Filtre RLC Série Passe-Bande - Exercice corrigé

Contexte : Le Filtre RLC SérieUn circuit composé d'une Résistance (R), d'une Inductance (L) et d'un Condensateur (C) connectés en série..

Cet exercice porte sur l'analyse d'un circuit RLC série en régime sinusoïdal permanent. Nous allons étudier sa réponse en fréquence pour démontrer son caractère de filtre "passe-bande". L'analyse sera menée en utilisant la méthode des impédances complexes, un outil fondamental en génie électrique pour l'étude des circuits en courant alternatif.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour comprendre les concepts de résonance, de facteur de qualité et de bande passante, qui sont au cœur de nombreuses applications en électronique et en télécommunications (radios, filtres, etc.).

Objectifs Pédagogiques

Maîtriser la méthode d'analyse des circuits en régime sinusoïdal (impédances complexes).
Déterminer la fonction de transfert (gain et phase) d'un filtre RLC série.
Calculer la fréquence de résonance, la bande passante et le facteur de qualité.
Comprendre et tracer le diagramme de Bode (gain) pour un filtre passe-bande.

Données de l'étude

On étudie le circuit RLC série ci-dessous, alimenté par une source de tension sinusoïdale \(v_e(t)\) d'amplitude constante et de fréquence variable \(f\). La tension de sortie \(v_s(t)\) est prise aux bornes de la résistance R.

Schéma du Filtre RLC Série

Valeurs des Composants

Composant	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	R	10	Ω
Inductance	L	50	mH
Condensateur	C	20	µF

Questions à traiter

Exprimer l'impédance complexe totale \(Z_{eq}\) du circuit en fonction de R, L, C et de la pulsation \(\omega\).
Déterminer la fonction de transfert complexe \(H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e}\).
Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique : \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + jQ(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega})}\). Identifier K, \(\omega_0\) et Q.
Calculer la fréquence de résonance \(f_0\) (en Hz), le facteur de qualité Q et la bande passante \(\Delta f\) (en Hz).
Calculer le gain en décibels (dB) à la résonance. Que vaut le déphasage \(\phi\) à cette fréquence ?

Les bases sur l'Analyse Sinusoïdale

Pour analyser ce circuit en régime sinusoïdal permanent (RSP), on utilise la méthode des impédances complexes. Chaque composant passif est représenté par son impédance complexe \(Z\), qui dépend de la pulsation \(\omega = 2\pi f\).

1. Impédances Complexes
Les impédances des composants passifs de base sont :

Résistance (R) : \( Z_R = R \) (réel pur)
Inductance (L) : \( Z_L = jL\omega \) (imaginaire pur positif)
Condensateur (C) : \( Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} \) (imaginaire pur négatif)

2. Fonction de Transfert et Diagramme de Bode
La fonction de transfert \(H(j\omega)\) est le rapport de la tension de sortie complexe sur la tension d'entrée complexe : \(H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e}\).

Le gain (module) : \( |H(j\omega)| \)
Le déphasage (argument) : \( \phi = \arg(H(j\omega)) \)
Le gain en décibels (dB) est : \( G_{dB} = 20 \log_{10} |H(j\omega)| \)

Correction : Filtre RLC Série Passe-Bande

Question 1 : Exprimer l'impédance complexe totale \(Z_{eq}\) du circuit...

Principe

L'information "en série" vient du schéma. La loi des mailles (issue des lois de Kirchhoff) nous dit que pour des éléments en série, les tensions s'ajoutent. En régime sinusoïdal, cela se traduit par le fait que les impédances complexes s'ajoutent.

Mini-Cours

L'impédance est la "résistance" en courant alternatif. Elle vient de la relation tension/courant pour chaque composant en régime sinusoïdal.

Pour R : \(v = Ri \Rightarrow V = RI \Rightarrow Z_R = R\).
Pour L : \(v = L \frac{di}{dt}\). Si \(i(t) = I_0 e^{j\omega t}\), alors \(\frac{di}{dt} = j\omega (I_0 e^{j\omega t}) = j\omega i(t)\). Donc \(V = L(j\omega I) \Rightarrow Z_L = jL\omega\).
Pour C : \(i = C \frac{dv}{dt}\). De même, \(I = C(j\omega V) \Rightarrow V = \frac{1}{jC\omega} I \Rightarrow Z_C = \frac{1}{jC\omega}\).

