Fonction de Transfert d'un Filtre Passe-Bas RC
Contexte : Le Filtre Passe-Bas RCUn circuit électronique fondamental qui laisse passer les signaux de basse fréquence et atténue ceux de haute fréquence..
Les filtres électroniques sont des briques essentielles dans le traitement du signal. Ils permettent de sélectionner des fréquences désirées et d'en rejeter d'autres. Le filtre passe-bas du premier ordre, composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C), est le plus simple et le plus répandu. Cet exercice a pour but de vous guider dans la détermination de sa fonction de transfertUne expression mathématique qui décrit la relation entre le signal de sortie et le signal d'entrée d'un système pour différentes fréquences., un outil mathématique crucial pour analyser son comportement en fréquence.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à passer d'un schéma de circuit simple à un modèle mathématique puissant (la fonction de transfert) qui prédit comment le circuit se comportera face à n'importe quel signal sinusoïdal.
Objectifs Pédagogiques
- Savoir modéliser un circuit RC en utilisant les impédances complexes.
- Déterminer la fonction de transfert H(jω) du filtre en utilisant le pont diviseur de tension.
- Identifier et calculer la fréquence de coupure et comprendre sa signification physique.
- Analyser le comportement asymptotique du filtre pour valider sa nature "passe-bas".
Données de l'étude
Schéma du Filtre Passe-Bas RC
Données Numériques
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Résistance | \(R\) | \(1 \, \text{k}\Omega\) |
| Capacité | \(C\) | \(100 \, \text{nF}\) |
Questions à traiter
- Exprimer les impédances complexes de la résistance (\(Z_R\)) et du condensateur (\(Z_C\)) en fonction de R, C et de la pulsation \(\omega\).
- En utilisant le principe du pont diviseur de tension, établir l'expression de la fonction de transfert complexe \(H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e}\).
- Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\). Identifier l'expression littérale de la pulsation de coupure \(\omega_c\) et du gain statique K.
- Calculer la valeur numérique de la fréquence de coupure \(f_c\) en Hertz.
- Analyser le comportement du module du gain \(|H(j\omega)|\) pour les très basses fréquences (\(\omega \to 0\)) et les très hautes fréquences (\(\omega \to \infty\)). Que peut-on conclure sur la nature du filtre ?
Les bases sur les Filtres et les Impédances
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser deux concepts clés du régime sinusoïdal forcé : l'impédance complexe et la fonction de transfert.
1. Impédance Complexe (\(Z\))
L'impédance généralise la notion de résistance aux composants réactifs (condensateurs, bobines) en régime sinusoïdal. C'est un nombre complexe qui représente l'opposition au passage du courant.
- Pour une résistance R : \(Z_R = R\) (partie réelle pure)
- Pour un condensateur C : \(Z_C = \frac{1}{jC\omega}\) (imaginaire pur)
2. Pont Diviseur de Tension
En régime sinusoïdal, la formule du pont diviseur de tension reste valide en remplaçant les résistances par les impédances complexes. Pour deux impédances \(Z_1\) et \(Z_2\) en série, la tension aux bornes de \(Z_2\) est :
\[ V_2 = V_{\text{totale}} \cdot \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \]
Correction : Fonction de Transfert d'un Filtre Passe-Bas RC
Question 1 : Expression des impédances complexes
Principe
Pour analyser un circuit en régime sinusoïdal forcé, on quitte le domaine temporel pour le domaine fréquentiel. Cela consiste à remplacer chaque composant par son impédance complexe, qui représente son "opposition" au passage du courant à une fréquence donnée.
Formule(s)
Les impédances complexes des composants de base sont des définitions à connaître :
Impédance de la résistance
Impédance du condensateur
Hypothèses
Pour ces calculs, nous considérons des composants idéaux : la résistance est purement résistive et le condensateur est purement capacitif, sans aucune résistance ou inductance parasite.
