{aligned}

Étape 3 : \(\underline{U}_{31}\)

On applique le déphasage de +120° :

\begin{aligned} \underline{U}_{31} &= 400 \angle 120^\circ \text{ V} \\ &= 400 \times (\cos(120^\circ) + j\sin(120^\circ)) \\ &= 400 \times (-0.5 + j0.866) \\ &= (400 \times -0.5) + j(400 \times 0.866) \\ &= -200 + j346.4 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma de Fresnel réalisé "Avant les calculs" est la représentation graphique de ces résultats.

Réflexions

On peut vérifier la cohérence du système. La somme vectorielle des tensions composées doit être nulle (Loi des Mailles) :
\(\underline{U}_{12} + \underline{U}_{23} + \underline{U}_{31} = (400 + j0) + (-200 - j346.4) + (-200 + j346.4) = (400-200-200) + j(0 - 346.4 + 346.4) = 0 + j0\).
Le système est cohérent.

Points de vigilance

Attention au signe des angles ! En système direct, \(\underline{U}_{23}\) est en *retard* de 120° sur \(\underline{U}_{12}\) (donc -120°), et \(\underline{U}_{31}\) est en *retard* de 240° (ou en *avance* de 120°, d'où +120°). Une erreur ici fausse tout l'exercice.

Points à retenir

Système Direct (U=400V) \(\rightarrow\) \(\underline{U}_{12} = 400 \angle 0^\circ\), \(\underline{U}_{23} = 400 \angle -120^\circ\), \(\underline{U}_{31} = 400 \angle 120^\circ\).
La conversion Polaire \(\rightarrow\) Rectangulaire est essentielle pour les additions.
La somme des tensions composées d'un système triphasé est nulle.

Le saviez-vous ?

La "séquence directe" (1-2-3) est cruciale pour les moteurs triphasés. Elle détermine leur sens de rotation. Si vous inversez deux phases (par exemple, L2 et L3), la séquence devient "inverse" (1-3-2) et le moteur tourne dans l'autre sens !

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

\(\underline{U}_{12} = 400 \angle 0^\circ \text{ V} = (400 + j0) \text{ V}\)
\(\underline{U}_{23} = 400 \angle -120^\circ \text{ V} = (-200 - j346.4) \text{ V}\)
\(\underline{U}_{31} = 400 \angle 120^\circ \text{ V} = (-200 + j346.4) \text{ V}\)

A vous de jouer

Si le réseau était en système *inverse*, quelle serait la phase (en degrés) de \(\underline{U}_{23}\) (en gardant \(\underline{U}_{12}\) à 0°) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Définition d'un système de tensions triphasées direct.
Formule Essentielle : \(U \angle \phi = U(\cos\phi + j\sin\phi)\).
Point de Vigilance Majeur : L'ordre des angles (0, -120, +120) pour le système direct.

Question 2 : Calculer les courants de phase \(\underline{J}_{12}\), \(\underline{J}_{23}\) et \(\underline{J}_{31}\).

Principe

On applique la loi d'Ohm complexe \(\underline{J} = \underline{U} / \underline{Z}\) pour chaque branche de la charge triangle. Pour cela, il est plus simple d'utiliser les formes polaires des tensions (Question 1) et des impédances (à calculer).

Mini-Cours

Conversion Rectangulaire \(\rightarrow\) Polaire : Pour diviser des nombres complexes, la forme polaire (\(Z \angle \phi\)) est la plus simple. Pour une impédance \(\underline{Z} = R + jX\) :

Le module est \(Z = \sqrt{R^2 + X^2}\).
L'angle (phase) est \(\phi = \arctan(X/R)\). Il faut faire attention au quadrant : si \(R\) est négatif, ajoutez 180° (ou \(\pi\) rad) au résultat de l'arctan.

Remarque Pédagogique

Notez que chaque courant de phase (ex: \(\underline{J}_{12}\)) ne dépend *que* de la tension à ses bornes (ex: \(\underline{U}_{12}\)) et de sa propre impédance (ex: \(\underline{Z}_{12}\)). Les branches sont indépendantes les unes des autres à ce stade.

Normes

L'utilisation de la notation complexe (grandeurs sinusoïdales représentées par des phaseurs) est la méthode standard en électrotechnique pour l'analyse des circuits en régime sinusoïdal permanent (AC).