Remarque Pédagogique

C'est la première étape fondamentale. Il faut bien identifier tous les éléments du circuit et la manière dont ils sont connectés (série ou parallèle). Ici, c'est une simple boucle.

Normes

Cette méthode d'analyse (loi des mailles / loi d'Ohm en complexe) est la base de l'électrocinétique en régime sinusoïdal.

Formule(s)

Nous utilisons les définitions des impédances (issues du mini-cours) et la loi d'addition pour les circuits série (issue du principe).

Impédances de base

Z_R = R \quad | \quad Z_L = jL\omega \quad | \quad Z_C = \frac{1}{jC\omega}

Association Série

Z_{eq} = Z_R + Z_L + Z_C

Hypothèses

L'analyse est valide sous les hypothèses suivantes :

Le circuit est en Régime Sinusoïdal Permanent (RSP). C'est l'hypothèse fondamentale qui permet d'utiliser les nombres complexes (\(e^{j\omega t}\)) et donc les impédances.
Les composants R, L, C sont considérés comme idéaux et linéaires (leur valeur ne change pas avec le courant ou la tension).

Donnée(s)

Pas de données numériques requises pour cette question symbolique. Nous utilisons les symboles R, L, C.

Astuces

N'oubliez pas que \(j^2 = -1\), donc \(\frac{1}{j} = \frac{j}{j \cdot j} = \frac{j}{-1} = -j\). C'est utile pour écrire \(Z_C = -\frac{j}{C\omega}\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé est la référence. Il montre clairement la topologie en série.

Schéma du Filtre RLC Série

Calcul(s)

On additionne simplement les trois impédances complexes.

Étape 1 : Somme des impédances

\begin{aligned} Z_{eq} &= Z_R + Z_L + Z_C \\ &= R + jL\omega + \frac{1}{jC\omega} \end{aligned}

Étape 2 : Regroupement des parties réelles et imaginaires

On utilise l'astuce mathématique \(\frac{1}{j} = -j\) pour remonter le \(j\) du dénominateur ( \( \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} \) ). Cela permet de factoriser \(j\) et de séparer la partie réelle (R) de la partie imaginaire (la réactance X).

Z_{eq} = R + jL\omega - \frac{j}{C\omega} = R + j \left( L\omega - \frac{1}{C\omega} \right)

Schéma (Après les calculs)

On peut représenter \(Z_{eq}\) dans le plan complexe (Diagramme de Fresnel), pour un cas où \(\omega > \omega_0\) (partie imaginaire positive).

Diagramme de Fresnel de \(Z_{eq}\) (cas \(\omega > \omega_0\))

Réflexions

L'impédance totale \(Z_{eq}\) est un nombre complexe. Sa partie réelle est la résistance \(R\), et sa partie imaginaire est la réactance totale \(X = L\omega - \frac{1}{C\omega}\). On voit que la réactance \(X\) dépend de la fréquence.

À basse fréquence (\(\omega \rightarrow 0\)), \(X \rightarrow -\infty\) (dominé par \(C\)). Le circuit est "capacitif".
À haute fréquence (\(\omega \rightarrow \infty\)), \(X \rightarrow +\infty\) (dominé par \(L\)). Le circuit est "inductif".

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mal additionner les impédances, ou d'oublier le \(j\). N'additionnez jamais les modules ! \(|Z_{eq}| \neq |Z_R| + |Z_L| + |Z_C|\).

Points à retenir

Les impédances en série s'ajoutent : \(Z_{eq} = Z_R + Z_L + Z_C\).
L'impédance totale a une partie réelle (résistive) et une partie imaginaire (réactive).

Le saviez-vous ?

La partie imaginaire, la réactance \(X\), représente l'énergie stockée et restituée par les composants réactifs (L et C). La partie réelle \(R\) représente l'énergie dissipée par effet Joule.

FAQ

...

