Équivalence entre Sources de Tension et de Courant
Contexte : Les bases de l'électricitéLes principes fondamentaux régissant les phénomènes électriques, incluant les lois sur les circuits, les composants et leurs interactions..
En analyse de circuits, il est souvent utile de simplifier des parties complexes d'un réseau électrique en un modèle équivalent plus simple. Les théorèmes de ThéveninUn théorème qui stipule que tout circuit électrique linéaire peut être remplacé par une source de tension idéale en série avec une résistance. et de NortonUn théorème qui stipule que tout circuit électrique linéaire peut être remplacé par une source de courant idéale en parallèle avec une résistance. sont deux outils fondamentaux qui permettent cette simplification. Cet exercice se concentre sur la transformation d'un modèle de Thévenin (source de tension réelle) en son équivalent de Norton (source de courant réelle).
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à jongler entre les deux représentations équivalentes d'un générateur. Savoir passer de l'une à l'autre est une compétence essentielle pour simplifier les calculs dans des circuits plus complexes, notamment lors de l'application de la méthode des nœuds ou des mailles.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la différence entre une source idéale et une source réelle.
- Maîtriser le modèle équivalent de Thévenin (source de tension).
- Maîtriser le modèle équivalent de Norton (source de courant).
- Savoir calculer les paramètres d'un modèle à partir de l'autre.
Données de l'étude
Schéma du circuit de Thévenin
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Force électromotrice de Thévenin | \(E_{\text{th}}\) | 12 V |
| Résistance de Thévenin | \(R_{\text{th}}\) | 2 Ω |
| Résistance de charge | \(R_{\text{L}}\) | 4 Ω |
Questions à traiter
- Calculer le courant \(I\) qui traverse la résistance de charge \(R_{\text{L}}\).
- En déduire la tension \(U_{\text{L}}\) aux bornes de la résistance de charge.
- Déterminer les caractéristiques du générateur de Norton équivalent : le courant \(I_{\text{N}}\) et la résistance \(R_{\text{N}}\).
- Dessiner le schéma du circuit équivalent de Norton alimentant la même charge \(R_{\text{L}}\).
- En utilisant le modèle de Norton, recalculer le courant \(I\) dans la charge \(R_{\text{L}}\) et vérifier que le résultat est identique à celui de la question 1.
Les bases sur l'Équivalence des Sources
En électricité, un générateur réel peut être modélisé de deux manières équivalentes, ce qui signifie qu'elles produisent exactement le même courant et la même tension pour n'importe quelle charge connectée à leurs bornes.
1. Modèle de Thévenin (Source de Tension Réelle)
Il est représenté par une source de tension idéale, \(E_{\text{th}}\), en série avec une résistance interne, \(R_{\text{th}}\). La tension aux bornes du générateur à vide (sans charge) est égale à \(E_{\text{th}}\).
2. Modèle de Norton (Source de Courant Réelle)
Il est représenté par une source de courant idéale, \(I_{\text{N}}\), en parallèle avec une résistance interne, \(R_{\text{N}}\). Le courant \(I_{\text{N}}\) est le courant de court-circuit du générateur (le courant qui circulerait si on reliait directement ses bornes).
Formules de Transformation
Le passage d'un modèle à l'autre est direct :
\[ R_{\text{N}} = R_{\text{th}} \]
\[ I_{\text{N}} = \frac{E_{\text{th}}}{R_{\text{th}}} \quad \Leftrightarrow \quad E_{\text{th}} = I_{\text{N}} \cdot R_{\text{N}} \]
Correction : Équivalence entre Sources de Tension et de Courant
Question 1 : Calcul du courant de charge \(I\)
Principe
Pour trouver le courant dans un simple circuit série, on applique la loi d'Ohm généralisée. Le courant est poussé par la force électromotrice (\(E_{\text{th}}\)) et freiné par la totalité des résistances qu'il rencontre on son chemin (\(R_{\text{th}}\) et \(R_{\text{L}}\)).