Formule(s)

Loi d'Ohm complexe pour chaque phase

\underline{J}_{12} = \frac{\underline{U}_{12}}{\underline{Z}_{12}} \quad ; \quad \underline{J}_{23} = \frac{\underline{U}_{23}}{\underline{Z}_{23}} \quad ; \quad \underline{J}_{31} = \frac{\underline{U}_{31}}{\underline{Z}_{31}}

Hypothèses

On suppose que les impédances \(\underline{Z}_{12}\), \(\underline{Z}_{23}\), \(\underline{Z}_{31}\) sont linéaires (leur valeur ne change pas avec la tension ou le courant) et que le régime permanent est atteint.

Donnée(s)

Nous devons convertir les impédances en forme polaire (\(Z \angle \phi\)).

Astuces

Utilisez la mémoire de votre calculatrice pour stocker les tensions complexes (en forme rectangulaire) et les impédances (en polaire). Cela évite les erreurs d'arrondi et accélère les calculs. La plupart des calculatrices scientifiques gèrent directement la division en polaire.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé est notre référence. Nous allons calculer le courant circulant dans chacune des trois impédances (Z₁, Z₂, Z₃).

Visualisation des Courants de Phase

Calcul(s)

Calcul de \(\underline{J}_{12}\)

On applique la loi d'Ohm en polaire : on divise les modules et on soustrait les angles.

\begin{aligned} \underline{J}_{12} &= \frac{400 \angle 0^\circ}{50 \angle 0^\circ} \\ &= \left(\frac{400}{50}\right) \angle (0^\circ - 0^\circ) \\ &= 8 \angle 0^\circ \text{ A} \\ \text{En rectangulaire :} \\ &= 8 \times (\cos(0^\circ) + j\sin(0^\circ)) = 8 + j0 \text{ A} \end{aligned}

Calcul de \(\underline{J}_{23}\)

On divise les modules (400 / 50) and on soustrait l'angle de l'impédance \((53.13^\circ)\) de celui de la tension \((-120^\circ)\).

\begin{aligned} \underline{J}_{23} &= \frac{400 \angle -120^\circ}{50 \angle 53.13^\circ} \\ &= \left(\frac{400}{50}\right) \angle (-120^\circ - 53.13^\circ) \\ &= 8 \angle -173.13^\circ \text{ A} \\ \text{En rectangulaire :} \\ &= 8 \times (\cos(-173.13^\circ) + j\sin(-173.13^\circ)) \\ &= 8 \times (-0.9928 - j0.1195) \\ &= (8 \times -0.9928) + j(8 \times -0.1195) \\ &= -7.94 - j0.96 \text{ A} \end{aligned}

Calcul de \(\underline{J}_{31}\)

On divise les modules (400 / 100) and on soustrait l'angle de l'impédance \((-36.87^\circ)\) de celui de la tension \((120^\circ)\).

\begin{aligned} \underline{J}_{31} &= \frac{400 \angle 120^\circ}{100 \angle -36.87^\circ} \\ &= \left(\frac{400}{100}\right) \angle (120^\circ - (-36.87^\circ)) \\ &= 4 \angle (120^\circ + 36.87^\circ) \\ &= 4 \angle 156.87^\circ \text{ A} \\ \text{En rectangulaire :} \\ &= 4 \times (\cos(156.87^\circ) + j\sin(156.87^\circ)) \\ &= 4 \times (-0.92 + j0.393) \\ &= (4 \times -0.92) + j(4 \times 0.393) \\ &= -3.68 + j1.57 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut représenter ces trois courants sur un diagramme de Fresnel. On voit qu'ils n'ont ni le même module (8A, 8A, 4A) ni des déphasages réguliers de 120°. C'est la confirmation du déséquilibre.

Diagramme de Fresnel (Phasor) des Courants de Phase

Réflexions

Les calculs montrent que \(\underline{Z}_{12}\) est purement résistive (\(8 \angle 0^\circ\)), \(\underline{Z}_{23}\) est inductive (le courant de \( -173^\circ\) est en retard sur la tension de \(-120^\circ\)) et \(\underline{Z}_{31}\) est capacitive (le courant de \(156.87^\circ\) est en avance sur la tension de \(120^\circ\)).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser les tensions (ex: utiliser \(\underline{U}_{21}\) au lieu de \(\underline{U}_{12}\)) ou de se tromper dans la soustraction des angles en polaire. \( \angle(\phi_1 - \phi_2) \neq \angle(\phi_2 - \phi_1) \).