Résultat Final

\[ Z_{eq} = R + j \left( L\omega - \frac{1}{C\omega} \right) \]

A vous de jouer

Que vaut la partie imaginaire (la réactance X) si \(L\omega = \frac{1}{C\omega}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Addition d'impédances en série.
Formule Essentielle : \(Z_{eq} = R + Z_L + Z_C\).
Résultat : \(Z_{eq} = R + j(L\omega - 1/C\omega)\).

Question 2 : Déterminer la fonction de transfert \(H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e}\).

Principe

L'information "sortie aux bornes de R" vient de l'énoncé. Dans un circuit série, le courant \(I\) est le même partout. La tension aux bornes de chaque élément est \(V_Z = Z \cdot I\). La tension d'entrée \(V_e\) voit l'impédance totale \(Z_{eq}\), donc \(V_e = Z_{eq} \cdot I\). La tension de sortie est \(V_s = Z_R \cdot I = R \cdot I\). La formule du diviseur de tension est un raccourci pour cette logique.

Mini-Cours

Le pont diviseur de tension est une loi fondamentale. Il vient de la combinaison de la loi d'Ohm et de la loi des mailles.
1. Le courant dans la boucle est \(I = \frac{V_{total}}{Z_{total}}\) (Loi d'Ohm).
2. La tension aux bornes de la sortie \(Z_2\) est \(V_2 = Z_2 \cdot I\) (Loi d'Ohm).
3. En substituant I : \(V_2 = Z_2 \cdot \left( \frac{V_{total}}{Z_{total}} \right) = V_{total} \cdot \frac{Z_2}{Z_{total}}\).

Remarque Pédagogique

Toujours identifier où la sortie est prise ! Si la sortie avait été prise aux bornes de C, la fonction de transfert (et la nature du filtre) aurait été complètement différente (filtre passe-bas).

Normes

...

Formule(s)

Pont Diviseur de Tension (issu du Mini-Cours)

V_s = V_e \cdot \frac{Z_{sortie}}{Z_{total}}

Hypothèses

Les mêmes hypothèses que pour la Q1 (RSP, composants idéaux) s'appliquent.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 pour \(Z_{total} = Z_{eq}\) et l'impédance de sortie (vue sur le schéma) \(Z_{sortie} = Z_R = R\).

Astuces

...

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre que \(V_e\) est appliquée à l'ensemble (R+L+C) et que \(V_s\) est mesurée aux bornes de R.

Schéma du Filtre RLC Série

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule du diviseur

On pose la formule du pont diviseur avec \(Z_{sortie} = R\) et \(Z_{total} = Z_{eq}\).

V_s = V_e \cdot \frac{Z_R}{Z_{eq}} = V_e \cdot \frac{R}{Z_R + Z_L + Z_C}

Étape 2 : Remplacement avec le résultat de la Q1

On remplace le terme \(Z_R + Z_L + Z_C\) au dénominateur par l'expression trouvée à la Q1.

V_s = V_e \cdot \frac{R}{R + j \left( L\omega - \frac{1}{C\omega} \right)}

Étape 3 : Isoler la fonction de transfert \(H(j\omega)\)

La fonction de transfert est, par définition, le rapport \(\frac{V_s}{V_e}\). Il suffit de diviser les deux côtés de l'équation précédente par \(V_e\).

H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e} = \frac{R}{R + j \left( L\omega - \frac{1}{C\omega} \right)}

Schéma (Après les calculs)

...

Réflexions

Cette fonction de transfert est un nombre complexe qui dépend de \(\omega\). On peut analyser son comportement aux limites :

Si \(\omega \rightarrow 0\) (basse fréquence), \(1/C\omega \rightarrow \infty\). Donc \(Z_{eq} \rightarrow \infty\). \(H = R/Z_{eq} \rightarrow 0\). Le filtre bloque les basses fréquences.
Si \(\omega \rightarrow \infty\) (haute fréquence), \(L\omega \rightarrow \infty\). Donc \(Z_{eq} \rightarrow \infty\). \(H = R/Z_{eq} \rightarrow 0\). Le filtre bloque les hautes fréquences.
Si \(L\omega - 1/C\omega = 0\) (résonance), \(Z_{eq} = R\). \(H = R/R = 1\). Le filtre laisse passer cette fréquence.

