Circuits Électriques

Établissement du courant dans une bobine

Électricité : Établissement du courant dans une bobine (circuit RL)

Établissement du courant dans une bobine (circuit RL)

Contexte : L'Inertie du Courant

Tout comme un condensateur s'oppose à une variation de tension, une bobineComposant qui stocke de l'énergie dans un champ magnétique et s'oppose aux variations de courant. s'oppose à une variation de courant. Lorsqu'on applique une tension continue à un circuit RL (Résistance-Bobine), le courant ne s'établit pas instantanément. La bobine, par la création d'un champ magnétique, génère une tension à ses bornes qui s'oppose à la source, freinant ainsi la montée du courant. Le courant augmente donc progressivement selon une loi exponentielle, jusqu'à atteindre sa valeur finale déterminée par la résistance.

Remarque Pédagogique : L'étude du circuit RL est le parfait "dual" de celle du circuit RC. Comprendre ce phénomène est essentiel pour analyser le comportement des moteurs, des transformateurs, et de tous les circuits utilisant des électro-aimants. La notion de constante de tempsCaractéristique d'un circuit RL (τ = L/R) qui définit la vitesse d'établissement du courant. est, ici aussi, fondamentale.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le phénomène d'établissement du courant dans une bobine.
  • Calculer la constante de temps d'un circuit RL (\(\tau = L/R\)).
  • Appliquer l'équation du courant : \(i(t) = I_{\text{final}}(1 - e^{-t/\tau})\).
  • Appliquer l'équation de la tension aux bornes de la bobine : \(u_L(t) = U_G e^{-t/\tau}\).
  • Déterminer le courant et la tension à un instant donné du régime transitoire.

Données de l'étude

Un circuit RL série est composé d'un générateur de tension continue \(U_G = 12 \, \text{V}\), d'un interrupteur, d'une résistance \(R = 100 \, \Omega\) et d'une bobine d'inductance \(L = 200 \, \text{mH}\). À l'instant \(t=0\), on ferme l'interrupteur.

Schéma du Circuit RL Série
U_G 12 V t=0 R=100Ω L=200mH

Données :

  • Tension du générateur : \(U_G = 12 \, \text{V}\)
  • Résistance : \(R = 100 \, \Omega\)
  • Inductance : \(L = 200 \, \text{mH} = 0.200 \, \text{H}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
  2. Calculer le courant final \(I_{\text{final}}\) qui s'établira dans le circuit en régime permanent.
  3. Calculer l'intensité du courant \(i(t)\) à l'instant \(t = 1 \, \text{ms}\).

Correction : Établissement du courant dans une bobine (circuit RL)

Question 1 : Constante de Temps (\(\tau\))

Principe :

La constante de temps \(\tau\) d'un circuit RL caractérise la rapidité avec laquelle le courant s'établit. Elle est définie par le rapport de l'inductance sur la résistance. Une grande inductance ou une faible résistance mènent à une constante de temps plus longue, et donc à un établissement du courant plus lent.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Tout comme pour le circuit RC, la constante de temps \(\tau\) représente le temps nécessaire pour que le système atteigne environ 63% de son changement total. Ici, c'est le temps pour que le courant atteigne 63% de sa valeur finale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau = \frac{L}{R} \]
Donnée(s) :
  • \(L = 0.200 \, \text{H}\)
  • \(R = 100 \, \Omega\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \tau &= \frac{0.200}{100} \\ &= 0.002 \, \text{s} = 2 \, \text{ms} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités SI : Pour obtenir une constante de temps en secondes (s), il est impératif que l'inductance soit en Henrys (H) et la résistance en Ohms (\(\Omega\)). Les préfixes mH, \(\mu\)H, k\(\Omega\), etc., doivent être convertis.

Le saviez-vous ?

La constante de temps \(\tau = L/R\) est aussi appelée "constante de temps électrique". Il existe une constante de temps "magnétique" qui caractérise la diffusion du champ magnétique dans un matériau conducteur, mais c'est un concept plus avancé lié à la physique des matériaux.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la formule est-elle \(L/R\) et non \(L \times R\) ?