Schéma
Circuit avec Impédances Exprimées
Réflexions
On constate que l'impédance de la résistance ne dépend pas de la fréquence, alors que celle du condensateur en est inversement proportionnelle. C'est cette dépendance à la fréquence qui est à l'origine de l'effet de filtrage.
Points de vigilance
Ne jamais oublier le \(j\) dans l'expression de \(Z_C\). Son absence transformerait le condensateur en une simple résistance dont la valeur changerait avec la fréquence, ce qui est physiquement incorrect.
Points à retenir
L'analyse des circuits en régime sinusoïdal commence toujours par la conversion de chaque composant en son impédance complexe. C'est la clé qui simplifie tous les calculs.
Résultat Final
Question 2 : Détermination de la fonction de transfert
Principe
La fonction de transfert \(H(j\omega)\) est le rapport de la tension de sortie sur la tension d'entrée dans le domaine fréquentiel. Notre circuit est une configuration "pont diviseur de tension", où deux impédances en série se partagent la tension d'entrée. C'est la méthode la plus directe pour trouver ce rapport.
Mini-Cours
Le pont diviseur de tension est une conséquence directe des lois de Kirchhoff. La tension aux bornes d'une impédance dans une branche série est proportionnelle à la valeur de cette impédance par rapport à la somme des impédances de la branche. C'est un outil essentiel pour l'analyse de circuits.
Remarque Pédagogique
Savoir reconnaître une structure de pont diviseur vous fera gagner un temps précieux. Dès que vous voyez deux éléments en série et que vous cherchez la tension aux bornes de l'un d'eux, pensez "pont diviseur" !
Normes
La notation \(H(j\omega)\) pour la fonction de transfert en régime sinusoïdal est une norme de fait dans le traitement du signal et la théorie des systèmes. Elle est directement issue de l'évaluation de la transformée de Laplace \(H(p)\) sur l'axe imaginaire (\(p=j\omega\)).
Formule(s)
Formule du pont diviseur de tension
Hypothèses
Nous supposons que l'instrument de mesure de \(V_s\) a une impédance d'entrée infinie, c'est-à-dire qu'il ne tire aucun courant du circuit. Cette hypothèse est généralement valide pour les voltmètres modernes ou les étages d'entrée d'amplificateurs.
Donnée(s)
Les données d'entrée pour cette question sont les expressions des impédances trouvées précédemment :
| Composant | Impédance |
|---|---|
| Résistance | \(Z_R = R\) |
| Condensateur | \(Z_C = \frac{1}{jC\omega}\) |
Astuces
Lorsqu'on a une fraction avec des inverses (comme \(1/jC\omega\)), une bonne astuce pour simplifier est de multiplier le numérateur et le dénominateur par le terme "gênant" (ici, \(jC\omega\)). Cela élimine les fractions complexes.
Schéma (Avant les calculs)
Analyse par Pont Diviseur
Calcul(s)
Application de la formule
Simplification de l'expression
Schéma (Après les calculs)
Modèle "Boîte Noire" de la Fonction de Transfert
Réflexions
L'expression obtenue est compacte et puissante. Elle contient toute l'information sur l'amplitude et la phase de la tension de sortie pour n'importe quelle fréquence d'entrée, simplement en évaluant ce nombre complexe.
Points de vigilance
Une erreur commune est de mal distribuer le terme multiplicateur au dénominateur. Assurez-vous de multiplier TOUS les termes de la somme : \(jC\omega \times R\) et \(jC\omega \times (1/jC\omega)\).
Points à retenir
Le pont diviseur de tension est l'outil le plus rapide pour analyser les filtres simples du premier ordre. Sa maîtrise est essentielle.
Le saviez-vous ?
Les filtres RC comme celui-ci sont omniprésents. Ils sont utilisés dans les alimentations pour lisser la tension, dans les circuits audio comme simples filtres de tonalité ("treble cut"), et dans des millions d'autres applications où il faut éliminer des bruits ou des signaux haute fréquence indésirables.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la sortie était prise aux bornes de la résistance au lieu du condensateur, quelle serait la fonction de transfert ?