C'est bien un filtre passe-bande.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(\frac{V_s}{V_e}\) avec \(\frac{V_e}{V_s}\) ou \(\frac{I}{V_e}\) (l'admittance). L'ordre est crucial.

Points à retenir

La fonction de transfert d'un filtre RLC série (sortie sur R) est \(H(j\omega) = \frac{R}{Z_{eq}}\).

Le saviez-vous ?

Si on avait pris la sortie aux bornes de L et C ensemble (un "notch filter"), la fonction de transfert aurait été \(H(j\omega) = \frac{Z_L + Z_C}{Z_{eq}}\). À la résonance, le numérateur devient nul !

FAQ

Aucune FAQ spécifique pour cette étape, c'est une application directe du pont diviseur.

Résultat Final

\[ H(j\omega) = \frac{R}{R + j \left( L\omega - \frac{1}{C\omega} \right)} \]

A vous de jouer

... (exercice non pertinent pour cette étape)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Pont diviseur de tension.
Formule : \(H = \frac{Z_{sortie}}{Z_{total}}\).

Question 3 : Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique...

Principe

L'objectif est de réécrire l'expression de \(H(j\omega)\) pour faire apparaître les paramètres normalisés de tout filtre du second ordre. C'est une "factorisation normalisée" qui permet d'isoler les paramètres physiques clés : le gain \(K\), la pulsation de résonance \(\omega_0\), et le facteur de qualité \(Q\).

Mini-Cours

La forme canonique d'un filtre passe-bande du second ordre est \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + jQ(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega})}\).

\(\omega_0\) (Pulsation de résonance) : Vient de la condition physique où les réactances s'annulent : \(L\omega_0 = \frac{1}{C\omega_0} \Rightarrow \omega_0^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\).
\(Q\) (Facteur de qualité) : C'est un paramètre qui mesure la "netteté" de la résonance. Il est défini comme \(Q = \frac{L\omega_0}{R}\) (ou de manière équivalente \(Q = \frac{1}{RC\omega_0}\)).
\(K\) (Gain) : C'est le gain du filtre à la résonance (\(\omega = \omega_0\)).

Remarque Pédagogique

Cette mise en forme est universelle pour tous les filtres du second ordre (passe-bas, passe-haut, passe-bande). Elle permet de comparer leurs performances (Q, \(\omega_0\)) indépendamment des valeurs R, L, C qui les composent.

Normes

Cette notation (K, Q, \(\omega_0\)) est la norme en électronique et en traitement du signal pour caractériser les filtres.

Formule(s)

Fonction de Transfert (Q2)

H(j\omega) = \frac{R}{R + j \left( L\omega - \frac{1}{C\omega} \right)}

Définitions Canoniques (issues du Mini-Cours)

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad | \quad Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{RC\omega_0}

Hypothèses

On pose les définitions standards de \(\omega_0\) et Q pour un circuit RLC série.

Les définitions de \(\omega_0\) et Q sont celles standards pour un circuit RLC série.

Donnée(s)

On utilise la fonction de transfert de la Q2 comme point de départ.

Astuces

Pour retrouver \(Q\), mettez le terme en \(j\) sous la forme \(j \cdot (\text{quelque chose}) / R\). Ce "quelque chose" est \(L\omega - 1/C\omega\). C'est ce terme qu'il faut ensuite factoriser pour faire apparaître \(Q \cdot (\omega/\omega_0 - \omega_0/\omega)\).

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma spécifique pour cette étape de manipulation algébrique.

Calcul(s)

Étape 1 : Factoriser par R

On met R en facteur au dénominateur pour faire apparaître le '1 +' de la forme canonique. Le R au numérateur se simplifie avec le R factorisé.

H(j\omega) = \frac{R}{R \left[ 1 + \frac{j}{R} \left( L\omega - \frac{1}{C\omega} \right) \right]} = \frac{1}{1 + \frac{j}{R} \left( L\omega - \frac{1}{C\omega} \right)}

Étape 2 : Manipulation du terme imaginaire

On distribue le \(\frac{j}{R}\) à l'intérieur de la parenthèse pour isoler les termes qui dépendront de Q.