Points à retenir

La loi d'Ohm \(\underline{I} = \underline{U} / \underline{Z}\) est l'outil central.
La forme polaire est la plus simple pour les multiplications et divisions.
Chaque branche d'un montage triangle est soumise à la tension *composée*.

Le saviez-vous ?

L'impédance \(\underline{Z}_{23} = 30 + j40\) a un module de 50\(\Omega\), tout comme \(\underline{Z}_{12} = 50 + j0\). Bien qu'elles aient le même module (50\(\Omega\)) et soient soumises à la même tension (400V), elles ne donnent pas le même résultat de puissance à cause du déphasage qu'elles introduisent.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

\(\underline{J}_{12} = 8 \angle 0^\circ \text{ A} = (8 + j0) \text{ A}\)
\(\underline{J}_{23} = 8 \angle -173.13^\circ \text{ A} = (-7.94 - j0.96) \text{ A}\)
\(\underline{J}_{31} = 4 \angle 156.87^\circ \text{ A} = (-3.68 + j1.57) \text{ A}\)

A vous de jouer

Si \(\underline{Z}_{12}\) était une pure bobine de \(50 \, \Omega\) (donc \(\underline{Z}_{12} = 0 + j50 = 50 \angle 90^\circ \, \Omega\)), quel serait le module du courant \(\underline{J}_{12}\) (en A) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Loi d'Ohm en complexe.
Formule Essentielle : \(\underline{I} = \underline{U} / \underline{Z}\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser la forme polaire pour la division, \( \angle(\phi_U - \phi_Z) \).

Question 3 : Déterminer les courants de ligne \(\underline{I}_1\), \(\underline{I}_2\) et \(\underline{I}_3\).

Principe

On applique la loi des nœuds en notation complexe à chaque nœud de la charge triangle. Pour additionner et soustraire, on utilise les formes rectangulaires des courants de phase calculés à la question 2.

Mini-Cours

Loi des Nœuds (Loi de Kirchhoff) : La somme *algébrique* (ou vectorielle, en complexe) des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant. Pour le Nœud 1 (connexion de L1), le courant \(\underline{I}_1\) entre, et les courants \(\underline{J}_{12}\) et \(-\underline{J}_{31}\) (ou \(\underline{J}_{13}\)) sortent. D'où \(\underline{I}_1 = \underline{J}_{12} - \underline{J}_{31}\).

Remarque Pédagogique

C'est l'étape où le déséquilibre de la charge (les \(\underline{J}\) différents) se propage aux lignes (les \(\underline{I}\) différents). Si la charge était équilibrée, on aurait \(I_L = J_P \sqrt{3}\). Cette formule célèbre ne s'applique *pas* ici à cause du déséquilibre.

Normes

La première loi de Kirchhoff (loi des nœuds) est un principe fondamental de la conservation de la charge électrique, valable en continu comme en alternatif (en utilisant les phaseurs).

Formule(s)

Loi des nœuds aux trois bornes de la charge

\underline{I}_1 = \underline{J}_{12} - \underline{J}_{31} \] \[ \underline{I}_2 = \underline{J}_{23} - \underline{J}_{12} \] \[ \underline{I}_3 = \underline{J}_{31} - \underline{J}_{23}

Hypothèses

On suppose que les câbles de ligne (L1, L2, L3) ont une impédance nulle (parfaitement conducteurs). C'est une hypothèse standard pour les exercices, sauf mention contraire (calcul de chute de tension).

Donnée(s)

On utilise les courants de phase en forme rectangulaire (de la Q2) car on doit faire des additions/soustractions :

Courant Phase	Rectangulaire (A)
\(\underline{J}_{12}\)	\(8 + j0\)
\(\underline{J}_{23}\)	\(-7.94 - j0.96\)
\(\underline{J}_{31}\)	\(-3.68 + j1.57\)

Astuces

Pour éviter les erreurs de signe, écrivez clairement la loi des nœuds pour chaque phase. Par exemple, pour le nœud 2 (ligne L2) : Courant entrant = \(\underline{I}_2\). Courants sortants = \(\underline{J}_{23}\) et \(-\underline{J}_{12}\) (ou \(\underline{J}_{21}\)). Donc \(\underline{I}_2 = \underline{J}_{23} - \underline{J}_{12}\). Gardez cette convention.