Question 3 : Mise en forme canonique et identification
Principe
La forme canonique (ou normalisée) d'une fonction de transfert permet de standardiser son écriture pour identifier immédiatement ses caractéristiques fondamentales, comme son comportement à basse fréquence (gain statique K) et sa fréquence caractéristique (pulsation de coupure \(\omega_c\)).
Mini-Cours
Pour un système du premier ordre, la forme canonique est \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\). \(K\) est le gain en régime continu (\(\omega=0\)). \(\omega_c\) est la pulsation pour laquelle la partie réelle et la partie imaginaire du dénominateur sont égales, ce qui correspond à une atténuation de -3dB et un déphasage de -45°.
Remarque Pédagogique
Pensez à la forme canonique comme à la "carte d'identité" du filtre. Elle vous donne ses traits principaux d'un seul coup d'œil, quel que soit le circuit qui l'a réalisée.
Normes
Cette forme est une convention d'écriture standard en automatique, en traitement du signal et en électronique pour l'étude des systèmes linéaires du premier ordre.
Formule(s)
Correspondance des formes
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment (composants idéaux, système LTI).
Donnée(s)
La donnée d'entrée pour cette question est l'expression de la fonction de transfert :
Astuces
L'identification est souvent directe. Regardez le numérateur pour trouver K. Ensuite, identifiez le coefficient de \(j\omega\) dans votre expression et égalisez-le à \(1/\omega_c\) de la forme canonique.
Schéma (Avant les calculs)
Modèle "Boîte Noire" de la Fonction de Transfert
Calcul(s)
Identification du gain statique K
Identification de la pulsation de coupure \(\omega_c\)
Schéma (Après les calculs)
Représentation Asymptotique du Gain (Diagramme de Bode)
Réflexions
Un gain statique \(K=1\) signifie que le filtre ne modifie pas l'amplitude des signaux de très basse fréquence (DC). La pulsation de coupure \(\omega_c\) dépend inversement du produit \(RC\), aussi appelé constante de temps \(\tau\). Plus \(\tau\) est grand, plus la coupure se fait à une basse fréquence.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser la relation : \(\omega_c = 1/RC\) et non \(RC\). Une erreur sur cette formule fondamentale faussera toute l'analyse ultérieure.
Points à retenir
Pour un filtre RC passe-bas, la forme canonique est \(\frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\) avec \(\omega_c = \frac{1}{RC}\). C'est un résultat fondamental à connaître.
Le saviez-vous ?
Le produit \(RC\) est appelé la "constante de temps" \(\tau\) du circuit. Elle ne caractérise pas seulement la coupure en fréquence, mais aussi la rapidité de la réponse du circuit à un échelon de tension dans le domaine temporel. C'est un lien direct entre l'analyse fréquentielle et l'analyse des phénomènes transitoires.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un autre filtre a pour fonction de transfert \(H(j\omega) = \frac{10}{2 + j0.04\omega}\). Mettez-la sous forme canonique et donnez K et \(\omega_c\).
Question 4 : Calcul de la fréquence de coupure
Principe
La fréquence de coupure \(f_c\) est la traduction de la pulsation de coupure \(\omega_c\) dans une unité plus courante, le Hertz (Hz). Elle représente la fréquence à laquelle le filtre commence à atténuer significativement le signal. C'est la frontière entre la bande passante et la bande coupée.
Mini-Cours
La pulsation (ou fréquence angulaire) \(\omega\) en radians par seconde (rad/s) et la fréquence \(f\) en Hertz (Hz) sont liées par la relation fondamentale \(\omega = 2\pi f\). Un tour complet correspond à \(2\pi\) radians, donc une révolution par seconde (1 Hz) correspond à \(2\pi\) radians par seconde.