\frac{j}{R} \left( L\omega - \frac{1}{C\omega} \right) = j \left( \frac{L\omega}{R} - \frac{1}{RC\omega} \right)

Étape 3 : Introduire \(\omega_0\) et Q

C'est l'étape la plus technique. On veut faire apparaître \(Q\). On sait que \(Q = \frac{L\omega_0}{R}\), donc \(\frac{L}{R} = \frac{Q}{\omega_0}\). On sait aussi que \(Q = \frac{1}{RC\omega_0}\), donc \(\frac{1}{RC} = Q\omega_0\). On remplace ces deux termes (L/R et 1/RC) dans l'équation de l'Étape 2.

\text{On a: } j \left( \left(\frac{L}{R}\right)\omega - \left(\frac{1}{RC}\right)\frac{1}{\omega} \right) \] \[ \text{On remplace: } j \left( \left(\frac{Q}{\omega_0}\right)\omega - \left(Q\omega_0\right)\frac{1}{\omega} \right) = jQ \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right)

Étape 4 : Substitution

On remplace le terme imaginaire de l'Étape 1 par le résultat de l'Étape 3 pour obtenir la forme canonique finale.

H(j\omega) = \frac{1}{1 + jQ \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right)}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma applicable.

Réflexions

En comparant avec la forme canonique demandée \(H(j\omega) = \frac{K}{...}\), on identifie les termes par simple observation :

Le gain (à la résonance) \(K = 1\) (ou 0 dB).
La pulsation de résonance \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) (issue de la définition utilisée à l'étape 3).
Le facteur de qualité \(Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{RC\omega_0}\) (issu de la définition utilisée à l'étape 3).

Points de vigilance

Ne pas confondre \(K\) (le gain, ici K=1) et \(Q\) (le facteur de qualité). Le gain \(K\) est le gain à la résonance pour un passe-bande.

Points à retenir

La forme canonique est \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + jQ(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega})}\).
Identifier \(\omega_0\) permet de trouver le "centre" du filtre, et \(Q\) sa "netteté".

Le saviez-vous ?

Le terme \(x = (\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega})\) est appelé la "variable de désyntonisation" (ou "detuning"). La fonction de transfert s'écrit simplement \(H = 1 / (1 + jQx)\).

FAQ

...

Résultat Final

\[ H(j\omega) = \frac{1}{1 + jQ \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right)} \text{ avec } K=1, \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, Q = \frac{L\omega_0}{R} \]

A vous de jouer

... (exercice non pertinent pour cette étape)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Forme canonique d'un filtre passe-bande 2nd ordre.
Paramètres : \(K=1\), \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\), \(Q = L\omega_0/R\).

Question 4 : Calculer \(f_0\), Q et \(\Delta f\).

Principe

C'est l'application numérique. Nous allons utiliser les formules symboliques que nous venons de trouver (\(\omega_0\) et Q à la Q3) et les valeurs numériques (R, L, C) fournies dans l'énoncé de l'exercice.

Mini-Cours

La bande passante \(\Delta f\) (ou \(\Delta \omega\)) est l'intervalle de fréquences où le gain est supérieur au gain max divisé par \(\sqrt{2}\) (soit -3 dB). Pour un filtre du second ordre, on démontre que la relation entre la fréquence centrale, le facteur de qualité et la bande passante est : \(Q = \frac{f_0}{\Delta f}\) (ou \(\omega_0 / \Delta\omega\)). Donc \(\Delta f = f_0 / Q\).

Remarque Pédagogique

Ce calcul est le cœur de l'ingénierie des filtres. Il permet de dimensionner un circuit (choisir R, L, C) pour obtenir une fréquence centrale (\(f_0\)) et une sélectivité (\(Q\)) désirées.

Normes

La bande passante est conventionnellement définie à -3 dB, car cela correspond au point où la puissance du signal est divisée par deux. \(P = V^2/R\). Si V devient \(V/\sqrt{2}\), P devient \((V/\sqrt{2})^2 / R = (V^2/2) / R = P/2\).