Schéma (Avant les calculs)

Voir le schéma de la Q2. Nous calculons les courants \(\underline{I}_1\), \(\underline{I}_2\), \(\underline{I}_3\) arrivant aux nœuds N1, N2, N3.

Calcul(s)

Calcul de \(\underline{I}_1\)

On applique \(\underline{I}_1 = \underline{J}_{12} - \underline{J}_{31}\). On groupe les parties réelles (Re) et les parties imaginaires (Im).

\begin{aligned} \underline{I}_1 &= (8 + j0) - (-3.68 + j1.57) \\ &= (8 - (-3.68)) + j(0 - 1.57) \\ &= (8 + 3.68) - j1.57 \\ &= 11.68 - j1.57 \text{ A} \\ \text{En polaire :} \\ &= \sqrt{11.68^2 + (-1.57)^2} \angle \arctan\left(\frac{-1.57}{11.68}\right) \\ &= 11.78 \angle -7.64^\circ \text{ A} \end{aligned}

Calcul de \(\underline{I}_2\)

On applique \(\underline{I}_2 = \underline{J}_{23} - \underline{J}_{12}\).

\begin{aligned} \underline{I}_2 &= (-7.94 - j0.96) - (8 + j0) \\ &= (-7.94 - 8) + j(-0.96 - 0) \\ &= -15.94 - j0.96 \text{ A} \\ \text{En polaire :} \\ &= \sqrt{(-15.94)^2 + (-0.96)^2} \angle \arctan\left(\frac{-0.96}{-15.94}\right) \\ &= 15.97 \angle -176.55^\circ \text{ A (Quadrant 3)} \end{aligned}

Calcul de \(\underline{I}_3\)

On applique \(\underline{I}_3 = \underline{J}_{31} - \underline{J}_{23}\).

\begin{aligned} \underline{I}_3 &= (-3.68 + j1.57) - (-7.94 - j0.96) \\ &= (-3.68 - (-7.94)) + j(1.57 - (-0.96)) \\ &= (-3.68 + 7.94) + j(1.57 + 0.96) \\ &= 4.26 + j2.53 \text{ A} \\ \text{En polaire :} \\ &= \sqrt{4.26^2 + 2.53^2} \angle \arctan\left(\frac{2.53}{4.26}\right) \\ &= 4.95 \angle 30.68^\circ \text{ A (Quadrant 1)} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme de Fresnel des courants de ligne montre bien le déséquilibre. Les trois vecteurs n'ont ni la même longueur (module) ni un déphasage de 120°.

Diagramme de Fresnel (Phasor) des Courants de Ligne

Réflexions

On observe bien que les modules des courants de ligne (\(11.8\) A, \(16.0\) A, \(4.9\) A) sont très différents. C'est la signature d'un réseau déséquilibré. Ce déséquilibre peut causer des surchauffes sur la phase 2.

Points de vigilance

Vérification : La somme des courants de ligne doit être nulle. \(\underline{I}_1 + \underline{I}_2 + \underline{I}_3 = (11.68 - 15.94 + 4.26) + j(-1.57 - 0.96 + 2.53) = 0 + j0\). (Aux arrondis près). Le calcul est cohérent.

Points à retenir

La loi des nœuds est l'outil clé pour passer des courants de phase (J) aux courants de ligne (I) en montage triangle.
On doit impérativement utiliser la forme rectangulaire (\(a+jb\)) pour les additions et soustractions.
La somme des courants de ligne \(\underline{I}_1 + \underline{I}_2 + \underline{I}_3\) doit toujours être nulle dans un système à 3 fils.

Le saviez-vous ?

Dans un système déséquilibré, si les charges étaient montées en étoile (Y) avec un fil neutre, la somme des courants de ligne ne serait pas nulle. Le courant \(\underline{I}_N = \underline{I}_1 + \underline{I}_2 + \underline{I}_3\) circulerait dans le neutre. C'est l'un des grands avantages du montage triangle : il n'a pas besoin de neutre, même en cas de déséquilibre.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

\(\underline{I}_1 = 11.78 \angle -7.64^\circ \text{ A}\)
\(\underline{I}_2 = 15.97 \angle -176.55^\circ \text{ A}\)
\(\underline{I}_3 = 4.95 \angle 30.68^\circ \text{ A}\)

A vous de jouer

Si la charge était équilibrée, avec \(\underline{J}_{12} = 8 \angle 0^\circ\), \(\underline{J}_{23} = 8 \angle -120^\circ\) et \(\underline{J}_{31} = 8 \angle 120^\circ\), quel serait le module de \(\underline{I}_1\) ? (Rappel: \(I_L = J_P \sqrt{3}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Loi des nœuds de Kirchhoff.
Formule Essentielle : \(\underline{I}_{\text{ligne}} = \underline{J}_{\text{phase sortant}} - \underline{J}_{\text{phase entrant}}\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser la forme rectangulaire pour l'addition/soustraction.