Remarque Pédagogique
Dans les calculs théoriques, on manipule souvent \(\omega\) car cela simplifie les écritures (pas de \(2\pi\) à traîner). Mais dans la pratique et sur les appareils de mesure (oscilloscope, analyseur de spectre), on utilise toujours \(f\) en Hz. Savoir passer de l'un à l'autre est indispensable.
Normes
Le Hertz (Hz), défini comme un cycle par seconde, est l'unité de fréquence du Système International d'unités (SI).
Formule(s)
Relation pulsation-fréquence
Formule de la fréquence de coupure
Hypothèses
Nous supposons que les valeurs numériques de R et C fournies dans l'énoncé sont précises.
Donnée(s)
Les données pour ce calcul sont les valeurs des composants et la formule de la fréquence de coupure :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Résistance | R | \(1 \, \text{k}\Omega\) | \(1 \times 10^3 \, \Omega\) |
| Capacité | C | \(100 \, \text{nF}\) | \(100 \times 10^{-9} \, \text{F}\) |
| Formule | \(f_c\) | \( \frac{1}{2\pi RC} \) | |
Astuces
Il est souvent plus simple de calculer d'abord la constante de temps \(\tau = RC\), puis d'appliquer la formule \(f_c = 1/(2\pi\tau)\). Cela évite de se perdre avec de nombreux chiffres dans la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit avec valeurs numériques
Calcul(s)
Calcul de la constante de temps \(\tau\)
Calcul de la fréquence de coupure \(f_c\)
Schéma (Après les calculs)
Position de la Fréquence de Coupure
Réflexions
Cette fréquence de 1.59 kHz est la "mémoire" du filtre. Les signaux bien en dessous de cette fréquence passeront presque intacts, tandis que les signaux bien au-dessus seront fortement rejetés. C'est une caractéristique de conception essentielle.
Points de vigilance
La plus grande source d'erreur ici est la gestion des préfixes (kilo, nano). Assurez-vous de bien convertir en unités SI (\(1 k\Omega = 10^3 \Omega\), \(100 nF = 100 \times 10^{-9} F\)) avant de faire le calcul final.
Points à retenir
La fréquence de coupure d'un filtre RC est inversement proportionnelle aux valeurs de R et de C. Pour baisser la fréquence de coupure, il faut augmenter R ou C.
Le saviez-vous ?
La fréquence de coupure est aussi appelée "fréquence à -3dB". En effet, à \(f=f_c\), le module du gain vaut \(|H(j\omega_c)| = 1/\sqrt{2}\). En décibels, cela correspond à \(20\log_{10}(1/\sqrt{2}) \approx -3.01\) dB.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
On souhaite concevoir un filtre avec une coupure à environ 1 kHz. Si on garde C=100nF, quelle valeur approximative de R faudrait-il choisir ?
Question 5 : Analyse du comportement asymptotique
Principe
L'analyse asymptotique consiste à examiner le comportement du circuit dans des conditions extrêmes de fréquence (très basses et très hautes). Cela permet de vérifier intuitivement si le comportement mathématique de la fonction de transfert correspond bien au comportement physique attendu du circuit.
Mini-Cours
Le comportement d'un condensateur dépend crucialement de la fréquence. À très basse fréquence (\(\omega \to 0\)), son impédance \(Z_C = 1/jC\omega\) tend vers l'infini : il se comporte comme un circuit ouvert. À très haute fréquence (\(\omega \to \infty\)), son impédance tend vers zéro : il se comporte comme un court-circuit (un fil).
Remarque Pédagogique
C'est une excellente technique pour vérifier vos calculs. Si votre fonction de transfert ne tend pas vers les bonnes limites (0 ou 1 selon le filtre), vous avez probablement fait une erreur dans son établissement. Pensez "physique" pour valider les "maths".
Normes
Cette analyse des limites est une pratique standard en mathématiques et en physique pour comprendre le comportement global d'une fonction.
Formule(s)
Module de la fonction de transfert
Hypothèses
Nous considérons le modèle idéal du circuit, valide pour des fréquences très basses comme très hautes.
Donnée(s)
La donnée d'entrée est l'expression du module de la fonction de transfert :
Astuces
Pour trouver les limites, concentrez-vous sur le terme qui varie avec \(\omega\). S'il devient énorme, le dénominateur devient énorme et la fraction tend vers 0. S'il devient nul, le dénominateur tend vers 1.
Schéma (Avant les calculs)
Circuits Équivalents Asymptotiques
Basse Fréquence (ω → 0) : C est un circuit ouvert
Haute Fréquence (ω → ∞) : C est un court-circuit
Calcul(s)
Limite à basse fréquence (\(\omega \to 0\))
Limite à haute fréquence (\(\omega \to \infty\))
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Bode (Gain) du Filtre Passe-Bas
Réflexions
L'analyse mathématique (limites de la fonction) et l'analyse physique (comportement du condensateur en circuit ouvert/fermé) concordent parfaitement. Le circuit laisse passer les signaux de basse fréquence et bloque (atténue) les signaux de haute fréquence.
Points de vigilance
Ne confondez pas le gain en valeur absolue (qui va de 1 à 0) et le gain en décibels (qui va de 0 dB à \(-\infty\) dB). Les deux échelles décrivent la même chose mais ne sont pas interchangeables.
Points à retenir
Le comportement d'un filtre est défini par ses asymptotes : ce qu'il fait à basse fréquence et ce qu'il fait à haute fréquence. Pour un filtre passe-bas, les limites du gain sont 1 et 0, respectivement.
Le saviez-vous ?
Le "bruit" électronique (comme le souffle dans un amplificateur audio) est souvent un phénomène "large bande", contenant de nombreuses hautes fréquences. Un simple filtre passe-bas RC en sortie d'un circuit peut considérablement réduire ce bruit audible en coupant ces hautes fréquences superflues.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Sans faire de calcul, quel serait le comportement asymptotique du filtre "passe-haut" (où R et C sont échangés) ?
Outil Interactif : Simulateur de Filtre Passe-Bas
Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les valeurs de la résistance et du condensateur. Observez en temps réel comment la fréquence de coupure et la réponse en fréquence du filtre sont affectées. Le graphique montre le diagramme de Bode du gain.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est le rôle principal d'un filtre passe-bas ?
2. Si on double la valeur de la résistance R dans un filtre RC passe-bas, comment la fréquence de coupure \(f_c\) évolue-t-elle ?
3. Quel est le déphasage de la tension de sortie par rapport à l'entrée à la fréquence de coupure pour un filtre passe-bas du premier ordre ?
4. Quelle est la valeur du gain (en dB) d'un filtre passe-bas idéal pour une fréquence nulle (\(\omega = 0\)) ?
5. Comment se comporte l'impédance d'un condensateur lorsque la fréquence augmente ?
Glossaire
- Fonction de Transfert
- Rapport complexe entre la sortie et l'entrée d'un système en régime sinusoïdal. Elle caractérise entièrement le comportement fréquentiel du système (gain et phase).
- Fréquence de Coupure (\(f_c\))
- Fréquence à laquelle le gain du filtre est réduit de 3 décibels (dB) par rapport à son gain maximal. Pour un filtre RC, cela correspond à la fréquence où la puissance de sortie est la moitié de la puissance d'entrée.
- Impédance Complexe (\(Z\))
- Généralisation de la résistance pour les circuits en régime sinusoïdal. C'est un nombre complexe dont le module représente l'opposition au courant et l'argument représente le déphasage tension-courant.
- Diagramme de Bode
- Représentation graphique de la fonction de transfert d'un système. Il se compose généralement de deux graphiques : le gain (en dB) et la phase (en degrés), tous deux en fonction de la fréquence sur une échelle logarithmique.
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