Formule(s)

Formules de calcul (issues de Q3 et Mini-Cours)

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad | \quad f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}

Q = \frac{L\omega_0}{R} \quad | \quad \Delta f = \frac{f_0}{Q}

Hypothèses

On utilise les valeurs de l'énoncé et on suppose les composants parfaits.

Donnée(s)

Ce sont les valeurs numériques de l'énoncé. Il est crucial de les convertir en unités du Système International (SI) (Henry, Farad, Ohm) avant tout calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur (Énoncé)	Valeur (SI)
Résistance	R	10 Ω	10 Ω
Inductance	L	50 mH	\(50 \times 10^{-3}\) H
Condensateur	C	20 µF	\(20 \times 10^{-6}\) F

Astuces

Calculez d'abord \(\omega_0\), puis utilisez cette valeur pour calculer Q. Enfin, utilisez Q et \(\omega_0\) (ou \(f_0\)) pour trouver la bande passante.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire, nous appliquons des formules.

Calcul(s)

Étape 1 : Pulsation de résonance \(\omega_0\)

On applique la formule \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\) avec les valeurs de l'énoncé converties en unités SI : L = 50 mH = \(50 \times 10^{-3}\) H et C = 20 µF = \(20 \times 10^{-6}\) F.

\begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{(50 \times 10^{-3}) \cdot (20 \times 10^{-6})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{(50 \cdot 20) \times (10^{-3} \cdot 10^{-6})}} = \frac{1}{\sqrt{1000 \times 10^{-9}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10^{-3}} \\ \Rightarrow \omega_0 &= 1000 \text{ rad/s} \end{aligned}

Étape 2 : Fréquence de résonance \(f_0\)

La fréquence \(f_0\) (en Hertz) est liée à la pulsation \(\omega_0\) (en rad/s) par la relation \(f = \omega / 2\pi\). On utilise la valeur de \(\omega_0\) calculée à l'étape 1.

f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1000}{2\pi} \approx 159.15 \text{ Hz}

Étape 3 : Facteur de qualité Q

On applique la formule du facteur de qualité \(Q = \frac{L\omega_0}{R}\). On utilise L = \(50 \times 10^{-3}\) H, \(\omega_0 = 1000\) rad/s, et R = 10 Ω.

Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{(50 \times 10^{-3}) \cdot 1000}{10} = \frac{50}{10} = 5

Étape 4 : Bande passante \(\Delta f\)

La bande passante \(\Delta f\) (en Hertz) est définie par \(\Delta f = f_0 / Q\). On utilise les valeurs de \(f_0\) et Q calculées aux étapes 2 et 3.

\Delta f = \frac{f_0}{Q} = \frac{159.15}{5} \approx 31.83 \text{ Hz}

Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser ces résultats sur le diagramme de Bode (voir section simulation) : le pic est à 159 Hz, et la "largeur" du pic à -3dB est de 32 Hz.

Visualisation des résultats sur le Diagramme de Bode (Gain)

Réflexions

Le facteur de qualité \(Q=5\) est nettement supérieur à 1. Cela signifie que le filtre est sélectif : il a une bande passante étroite (environ 32 Hz) centrée autour de 159 Hz. Il "sélectionne" très bien cette fréquence et atténue fortement les autres.

Points de vigilance

Attention aux préfixes ! mH = \(10^{-3}\) H, µF = \(10^{-6}\) F. Une erreur ici fausse tous les calculs. Vérifiez aussi que Q est sans dimension.

Points à retenir

Le calcul de \(f_0\) et \(Q\) est fondamental.
\(\Delta f = f_0 / Q\) montre que plus Q est grand, plus le filtre est sélectif (bande passante étroite).

Le saviez-vous ?

L'autre formule pour Q, \(Q = \frac{1}{RC\omega_0}\), donne le même résultat : \(Q = 1 / (10 \cdot 20 \times 10^{-6} \cdot 1000) = 1 / 0.2 = 5\). On peut utiliser l'une ou l'autre.

FAQ

...