Question 4 : Calculer les puissances active (\(P_T\)) et réactive (\(Q_T\)) totales.

Principe

On applique le Théorème de BoucherotLes puissances actives et réactives totales d'une installation sont respectivement la somme des puissances actives et réactives de chaque récepteur.. On calcule \(P\) et \(Q\) pour chaque impédance (chaque phase) et on les somme algébriquement.

Mini-Cours

Puissances Active (P) et Réactive (Q) :

La puissance active P (en Watts, W) est la puissance "utile", transformée en chaleur ou en travail. Elle est consommée par les résistances (R). \(P = R \cdot I^2\).
La puissance réactive Q (en VAR) est la puissance "non utile" servant à magnétiser les bobines ou charger les condensateurs. Elle est consommée par les réactances (X). \(Q = X \cdot I^2\).
Par convention : une bobine (inductive, \(X > 0\)) *consomme* du réactif (\(Q > 0\)). Un condensateur (capacitif, \(X < 0\)) *fournit* du réactif (\(Q < 0\)).

Remarque Pédagogique

Le théorème de Boucherot est très puissant car il permet de traiter un problème complexe (les trois phases déséquilibrées) en le décomposant en trois problèmes simples (chaque impédance) et en additionnant simplement les résultats. Notez que \(P\) s'additionne toujours (on ne peut pas "fournir" de puissance active), mais \(Q\) s'additionne *algébriquement* (les condensateurs annulent les bobines).

Normes

Le théorème de Boucherot (Paul Boucherot, ingénieur français) est un pilier de l'analyse de puissance en génie électrique, permettant la "comptabilité" de l'énergie active et réactive dans une installation.

Formule(s)

Pour une impédance \(\underline{Z} = R + jX\) traversée par un courant \(\underline{J}\) (de module \(J\)):

P_k = R_k \cdot J_k^2 \quad \text{et} \quad Q_k = X_k \cdot J_k^2

La puissance totale est la somme : \(P_T = \sum P_k\) et \(Q_T = \sum Q_k\).

Hypothèses

On calcule les puissances consommées par la charge uniquement. On ne tient pas compte des pertes dans les lignes d'alimentation (qui seraient \(P = R_{\text{ligne}} \cdot I_{\text{ligne}}^2\)).

Donnée(s)

On reprend les parties réelles (R) et imaginaires (X) des impédances, et les modules des courants de phase (J) de la Q2.

Phase	R (\(\Omega\))	X (\(\Omega\))	J (A)
Phase 12	50	0	8
Phase 23	30	40 (inductive)	8
Phase 31	80	-60 (capacitive)	4

Astuces

Une autre méthode consiste à calculer la puissance complexe \(\underline{S}_k = \underline{U}_k \cdot \underline{I}_k^*\) (où \(\underline{I}_k^*\) est le conjugué du courant). La partie réelle de \(\underline{S}_k\) est \(P_k\) et la partie imaginaire est \(Q_k\). Par exemple, \(\underline{S}_{12} = \underline{U}_{12} \cdot \underline{J}_{12}^* = (400 \angle 0^\circ) \times (8 \angle 0^\circ)^* = 400 \times 8 = 3200 + j0\). Donc \(P_{12}=3200\) W et \(Q_{12}=0\) VAR. C'est souvent plus rapide si on a déjà les tensions et courants en polaire.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma spécifique, on applique la formule de Boucherot.

Calcul(s)

Phase 12 (Purement résistive)

R = 50 \(\Omega\), X = 0 \(\Omega\), J = 8 A.

\begin{aligned} P_{12} &= R_{12} \cdot J_{12}^2 \\ &= 50 \times 8^2 \\ &= 50 \times 64 \\ &= 3200 \text{ W} \end{aligned}

\begin{aligned} Q_{12} &= X_{12} \cdot J_{12}^2 \\ &= 0 \times 8^2 \\ &= 0 \text{ VAR} \end{aligned}

Phase 23 (Inductive)

R = 30 \(\Omega\), X = 40 \(\Omega\), J = 8 A.

\begin{aligned} P_{23} &= R_{23} \cdot J_{23}^2 \\ &= 30 \times 8^2 \\ &= 30 \times 64 \\ &= 1920 \text{ W} \end{aligned}

\begin{aligned} Q_{23} &= X_{23} \cdot J_{23}^2 \\ &= 40 \times 8^2 \\ &= 40 \times 64 \\ &= 2560 \text{ VAR} \end{aligned}

Phase 31 (Capacitive)

R = 80 \(\Omega\), X = -60 \(\Omega\), J = 4 A.

\begin{aligned} P_{31} &= R_{31} \cdot J_{31}^2 \\ &= 80 \times 4^2 \\ &= 80 \times 16 \\ &= 1280 \text{ W} \end{aligned}

\begin{aligned} Q_{31} &= X_{31} \cdot J_{31}^2 \\ &= -60 \times 4^2 \\ &= -60 \times 16 \\ &= -960 \text{ VAR} \end{aligned}

Puissances Totales (Boucherot)

On somme les P (tous positifs) et on somme les Q (algébriquement).

\begin{aligned} P_T &= P_{12} + P_{23} + P_{31} \\ &= 3200 + 1920 + 1280 \\ &= 6400 \text{ W} \end{aligned}

\begin{aligned} Q_T &= Q_{12} + Q_{23} + Q_{31} \\ &= 0 + 2560 + (-960) \\ &= 2560 - 960 \\ &= 1600 \text{ VAR} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On représente ces puissances par le "Triangle des Puissances" global de l'installation.

Triangle des Puissances Totales

Réflexions

L'installation consomme \(6400 \text{ W}\) de puissance utile (qui produit du travail) mais absorbe aussi \(1600 \text{ VAR}\) de puissance réactive (principalement inductive, car \(Q_T > 0\)). C'est cette puissance réactive qu'il faut compenser.

Points de vigilance

Attention aux signes de Q ! Une réactance inductive (\(X_L = L\omega\)) est \(+jX\), ce qui donne un \(Q > 0\) (consommé). Une réactance capacitive (\(X_C = -1/C\omega\)) est \(-jX\), ce qui donne un \(Q < 0\) (fourni). Il faut les sommer *algébriquement*.

Points à retenir

Théorème de Boucherot : \(P_T = \sum P_k\) et \(Q_T = \sum Q_k\).
\(P = R \cdot I^2\) (toujours positif).
\(Q = X \cdot I^2\) (positif si inductif, négatif si capacitif).

Le saviez-vous ?

Le fournisseur d'électricité (comme EDF) facture principalement la puissance active \(P\) (en kWh), mais il pénalise les industries si leur puissance réactive \(Q\) est trop élevée (c'est-à-dire si le facteur de puissance est mauvais). C'est pourquoi la compensation (Q5) est si importante économiquement.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La puissance active totale est \(P_T = 6400 \text{ W}\).
La puissance réactive totale est \(Q_T = 1600 \text{ VAR}\) (inductive).

A vous de jouer

Si la phase 31 était aussi inductive (\(Z = 80 + j60\)), quelle serait la puissance réactive totale \(Q_T\) (en VAR) ? (Note: \(Q_{31}\) serait \(+960\) VAR).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Théorème de Boucherot.
Formules Essentielles : \(P = R \cdot I^2\), \(Q = X \cdot I^2\).
Point de Vigilance Majeur : Somme *algébrique* pour Q (\(+\) pour bobines, \(-\) pour condensateurs).

Question 5 : Déterminer la capacité \(C\) des condensateurs de compensation.

Principe

Pour ramener le facteur de puissanceRatio P/S. Un F.P. de 1 signifie que Q=0 et S=P. C'est l'objectif de la compensation. à 1, on doit annuler la puissance réactive totale. L'installation consomme \(Q_T = +1600 \text{ VAR}\). On doit donc ajouter une charge qui *fournit* 1600 VAR, c'est-à-dire qui consomme \(Q_C = -1600 \text{ VAR}\). Cette charge est une batterie de 3 condensateurs identiques montés en triangle.

Mini-Cours

Compensation d'énergie réactive : Une charge inductive (\(Q > 0\)) a besoin de puissance réactive pour fonctionner. Le réseau doit la fournir, ce qui augmente le courant dans les lignes (pour rien "d'utile"). Un condensateur (\(Q < 0\)) *fournit* de la puissance réactive. En plaçant des condensateurs en parallèle, ils fournissent le \(Q\) nécessaire à la charge inductive. Le réseau n'a alors plus qu'à fournir le \(P\), le courant de ligne diminue, et le F.P. tend vers 1.

Remarque Pédagogique

Pourquoi compenser avec 3 condensateurs identiques ? Même si la charge est déséquilibrée, on installe presque toujours une compensation équilibrée (3 condensateurs identiques) car c'est plus simple et moins cher. On compense la puissance réactive *totale* (\(Q_T\)).

Normes

Les fournisseurs d'énergie (ex: ENEDIS en France) imposent aux sites industriels un facteur de puissance minimum (souvent \(\cos \phi > 0.93\), soit \(\tan \phi < 0.4\)). Ne pas respecter cela entraîne de lourdes pénalités financières. L'objectif \(\cos \phi = 1\) (\(Q_T = 0\)) est l'idéal théorique.

Formule(s)

La puissance réactive fournie par UN condensateur est \(Q_{1C} = -C \omega U^2\). (Attention, \(U\) est la tension à ses bornes).
La puissance totale des 3 condensateurs en triangle est \(Q_C = 3 \times Q_{1C} = -3 C \omega U^2\).
On a \(\omega = 2\pi f\).

Hypothèses

On vise une compensation totale (\(Q_T + Q_C = 0\)). Les condensateurs sont parfaits (pas de résistance interne) et montés en triangle (donc soumis à la tension composée \(U = 400\text{V}\)).

Donnée(s)

Objectif : \(Q_C = -Q_T = -1600 \text{ VAR}\).
Tension aux bornes de chaque condensateur (montage triangle) : \(U = 400 \text{ V}\).
Pulsation : \(\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 50 \approx 314.16 \text{ rad/s}\).

Astuces

Attention ! Si les condensateurs étaient montés en étoile (Y), ils seraient soumis à la tension *simple* \(V = U/\sqrt{3} = 400/\sqrt{3} \approx 230\text{V}\). La formule deviendrait \(Q_C = -3 C \omega V^2\). La capacité \(C\) nécessaire serait 3 fois plus grande pour le même effet ! C'est pourquoi on préfère le montage triangle pour la compensation.

Schéma (Avant les calculs)

On ajoute une batterie de 3 condensateurs \(\Delta_C\) en parallèle de notre charge \(\Delta_Z\).

Schéma de Compensation

Calcul(s)

Étape 1 : Puissance réactive par condensateur

La compensation \(Q_C = -1600 \text{ VAR}\) est répartie sur les 3 phases.

Q_{1C} = \frac{Q_C}{3} = \frac{-1600}{3} = -533.33 \text{ VAR}

Étape 2 : Calcul de la capacité C

On isole C de la formule \(Q_{1C} = -C \omega U^2\).

\begin{aligned} C &= \frac{-Q_{1C}}{\omega U^2} \\ \text{On insère les valeurs :} \\ C &= \frac{-(-533.33)}{(2\pi \times 50) \times 400^2} \\ C &= \frac{533.33}{314.16 \times 160000} \\ C &= \frac{533.33}{50265600} \\ C &\approx 1.061 \times 10^{-5} \text{ F} \end{aligned}

Étape 3 : Conversion d'unité

On convertit les Farads (F) en micro-Farads (\(\mu \text{F}\)) en multipliant par \(10^6\).

C \approx (1.061 \times 10^{-5}) \times 10^6 \, \mu\text{F} = 10.61 \, \mu\text{F}

Schéma (Après les calculs)

Le nouveau triangle des puissances montre que \(Q_C\) (négatif) annule \(Q_T\) (positif), ne laissant que \(P_T\).

Triangle des Puissances (Avant et Après Compensation)

Réflexions

En installant trois condensateurs de \(10.61 \, \mu\text{F}\) en triangle, la nouvelle puissance réactive totale (\(Q_T' = Q_T + Q_C\)) sera de \(1600 - 1600 = 0 \text{ VAR}\). Le facteur de puissance sera de 1. L'installation ne consommera plus que de la puissance active (\(P_T = 6400 \text{ W}\)), ce qui est optimal.