Mini-Cours
La loi de Pouillet (ou loi d'Ohm généralisée à un circuit) stipule que l'intensité du courant dans un circuit fermé est égale au quotient de la force électromotrice totale du circuit par sa résistance totale. Dans notre cas, la f.é.m. est \(E_{\text{th}}\) et la résistance totale est la somme des résistances en série \(R_{\text{th}} + R_{\text{L}}\).
Remarque Pédagogique
Avant tout calcul, visualisez le chemin du courant. Ici, il part de la source, traverse obligatoirement \(R_{\text{th}}\), puis \(R_{\text{L}}\) avant de revenir à la source. Il n'y a qu'une seule "route" possible, c'est la définition d'un circuit série. L'addition des résistances est donc naturelle.
Normes
Ce calcul ne fait pas appel à une norme de construction spécifique (comme les Eurocodes), mais repose sur les lois fondamentales de l'électrocinétique, notamment la Loi des mailles de Kirchhoff, dont la loi de Pouillet est une application directe.
Formule(s)
Hypothèses
Pour appliquer cette formule simple, nous posons les hypothèses suivantes :
- Les composants (source, résistances) sont idéaux et linéaires.
- Les fils de connexion ont une résistance nulle.
- Le circuit fonctionne en régime continu (courant et tension constants).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force électromotrice | \(E_{\text{th}}\) | 12 | V |
| Résistance interne | \(R_{\text{th}}\) | 2 | Ω |
| Résistance de charge | \(R_{\text{L}}\) | 4 | Ω |
Astuces
Pour vérifier rapidement l'ordre de grandeur, imaginez des cas extrêmes. Si \(R_{\text{L}}\) était nulle (court-circuit), le courant serait \(12\,\text{V} / 2\,\Omega = 6\,\text{A}\). Si \(R_{\text{L}}\) était infinie (circuit ouvert), le courant serait nul. Notre valeur doit être comprise entre 0 et 6 A, ce qui est le cas.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit de Thévenin avec sa charge
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Circuit avec courant calculé
Réflexions
Le courant de 2A est la conséquence directe de la mise en commun des deux résistances qui s'opposent à la force électromotrice. Si la résistance interne \(R_{\text{th}}\) avait été nulle (source idéale), le courant aurait été de \(12\,\text{V} / 4\,\Omega = 3\,\text{A}\). La présence de la résistance interne a donc limité le courant disponible pour la charge.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier la résistance interne \(R_{\text{th}}\) dans le calcul de la résistance totale. Rappelez-vous que le courant doit traverser tous les composants de la boucle.
Points à retenir
Pour un circuit série simple, la règle est immuable : le courant est unique et se calcule en divisant la tension totale du générateur par la somme de toutes les résistances de la boucle.
Le saviez-vous ?
Georg Ohm a initialement publié sa fameuse loi (\(U=RI\)) en 1827, mais elle a été accueillie avec scepticisme par le monde scientifique de l'époque, qui était alors dominé par une approche non-mathématique de la physique. Il a fallu attendre plus d'une décennie pour que son travail soit pleinement reconnu.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la résistance de charge \(R_{\text{L}}\) valait 10 Ω, quel serait le nouveau courant \(I\) ?
Question 2 : Calcul de la tension de charge \(U_{\text{L}}\)
Principe
La tension aux bornes d'un dipôle passif comme une résistance est directement liée au courant qui le traverse. Ce lien est décrit par la loi d'Ohm, l'une des relations les plus fondamentales de l'électricité.
Mini-Cours
La Loi d'Ohm stipule que la tension \(U\) aux bornes d'une résistance est proportionnelle à l'intensité du courant \(I\) qui la traverse. Le coefficient de proportionnalité est la valeur de la résistance \(R\). Cette tension représente "l'énergie perdue" par chaque charge électrique en traversant le composant.
Remarque Pédagogique
Ne confondez pas la tension du générateur (\(E_{\text{th}}\)) et la tension aux bornes de la charge (\(U_{\text{L}}\)). Dans un circuit réel avec une résistance interne, ces deux tensions ne sont quasiment jamais égales. La tension \(U_{\text{L}}\) est toujours inférieure à \(E_{\text{th}}\) car une partie de la tension est "perdue" aux bornes de \(R_{\text{th}}\).