Dimensionnellement, le Henry (H) équivaut à des Ohms-secondes (\(\Omega \cdot s\)). Donc, en divisant des Henrys par des Ohms, on obtient bien des secondes : \(\frac{\Omega \cdot s}{\Omega} = s\). Cela montre la cohérence des unités du Système International.

Résultat : La constante de temps du circuit est \(\tau = 2 \, \text{ms}\).

Question 2 : Courant Final (\(I_{\text{final}}\))

Principe :

Une fois que le régime transitoire est terminé (théoriquement à \(t \to \infty\), en pratique après \(5\tau\)), le courant ne varie plus. La bobine, qui ne s'oppose qu'aux *variations* de courant, se comporte alors comme un simple fil de résistance nulle. Le circuit devient équivalent à un générateur alimentant une unique résistance R.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le comportement d'une bobine est radicalement différent entre le début du transitoire (\(t=0\)), où elle se comporte comme un circuit ouvert, et la fin (\(t \to \infty\)), où elle se comporte comme un court-circuit. C'est l'inverse du condensateur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I_{\text{final}} = \frac{U_G}{R} \]
Donnée(s) :
  • \(U_G = 12 \, \text{V}\)
  • \(R = 100 \, \Omega\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} I_{\text{final}} &= \frac{12}{100} \\ &= 0.12 \, \text{A} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas inclure la bobine : Dans le calcul du courant en régime *permanent continu*, l'inductance L n'intervient pas. Le courant final n'est limité que par la résistance totale du circuit.

Le saviez-vous ?

Les électro-aimants utilisés dans les relais ou les gâches de porte sont de grosses bobines. Lorsque vous les alimentez, le courant met un certain temps à s'établir, ce qui crée un léger délai (quelques millisecondes) avant que la force magnétique soit suffisante pour actionner le mécanisme.

FAQ en rapport avec la question :
Quelle est la tension aux bornes de la bobine en régime permanent ?

Puisqu'elle se comporte comme un fil parfait (résistance nulle), la tension à ses bornes est nulle : \(u_L = 0 \, \text{V}\). Toute la tension du générateur se retrouve alors aux bornes de la résistance R.

Résultat : Le courant final en régime permanent est de \(0.12 \, \text{A}\).

Question 3 : Courant à l'instant \(t = 1 \, \text{ms}\)

Principe :

Le courant dans un circuit RL lors de son établissement ne monte pas linéairement. Il suit une loi de croissance exponentielle qui part de 0 et tend vers la valeur finale \(I_{\text{final}}\). La vitesse de cette croissance est déterminée par la constante de temps \(\tau\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette équation est le miroir de celle de la tension dans un circuit RC. Dans les deux cas, la forme \(X_{\text{final}}(1 - e^{-t/\tau})\) décrit la transition d'un état initial nul vers un état final stable.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ i(t) = I_{\text{final}} (1 - e^{-t/\tau}) \]
Donnée(s) :
  • \(I_{\text{final}} = 0.12 \, \text{A}\)
  • \(\tau = 0.002 \, \text{s}\)
  • \(t = 1 \, \text{ms} = 0.001 \, \text{s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} i(1\text{ms}) &= 0.12 \times (1 - e^{-0.001/0.002}) \\ &= 0.12 \times (1 - e^{-0.5}) \\ &\approx 0.12 \times (1 - 0.6065) \\ &\approx 0.12 \times 0.3935 \\ &\approx 0.0472 \, \text{A} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Cohérence des unités de temps : Le temps \(t\) et la constante de temps \(\tau\) doivent être dans la même unité (ici, les secondes) pour que le rapport \(t/\tau\) dans l'exponentielle soit sans dimension, comme il se doit.

Le saviez-vous ?