Résultat Final

Fréquence de résonance : \(f_0 \approx 159.15 \text{ Hz}\)
Facteur de qualité : \(Q = 5\)
Bande passante : \(\Delta f \approx 31.83 \text{ Hz}\)

A vous de jouer

Que deviendrait le facteur de qualité Q si on augmentait la résistance R à 50 Ω (tous les autres composants inchangés) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

\(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\)
\(Q = L\omega_0/R\)
\(\Delta f = f_0/Q\)

Question 5 : Calculer le gain en dB et le déphasage à la résonance.

Principe

"À la résonance" est une condition physique. L'information vient de la question. Cela signifie que nous étudions le circuit au point précis où \(\omega = \omega_0\). Nous allons injecter cette condition dans la fonction de transfert (forme canonique ou non) pour voir ce qu'elle devient.

Mini-Cours

À la résonance \(\omega = \omega_0\), les réactances s'annulent : \(X = L\omega_0 - \frac{1}{C\omega_0} = 0\). L'impédance totale du circuit série \(Z_{eq} = R + jX\) devient donc purement réelle et minimale : \(Z_{eq} = R\). Le circuit RLC se comporte comme une simple résistance. C'est le point fondamental de la résonance série.

Remarque Pédagogique

C'est le point le plus important. À la résonance, le circuit RLC série est à son impédance minimale, le courant \(I = V_e / Z_{eq} = V_e / R\) est donc maximal. Comme \(V_s = I \cdot R\), la tension de sortie \(V_s\) est aussi maximale.

Normes

...

Formule(s)

Fonction de Transfert Canonique (de Q3)

H(j\omega) = \frac{1}{1 + jQ \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right)}

Condition de Résonance (de la question)

\omega = \omega_0

Hypothèses

On se place exactement à la pulsation \(\omega_0\).

Donnée(s)

Aucune donnée numérique n'est nécessaire, le résultat est symbolique (il vient de \(K=1\) trouvé en Q3).

Astuces

Vous pouvez utiliser la forme canonique (plus rapide) ou la forme de la Q2. Avec la Q2 : à \(\omega_0\), \(L\omega_0 - 1/C\omega_0 = 0\). Donc \(H(j\omega_0) = \frac{R}{R + j(0)} = \frac{R}{R} = 1\). Le résultat est identique.

Schéma (Avant les calculs)

À la résonance, on peut redessiner le circuit : L et C s'annulent (équivalent à un court-circuit), il ne reste que R en série avec la source Ve, et la sortie est prise aux bornes de R.

Circuit équivalent à la résonance (\(f_0\))

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(H(j\omega_0)\)

On évalue la fonction de transfert canonique \(H(j\omega)\) à la pulsation spécifique \(\omega = \omega_0\). Le terme 'variable' de la fonction s'annule, car \(\omega/\omega_0 = 1\) et \(\omega_0/\omega = 1\).

\begin{aligned} \text{Si } \omega = \omega_0 \text{, le terme } \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right) \text{ devient } \left( \frac{\omega_0}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega_0} \right) = (1 - 1) = 0 \\ H(j\omega_0) = \frac{1}{1 + jQ \cdot (0)} = \frac{1}{1 + 0} = 1 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du Gain en dB

Le gain en dB est calculé en prenant 20 fois le logarithme en base 10 du module (l'amplitude) de la fonction de transfert. Le module de 1 est 1. La formule vient de la définition du décibel.

|H(j\omega_0)| = |1| = 1 \] \[ G_{dB} = 20 \log_{10}(|H(j\omega_0)|) = 20 \log_{10}(1) = 0 \text{ dB}

Étape 3 : Calcul du Déphasage \(\phi\)

Le déphasage \(\phi\) est l'argument (l'angle) du nombre complexe \(H(j\omega_0)\). Le nombre complexe '1' (ou '1 + 0j') se trouve sur l'axe réel positif, son angle est donc de 0 degré.

\phi = \arg(H(j\omega_0)) = \arg(1) = 0^\circ \text{ (ou 0 rad)}

Schéma (Après les calculs)

Un diagramme de Fresnel à la résonance montrerait que \(V_L\) et \(V_C\) sont opposés et s'annulent. \(V_e\) et \(V_R\) (qui est \(V_s\)) sont colinéaires et égaux.