Normes
Comme pour la question 1, ce calcul est une application directe de la Loi d'Ohm, une loi fondamentale de l'électrocinétique.
Formule(s)
Hypothèses
Nous supposons que la résistance de charge \(R_{\text{L}}\) est un composant "ohmique", c'est-à-dire que sa valeur ne change pas en fonction du courant qui la traverse ou de la température.
Donnée(s)
- \(R_{\text{L}} = 4\) Ω
- \(I = 2\) A
Astuces
La loi d'Ohm peut être facilement mémorisée avec le "triangle magique" U / (R x I). Cachez la grandeur que vous cherchez et les deux autres vous donnent la formule : \(U = R \times I\), \(I = U / R\), \(R = U / I\).
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur la résistance de charge
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Circuit avec tensions
Réflexions
La tension aux bornes de la charge est de 8V. Où sont passés les 4V restants par rapport aux 12V de la source ? Ils sont "perdus" aux bornes de la résistance interne \(R_{\text{th}}\). On peut le vérifier.
Calcul de la tension aux bornes de \(R_{\text{th}}\)
Vérification de la loi des mailles
Points de vigilance
L'erreur classique ici serait d'appliquer la loi d'Ohm avec la mauvaise tension, par exemple en écrivant \(I = E_{\text{th}} / R_{\text{L}}\). Le courant \(I\) dépend de la résistance totale, alors que la tension \(U_{\text{L}}\) ne dépend que de \(R_{\text{L}}\).
Points à retenir
La tension aux bornes d'un composant passif est le produit du courant qui le traverse et de sa propre résistance. C'est la manifestation locale de la loi d'Ohm.
Le saviez-vous ?
Le concept de "diviseur de tension" découle directement de cette observation. Dans un circuit série, la tension totale se répartit sur les résistances proportionnellement à leur valeur. La charge \(R_{\text{L}}\) (4Ω) étant deux fois plus grande que \(R_{\text{th}}\) (2Ω), elle récupère deux tiers de la tension totale (8V sur 12V).
FAQ
Voici quelques questions fréquentes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si le courant dans le circuit était de 1.5 A (avec une autre charge), quelle serait la tension \(U_{\text{L}}\) aux bornes de notre résistance de 4 Ω ?
Question 3 : Détermination du générateur de Norton équivalent
Principe
Le concept physique est celui de l'équivalence : on cherche un autre modèle (une source de courant en parallèle avec une résistance) qui, vu de l'extérieur (du point de vue de la charge \(R_{\text{L}}\)), se comportera exactement de la même manière que notre source de tension initiale.
Mini-Cours
Le théorème de Norton stipule que n'importe quel circuit électrique linéaire vu entre deux points A et B peut être remplacé par un générateur de courant idéal \(I_{\text{N}}\) en parallèle avec une résistance \(R_{\text{N}}\).
- \(R_{\text{N}}\) est la même que la résistance de Thévenin \(R_{\text{th}}\).
- \(I_{\text{N}}\) est le courant qui circulerait si on reliait les points A et B par un fil de résistance nulle (courant de court-circuit).
Remarque Pédagogique
Le passage de Thévenin à Norton est une simple "recette de cuisine" mathématique. La physique importante est de comprendre que la résistance interne ne change pas (\(R_{\text{N}} = R_{\text{th}}\)). Seule la représentation de la source change : une tension devient un courant via la loi d'Ohm appliquée à cette résistance interne.
Normes
Ce sont les Théorèmes de Thévenin et de Norton qui formalisent cette dualité et fournissent le cadre réglementaire pour ces transformations de circuits.
Formule(s)
Formule de la résistance de Norton
Formule du courant de Norton
Hypothèses
La validité de cette transformation repose sur une hypothèse fondamentale : le circuit d'origine doit être linéaire. Cela signifie qu'il est composé uniquement de sources idéales et de résistances (ou d'impédances en régime alternatif).