Points de vigilance

Vérifiez toujours la tension utilisée : \(U\) (composée, 400V) pour un montage triangle, ou \(V\) (simple, 230V) pour un montage étoile. Utiliser la mauvaise tension est l'erreur n°1, conduisant à une capacité 3 fois trop grande ou 3 fois trop faible.

Points à retenir

La compensation vise à annuler \(Q_T\). On ajoute \(Q_C = -Q_T\).
Les condensateurs fournissent du réactif (\(Q_C < 0\)).
La formule de puissance d'un condensateur est \(Q_{1C} = -C \omega U^2\).
Le montage triangle est plus efficace (C plus petit) pour la compensation.

Le saviez-vous ?

Dans la réalité, on ne compense jamais *exactement* à 1. On vise souvent un \(\cos \phi = 0.95\) inductif. Pourquoi ? Compenser "trop" (surcompensation) rendrait l'installation capacitive, ce qui peut créer des problèmes de surtension sur le réseau, surtout la nuit lorsque les charges inductives (moteurs) sont à l'arrêt.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Il faut installer 3 condensateurs de \(C \approx 10.61 \, \mu\text{F}\) chacun, montés en triangle.

A vous de jouer

Si la puissance réactive totale à compenser (\(Q_T\)) était de \(3000 \text{ VAR}\) (et non 1600), quelle serait la capacité \(C\) requise par phase (en \(\mu\text{F}\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Compensation de puissance réactive.
Formule Essentielle : \(Q_C = -3 C \omega U^2\) (pour \(\Delta\)).
Objectif : \(Q_{\text{total}} + Q_C = 0\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser \(U\) (composée) pour \(\Delta\) et \(V\) (simple) pour Y.

Outil Interactif : Simulateur de Compensation

Utilisez les sliders pour calculer instantanément la capacité nécessaire (par phase, en triangle) pour compenser une puissance réactive inductive \(Q_T\) sur un réseau de tension \(U\) (à 50Hz).

Paramètres d'Entrée

Puissance Réactive \(Q_T\) à compenser (VAR) 1600 VAR

Tension du réseau \(U\) (V) 400 V

Résultats Clés (par phase)

\(Q\) réactive par condensateur (VAR) -

Capacité \(C\) par condensateur (\(\mu\)F) -

Glossaire

Régime Triphasé: Système de trois tensions ou courants alternatifs, de même fréquence, et déphasés entre eux (généralement de 120°).
Charge Déséquilibrée: Se dit d'une charge triphasée dont les impédances sur les trois phases ne sont pas identiques. Cela entraîne des courants de ligne de modules différents.
Facteur de Puissance (\(\cos \phi\)): Rapport entre la puissance active (P, en W) et la puissance apparente (S, en VA). Un facteur de puissance de 1 (ou proche de 1) est idéal.
Puissance Réactive (\(Q\)): Exprimée en Volt-Ampère Réactif (VAR), c'est la puissance "non utile" échangée entre la source et les récepteurs (bobines, condensateurs) pour créer les champs magnétiques et électriques.
Théorème de Boucherot: Théorème fondamental qui stipule que les puissances actives totales sont la somme arithmétique des puissances actives, et les puissances réactives totales sont la somme *algébrique* des puissances réactives.
Compensation (Équilibrage): Action d'ajouter des charges (généralement des condensateurs) pour annuler la puissance réactive totale (\(Q_T \approx 0\)), afin d'améliorer le facteur de puissance et de réduire le courant total en ligne.

Équilibrage d’un Réseau Triphasé Déséquilibré

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma de la charge déséquilibrée

Questions à traiter

Les bases du Triphasé et des Nombres Complexes

Correction : Équilibrage d'un Réseau Triphasé Déséquilibré

Question 1 : Calculer les tensions composées \(\underline{U}_{12}\), \(\underline{U}_{23}\) et \(\underline{U}_{31}\).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme de Fresnel des Tensions Composées

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer les courants de phase \(\underline{J}_{12}\), \(\underline{J}_{23}\) et \(\underline{J}_{31}\).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des Courants de Phase

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Fresnel (Phasor) des Courants de Phase

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Déterminer les courants de ligne \(\underline{I}_1\), \(\underline{I}_2\) et \(\underline{I}_3\).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Fresnel (Phasor) des Courants de Ligne

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer les puissances active (\(P_T\)) et réactive (\(Q_T\)) totales.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)