Diagramme de Fresnel à la résonance

Réflexions

À la fréquence de résonance :
1. Le gain est maximal et vaut 1 (soit 0 dB). Cela signifie que \(|V_s| = |V_e|\). Toute la tension d'entrée se retrouve aux bornes de la résistance.
2. Le déphasage est nul. La tension de sortie \(v_s(t)\) est parfaitement en phase avec la tension d'entrée \(v_e(t)\).
Cela s'explique : à la résonance, la réactance totale \(X = L\omega_0 - 1/C\omega_0 = 0\). L'impédance totale \(Z_{eq} = R + j(0) = R\). Le circuit RLC se comporte comme une simple résistance \(R\). D'où \(V_s = V_e \cdot (R / R) = V_e\). Physiquement, l'énergie "oscille" entre la bobine et le condensateur, et la source n'a besoin de fournir que la puissance dissipée par la résistance.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(\log_{10}(1) = 0\) avec \(\ln(1) = 0\). En électronique, on utilise \(20 \log_{10}\). Le gain de 1 (rapport) correspond à 0 dB.

Points à retenir

À la résonance, \(Z_{eq} = R\), le courant est maximal.
Le gain \(|H(j\omega_0)|\) est maximal et vaut K (ici, 1).
Le déphasage \(\phi\) est nul. Entrée et sortie sont en phase.

Le saviez-vous ?

À la résonance, les tensions \(V_L\) et \(V_C\) s'annulent, mais leurs amplitudes individuelles ne sont pas nulles ! Elles peuvent être très grandes. \(|V_L| = |jL\omega_0 I| = L\omega_0 (V_e/R) = (L\omega_0/R) V_e = Q \cdot V_e\). Pour Q=5 (notre exercice), la tension aux bornes de L (et C) est 5 fois plus grande que la tension d'entrée ! C'est le phénomène de "surtension".

FAQ

...

Résultat Final

À la résonance (\(f_0\)) :
Gain = 0 dB
Déphasage \(\phi\) = 0°

A vous de jouer

Le gain à la résonance est 1 (0 dB). Aux fréquences de coupure (bords de la bande passante), le gain est à -3dB. Quelle est la valeur du module du gain \(|H(j\omega)|\) (non en dB) à ces fréquences ? (Indice: \(20 \log(x) = -3\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Comportement à la résonance.
Résultats : \(Z_{eq} = R\), \(H(j\omega_0) = 1\), Gain = 0 dB, Phase = 0°.
Raison : Les réactances de L et C s'annulent mutuellement.

Outil Interactif : Diagramme de Bode

Explorez comment la résistance (R) et le condensateur (C) affectent la réponse en fréquence du filtre (L'inductance L est fixée à 50 mH).

Paramètres d'Entrée

Résistance (R) [Ω] 10 Ω

Condensateur (C) [µF] 20 µF

Résultats Clés

Fréq. Résonance (f₀) [Hz] -

Facteur Qualité (Q) -

Glossaire

Impédance Complexe (Z): Représentation de l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. Elle inclut la résistance (partie réelle) et la réactance (partie imaginaire). Unité : Ohms (Ω).
Réactance (X): La partie imaginaire de l'impédance. Elle représente l'énergie stockée et restituée par les composants réactifs (L et C). \(X = X_L + X_C = L\omega - 1/C\omega\).
Résonance: Phénomène se produisant à une fréquence particulière (\(f_0\)) où les effets de l'inductance et du condensateur s'annulent (\(X=0\)). L'impédance est alors minimale (en série) ou maximale (en parallèle).
Facteur de Qualité (Q): Grandeur sans dimension qui décrit la sélectivité (la "netteté") d'un filtre. Un Q élevé signifie une bande passante étroite et un filtre très sélectif.
Bande Passante (\(\Delta f\)): L'intervalle de fréquences, centré sur \(f_0\), pour lequel le gain du filtre est supérieur à -3 dB par rapport au gain maximal. \(\Delta f = f_0 / Q\).