Donnée(s)
- \(E_{\text{th}} = 12\) V
- \(R_{\text{th}} = 2\) Ω
Astuces
Le courant de Norton \(I_{\text{N}}\) représente le courant maximal absolu que le générateur peut fournir. C'est une valeur utile pour connaître les limites de votre source. Si vous court-circuitez une batterie de voiture, le courant sera énorme car sa résistance interne est très faible !
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de \(I_{\text{N}}\) (Courant de court-circuit)
Calcul(s)
Calcul de la résistance de Norton
Calcul du courant de Norton
Schéma (Après les calculs)
Modèle de Norton Équivalent
Réflexions
Nous avons maintenant un nouveau "portrait" de notre générateur. Il ne s'agit pas d'un générateur différent, mais d'une autre façon de le décrire. Ce modèle nous dit : "au maximum, cette source peut délivrer 6A, et elle possède une résistance interne de 2Ω en parallèle".
Points de vigilance
La principale erreur est de mal positionner la résistance \(R_{\text{N}}\) : elle doit impérativement être en parallèle avec la source de courant \(I_{\text{N}}\), et non en série.
Points à retenir
La transformation Thévenin vers Norton est une compétence de base. Retenez :
1. La résistance ne change pas (\(R_{\text{N}}=R_{\text{th}}\)).
2. Le courant de Norton est le courant de court-circuit (\(I_{\text{N}}=E_{\text{th}}/R_{\text{th}}\)).
3. Le montage passe de série à parallèle.
Le saviez-vous ?
Le théorème de Norton a été publié en 1926 par Edward Lawry Norton, un ingénieur chez Bell Labs. Fait intéressant, le physicien allemand Hans Ferdinand Mayer était parvenu au même résultat de manière indépendante à la même époque, mais ne l'a pas publié.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si on avait une source de Thévenin de 24V et 8Ω, que vaudraient \(I_{\text{N}}\) et \(R_{\text{N}}\) ?
Question 4 : Schéma du circuit de Norton
Principe
Le modèle de Norton se compose d'une source de courant idéale en parallèle avec sa résistance interne. Le tout est connecté à la même résistance de charge \(R_{\text{L}}\).
Schéma
Schéma du circuit de Norton avec sa charge
Réflexions
Notez bien la différence de montage : la résistance \(R_{\text{N}}\) est maintenant en parallèle de la source de courant, et non plus en série. C'est le point crucial de la modélisation de Norton.
Question 5 : Vérification du courant \(I\) avec le modèle de Norton
Principe
Le courant \(I_{\text{N}}\) fourni par la source se divise en deux chemins : une partie traverse la résistance interne \(R_{\text{N}}\) et l'autre partie traverse la charge \(R_{\text{L}}\). Nous devons calculer la part qui va dans \(R_{\text{L}}\). C'est une application directe de la formule du "diviseur de courant".
Mini-Cours
Le pont diviseur de courant est un circuit composé de plusieurs branches en parallèle. Le courant total entrant dans le nœud se répartit dans les branches inversement proportionnellement à leur résistance : la branche la moins résistante reçoit le plus de courant. Pour deux résistances \(R_1\) et \(R_2\) en parallèle, le courant \(I_1\) dans la branche \(R_1\) est donné par \(I_1 = I_{\text{total}} \cdot (R_2 / (R_1 + R_2))\).
Remarque Pédagogique
Pensez au courant comme de l'eau qui s'écoule. S'il a le choix entre un gros tuyau (faible résistance) et un petit tuyau (forte résistance), la majorité de l'eau passera par le gros tuyau. La formule du diviseur de courant n'est que la traduction mathématique de cette intuition.
Normes
Cette méthode de calcul est une conséquence directe de la Loi des nœuds de Kirchhoff, qui stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants qui en sortent.
Formule(s)
La formule du diviseur de courant pour trouver le courant \(I\) dans la branche de la charge \(R_{\text{L}}\) est :
Hypothèses
La formule du diviseur de courant n'est applicable que si les composants (\(R_{\text{N}}\) et \(R_{\text{L}}\)) sont connectés en parallèle par rapport à la source de courant.
Donnée(s)
- \(I_{\text{N}} = 6\) A
- \(R_{\text{N}} = 2\) Ω
- \(R_{\text{L}} = 4\) Ω
Astuces
Pour mémoriser la formule, retenez : "le courant dans ma branche est égal au courant total multiplié par la résistance de l'AUTRE branche, divisé par la somme des deux". C'est l'inverse du pont diviseur de tension.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit de Norton et diviseur de courant
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Répartition des courants
Réflexions
Le résultat est bien de 2 A, ce qui est identique au courant calculé à la question 1 avec le modèle de Thévenin. Cela confirme que les deux modèles sont bien équivalents du point de vue de la charge. On peut aussi noter que le courant dans \(R_{\text{N}}\) est de \(6\,\text{A} - 2\,\text{A} = 4\,\text{A}\). La résistance \(R_{\text{L}}\) étant deux fois plus grande que \(R_{\text{N}}\), elle reçoit bien deux fois moins de courant (2A contre 4A).
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente avec le diviseur de courant est d'inverser les résistances au numérateur. Souvenez-vous : pour calculer le courant dans une branche, on met la résistance de l'autre branche au numérateur.
Points à retenir
La formule du diviseur de courant est un outil essentiel pour analyser les circuits parallèles. Elle permet de trouver la répartition des courants sans avoir à calculer la tension commune aux branches.
Le saviez-vous ?
La loi des nœuds de Kirchhoff est une manifestation du principe de conservation de la charge électrique. Elle stipule qu'aucune charge ne peut être créée ou détruite en un point du circuit. Ainsi, tout ce qui rentre doit forcément ressortir !
FAQ
Voici quelques questions fréquentes :
Résultat Final
A vous de jouer
Avec ce même générateur de Norton (\(I_{\text{N}}=6\,\text{A}, R_{\text{N}}=2\,\Omega\)), si on place une charge \(R_{\text{L}}\) de 1 Ω, quel sera le courant \(I\) la traversant ?
Outil Interactif : Simulateur Thévenin-Norton
Utilisez les curseurs pour modifier les paramètres du générateur de Thévenin (\(E_{\text{th}}\) et \(R_{\text{th}}\)) et observez en temps réel les caractéristiques du générateur de Norton équivalent, ainsi que l'impact sur le courant dans la charge.
Paramètres du Générateur de Thévenin
Résultats Équivalents
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un générateur de Thévenin est constitué de...
2. Comment calcule-t-on le courant de Norton \(I_{\text{N}}\) à partir d'un modèle de Thévenin (\(E_{\text{th}}\), \(R_{\text{th}}\)) ?
3. Dans un modèle de Norton, les composants sont connectés...
4. Si \(E_{\text{th}} = 20\,\text{V}\) et \(R_{\text{th}} = 5\,\Omega\), que vaut \(I_{\text{N}}\) ?
5. L'équivalence Thévenin-Norton est principalement utilisée pour...
Glossaire
- Source de tension idéale
- Un composant théorique qui fournit une tension constante, quelle que soit le courant qu'il débite. Sa résistance interne est nulle.
- Source de courant idéale
- Un composant théorique qui fournit un courant constant, quelle que soit la tension à ses bornes. Sa résistance interne est infinie.
- Résistance interne
- La résistance inhérente à un générateur réel, qui limite le courant ou fait chuter la tension qu'il peut fournir. Elle est modélisée par \(R_{\text{th}}\) ou \(R_{\text{N}}\).
- Théorème de Thévenin
- Un principe d'analyse de circuit qui permet de remplacer un réseau électrique complexe par une unique source de tension en série avec une unique résistance.
- Théorème de Norton
- L'équivalent du théorème de Thévenin pour les sources de courant. Il permet de remplacer un réseau par une source de courant en parallèle avec une résistance.
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