Lorsqu'on coupe brutalement le courant dans un circuit contenant une bobine, celle-ci tente de maintenir le courant en générant une très forte surtension à ses bornes. C'est ce principe qui est utilisé dans les bobines d'allumage des voitures pour créer l'étincelle haute tension nécessaire à la combustion.

FAQ en rapport avec la question :
Quelle est la tension aux bornes de la bobine à cet instant ?

On utilise la loi des mailles : \(U_G = u_R(t) + u_L(t)\). On calcule d'abord \(u_R(t) = R \times i(t) = 100 \times 0.0472 = 4.72 \, \text{V}\). Ensuite, \(u_L(t) = U_G - u_R(t) = 12 - 4.72 = 7.28 \, \text{V}\). On peut aussi utiliser la formule de la tension : \(u_L(t) = U_G e^{-t/\tau} = 12 \times e^{-0.5} \approx 7.28 \, \text{V}\).

Résultat : À \(t=1\text{ms}\), le courant dans le circuit est d'environ \(47.2 \, \text{mA}\).

Simulation Interactive

Faites varier la résistance et l'inductance. Observez comment la constante de temps \(\tau\) change et comment cela affecte la vitesse d'établissement du courant.

Paramètres du Circuit RL
Constante de Temps τ
Courant Final I_final
Courbe d'Établissement du Courant

Pour Aller Plus Loin : Rupture du Courant

Le danger de la coupure : Couper brutalement le courant dans une bobine est dangereux. La bobine s'oppose à cette variation en générant une surtension très élevée à ses bornes (\(u_L = -L \frac{di}{dt}\)). Si la coupure est instantanée, \(di/dt\) est immense et la surtension peut atteindre des milliers de volts, créant un arc électrique aux bornes de l'interrupteur et endommageant les composants. C'est pourquoi on place souvent une "diode de roue libre" en parallèle avec une bobine pour offrir un chemin au courant lors de la coupure.

Le Saviez-Vous ?

L'unité de l'inductance, le Henry (H), a été nommée en l'honneur de Joseph Henry, un scientifique américain qui a découvert le phénomène d'auto-induction de manière indépendante et à peu près en même temps que Michael Faraday en Angleterre. Le Henry est une unité très grande ; les inductances courantes se mesurent en millihenrys (mH) ou microhenrys (\(\mu\)H).

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la résistance R est nulle ?

Si R est nulle, la constante de temps \(\tau = L/R\) devient infinie. Le courant, donné par \(i(t) = (U_G/R)(1-e^{-t/\tau})\), augmenterait linéairement sans jamais se stabiliser (\(i(t) = (U_G/L)t\)). En pratique, la résistance du fil et de la source n'est jamais nulle, ce qui limite le courant.

Comment se comporte la tension aux bornes de la bobine ?

À l'instant \(t=0\), la bobine s'oppose totalement à l'établissement du courant, et toute la tension du générateur se retrouve à ses bornes (\(u_L(0) = U_G\)). Puis, à mesure que le courant s'établit, la tension \(u_L\) décroît exponentiellement vers zéro, selon la loi \(u_L(t) = U_G e^{-t/\tau}\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour ralentir l'établissement du courant dans un circuit RL, on peut :

2. À l'instant \(t=0\), une bobine idéale se comporte comme :

Glossaire

Circuit RL
Un circuit composé d'une résistance (R) et d'une bobine (Inductance L).
Régime Transitoire
La phase durant laquelle les tensions et courants d'un circuit évoluent d'un état stable initial à un nouvel état stable final.
Constante de Temps (\(\tau\))
Pour un circuit RL, \(\tau = L/R\). C'est une mesure de la rapidité de l'établissement (ou de la rupture) du courant.
Régime Permanent
L'état stable atteint par le circuit après la fin du régime transitoire (généralement après \(5\tau\)). En continu, le courant est constant.
Phénomènes Transitoires : Établissement du courant dans une bobine (circuit RL)

D’autres exercices de Phénomènes transitoires:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *