Gyroscope à Fibre Optique (FOG) : Principe Électrique et Transitoires
Contexte : Phénomènes Transitoires et Sujets Avancés en circuits électriques.
Le Gyroscope à Fibre OptiqueCapteur mesurant la vitesse angulaire par interférométrie laser dans une bobine de fibre. (FOG) est un capteur de rotation ultra-précis utilisé dans l'aéronautique et le spatial. Il repose sur l'Effet SagnacDéphasage induit par la rotation entre deux ondes lumineuses contre-rotatives.. Cet exercice explore la chaîne de mesure, de l'effet physique optique jusqu'au signal électrique de sortie traité par un amplificateur transimpédance (TIA).
Remarque Pédagogique : Cet exercice lie la physique ondulatoire (interférences) à l'électronique (conditionnement du signal), illustrant comment une grandeur physique est convertie en tension exploitable.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le déphasage de Sagnac induit par une rotation.
- Déterminer le courant généré par une photodiode en réponse à une interférence.
- Analyser la réponse transitoire d'un étage d'amplification transimpédance.
Données de l'étude
On considère un gyroscope constitué d'une bobine de fibre optique monomode et d'un circuit de détection. Le système est soumis à une vitesse de rotation \(\Omega\).
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur d'onde Laser | \(\lambda\) | 1550 | nm |
| Rayon de la bobine | \(R\) | 0.1 | m |
| Nombre de tours de fibre | \(N\) | 1000 | - |
| Vitesse de la lumière (vide) | \(c\) | \(3 \times 10^8\) | m/s |
| Sensibilité Photodiode | \(\mathfrak{R}\) | 0.8 | A/W |
| Résistance Feedback TIA | \(R_f\) | 100 | k\(\Omega\) |
| Capacité Feedback TIA | \(C_f\) | 10 | pF |
Schéma de Principe Optique (Sagnac)
Questions à traiter
- Calculer la longueur totale de fibre \(L\) et le déphasage de Sagnac \(\Delta \phi_s\) pour une rotation \(\Omega = 10^\circ/\text{s}\).
- La puissance lumineuse reçue est \(P = P_0 (1 + \cos(\Delta \phi_s))\). Linéariser cette expression autour d'un point de fonctionnement à \(\pi/2\) pour de faibles rotations.
- Établir le schéma électrique équivalent de la photodiode et de l'amplificateur transimpédance.
- Calculer la tension de sortie \(V_{out}\) en régime permanent.
- Déterminer la constante de temps \(\tau\) du circuit et tracer l'allure de la réponse à un échelon de rotation.
Les bases théoriques
Le gyroscope à fibre optique utilise l'interférométrie pour détecter une différence de chemin optique créée par la rotation du système.
Effet Sagnac
Deux ondes lumineuses parcourant un chemin circulaire en sens opposés subissent un déphasage proportionnel à la vitesse de rotation du système.
Déphasage de Sagnac
Où :
- \(L\) est la longueur totale de la fibre (\(L = 2\pi R N\)).
- \(A\) est l'aire de la boucle (\(A = \pi R^2\)).
- \(\Omega\) est la vitesse angulaire en rad/s.
Amplificateur Transimpédance (TIA)
Ce montage à AOP convertit un courant d'entrée (faible impédance) en une tension de sortie (faible impédance).
Fonction de Transfert
La capacité \(C_f\) en parallèle ajoute un pôle (filtre passe-bas) pour la stabilité et limite la bande passante.
Correction : Gyroscope à Fibre Optique (FOG)
Question 1 : Calculer la longueur totale de fibre \(L\) et le déphasage de Sagnac \(\Delta \phi_s\)
Principe
L'effet Sagnac résulte d'une asymétrie de temps de parcours entre deux ondes lumineuses contre-rotatives. Bien que la vitesse de la lumière soit constante localement (Relativité), dans le référentiel tournant du capteur, l'émetteur/récepteur se déplace pendant le trajet de la lumière. L'onde qui tourne dans le même sens que la bobine doit parcourir une distance plus grande pour rattraper le détecteur, tandis que l'onde opposée parcourt moins de distance. Cette différence de chemin optique crée un déphasage proportionnel à la vitesse angulaire.
Mini-Cours
Facteur d'Échelle Optique
La sensibilité d'un FOG est souvent exprimée par son "facteur d'échelle optique" \(S\), tel que \(\Delta \phi_s = S \cdot \Omega\). Ce facteur dépend purement de la géométrie (\(L\), \(R\)) et de la longueur d'onde. C'est pourquoi les FOG de haute précision utilisent des bobines de grand diamètre ou très longues (plusieurs km).
Remarque Pédagogique
Le principe de réciprocité est fondamental ici : au repos, les deux ondes parcourent exactement le même chemin optique (mêmes fibres, mêmes composants). Seule une perturbation non-réciproque comme la rotation (ou le champ magnétique via l'effet Faraday) peut créer un déphasage. Cela rend le système insensible aux variations de température uniformes.
Normes
Les unités et définitions pour les capteurs inertiels sont standardisées par l'IEEE Std 528 (Inertial Sensor Terminology). La rotation est toujours exprimée en rad/s dans les équations physiques, bien que les degrés/heure ou degrés/seconde soient courants dans l'industrie aéronautique.
Formule(s)
Formules utilisées
Longueur de la Fibre
Déphasage Sagnac
Hypothèses
Nous supposons une bobine parfaitement circulaire de rayon moyen \(R\). Nous négligeons l'épaisseur de l'enroulement (plusieurs couches de fibre modifient légèrement \(R\)). La fibre est supposée monomode sans biréfringence parasite significative.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon | \(R\) | 0.1 | m |
| Tours | \(N\) | 1000 | - |
| Rotation | \(\Omega\) | 10 | °/s |
| Longueur d'onde | \(\lambda\) | 1550 | nm |
Astuces
Pour vérifier vos ordres de grandeur : la vitesse de la lumière est énorme (\(3\cdot 10^8\)), donc le déphasage est souvent très petit. Cependant, la longueur de fibre \(L\) (ici ~600m) agit comme un multiplicateur puissant pour rendre l'effet mesurable.
Schéma : Bobine au Repos (Vues du dessus)
Calcul(s)
1. Conversion de la vitesse de rotation \(\Omega\)
L'unité SI est le rad/s. On sait que \(360^\circ = 2\pi\) rad, donc \(1^\circ = \frac{\pi}{180}\) rad.
Cette valeur en radians par seconde est celle qu'il faut impérativement utiliser dans les formules physiques.
2. Calcul de la longueur totale de fibre \(L\)
La fibre est enroulée \(N\) fois autour d'un cylindre de rayon \(R\). La longueur totale est donc simplement le périmètre du cercle multiplié par le nombre de tours.
On obtient une longueur de fibre considérable (plus d'un demi-kilomètre), ce qui va amplifier l'effet Sagnac.
3. Application Numérique Sagnac
Nous remplaçons maintenant toutes les variables dans la formule du déphasage. Notez l'importance de convertir la longueur d'onde \(\lambda\) de nanomètres en mètres (\(10^{-9}\)).
Le résultat final est un déphasage de près de 0.3 radians, ce qui est très significatif pour un système interférométrique.
Schéma : Bobine en Rotation (Effet Sagnac)
Réflexions
Un déphasage de 0.3 rad correspond à environ 17 degrés de phase, ce qui est une valeur très confortable pour une mesure interférométrique standard. Les interféromètres modernes peuvent détecter des micro-radians, ce qui explique pourquoi les FOGs peuvent mesurer la rotation de la Terre (15°/heure) avec une grande précision.
Points de vigilance
Une erreur classique est d'oublier de convertir les nanomètres de la longueur d'onde en mètres (\(\times 10^{-9}\)). Cela change le résultat d'un facteur \(10^9\) ! De même, ne jamais laisser \(\Omega\) en degrés/seconde dans une formule physique incluant \(c\) et \(\lambda\).
Points à Retenir
Le déphasage Sagnac est directement proportionnel à la surface \(A\) de la boucle et au nombre de tours \(N\). Pour augmenter la sensibilité d'un gyroscope, on doit augmenter soit la longueur de fibre \(L\), soit le rayon \(R\).
Le saviez-vous ?
L'effet Sagnac a été découvert en 1913 par Georges Sagnac pour tenter de prouver l'existence de l'éther luminifère... mais il a fini par devenir l'une des preuves expérimentales de la Relativité Restreinte d'Einstein !
FAQ
Pourquoi utiliser une fibre si longue (600m) ?
Pour multiplier l'effet Sagnac. Avec un seul tour, le déphasage serait trop petit pour être détecté avec précision par l'électronique standard.
A vous de jouer : Calcul Mental
Si on utilisait une lumière verte (\(\approx 500\) nm) au lieu de l'infrarouge (\(1550\) nm), le déphasage serait-il plus grand ou plus petit ? (Indice : \(\lambda\) est au dénominateur).
📝 Mémo
Sagnac \(\propto\) Surface \(\times\) Vitesse de rotation.
Question 2 : Linéarisation de la puissance reçue
Principe
La puissance lumineuse en sortie d'un interféromètre suit une loi en cosinus du déphasage : \(P \propto 1 + \cos(\Delta \phi)\). Le problème est qu'autour de \(\Delta \phi = 0\) (pas de rotation), la fonction cosinus est plate (sommet de la courbe). Une petite variation de rotation ne produit presque aucun changement de puissance. De plus, on ne peut pas distinguer le signe de la rotation (la fonction cosinus est paire).
La solution est d'ajouter un "biais" artificiel de \(\pi/2\) radians. Cela nous place sur le flanc de la sinusoïde, là où la pente est la plus raide (sensibilité maximale) et où la fonction devient impaire (distinction du sens de rotation).
Mini-Cours
Développement de Taylor
Pour un signal \( f(x) = \sin(x) \), l'approximation autour de 0 est \( f(x) \approx x \). C'est une approximation linéaire très précise pour les petits angles.
C'est pourquoi on cherche à transformer notre réponse en cosinus en une réponse en sinus.
Remarque Pédagogique
En électronique et en instrumentation, travailler dans la zone linéaire simplifie tout le traitement ultérieur. Cela évite d'avoir à calculer des fonctions arccos complexes et bruitées en temps réel.
Normes
Il n'y a pas de norme ISO spécifique pour la "linéarisation", mais c'est un principe fondamental de conception des systèmes asservis (boucle fermée) décrit dans la théorie du contrôle.
Formule(s)
Puissance Biaisée
Hypothèses
On suppose que le biais est parfaitement stable à \(\pi/2\) et que les rotations mesurées restent faibles (\(\Delta \phi_s \ll 1\)).
Donnée(s)
| Terme | Valeur |
|---|---|
| Biais de phase \(\phi_{biais}\) | \(\pi/2\) (ou \(90^\circ\)) |
Astuces
Moyen mnémotechnique : Pour mesurer une variation, il ne faut pas être au sommet de la colline (plat), mais sur la pente la plus raide ! Rappelez-vous de l'identité trigonométrique : \(\cos(a + \pi/2) = -\sin(a)\).
Schéma : Réponse sans Biais (Point A)
Calcul(s)
1. Introduction du Biais
On ajoute artificiellement un terme constant \(\pi/2\) à la phase dans l'équation de la puissance.
2. Transformation Trigonométrique
On utilise la relation fondamentale de trigonométrie \(\cos(a + \frac{\pi}{2}) = -\sin(a)\). Ici \(a = \Delta \phi_s\).
3. Approximation des Petits Angles
Pour des petits angles \(\Delta \phi_s \ll 1\), on peut approximer la courbe sinusoïdale par sa tangente à l'origine, c'est-à-dire une droite : \(\sin(\Delta \phi_s) \approx \Delta \phi_s\). Cela linéarise l'équation :
Schéma : Réponse Biaisée à π/2 (Point Q)
Réflexions
On obtient une relation affine : \(P = A - B \cdot \Omega\). C'est idéal car cela signifie que si la rotation double, la variation de signal double aussi exactement. De plus, si la rotation s'inverse (\(-\Omega\)), le signal augmente au lieu de diminuer (\(1 - (-\Delta \phi) = 1 + \Delta \phi\)), ce qui permet de connaître la direction.
Points de vigilance
Cette approximation n'est valide que si le déphasage reste petit (typiquement < 0.5 rad). Pour des rotations très rapides, la non-linéarité du sinus réapparaît et doit être corrigée numériquement.
Points à Retenir
Biaiser un interféromètre est indispensable pour deux raisons : mesurer le sens de rotation (signe) et maximiser la sensibilité autour de zéro.
Le saviez-vous ?
Dans les FOG modernes, on ne décale pas physiquement la phase de manière statique. On utilise un modulateur piézoélectrique qui fait vibrer la phase entre \(+\pi/2\) et \(-\pi/2\) à haute fréquence. On mesure ensuite la différence, ce qui élimine le bruit basse fréquence (1/f).
FAQ
Comment créer ce biais physiquement ?
Historiquement avec des lames optiques, mais aujourd'hui avec des modulateurs électro-optiques (LiNbO3) qui changent l'indice de réfraction avec une tension électrique.
A vous de jouer : Quiz
Si on n'avait pas mis de biais, comment le signal varierait-il pour une petite rotation positive ou négative ? (Indice : symétrie).
📝 Mémo
Linéarisation = Pente Maximale.
Question 3 : Schéma Électrique Équivalent
Principe
L'objectif est de modéliser l'interface opto-électronique. Il faut convertir le signal optique (flux de photons) en signal électrique (courant d'électrons) puis en tension utilisable pour l'ADC. La photodiode convertit les photons en courant (Effet photoélectrique), et l'Amplificateur Transimpédance (TIA) convertit ce courant en tension.
Mini-Cours
Masse Virtuelle
Dans un montage AOP inverseur avec la borne non-inverseuse (+) à la masse, la borne inverseuse (-) est maintenue au potentiel 0V par la contre-réaction. C'est crucial pour la photodiode car cela maintient une tension nulle à ses bornes, éliminant l'effet de sa capacité parasite sur la bande passante.
Remarque Pédagogique
Pourquoi ne pas utiliser une simple résistance en série pour mesurer le courant \(U=RI\) ? Parce que l'impédance d'entrée ne serait pas nulle, et la tension aux bornes de la photodiode varierait, ce qui n'est pas linéaire. Le TIA est bien supérieur.
Normes
Le schéma suit les conventions de représentation électronique standard (CEI 60617). La photodiode est représentée comme une source de courant en parallèle avec une capacité (ici simplifiée en source idéale).
Formule(s)
Loi des noeuds à l'entrée inverseuse
Hypothèses
On suppose l'AOP idéal (gain infini, bande passante infinie, impédance d'entrée infinie). On néglige le courant d'obscurité de la photodiode (Dark Current) qui créerait un offset de tension.
Donnée(s)
| Composant | Type | Fonction |
|---|---|---|
| Photodiode (PD) | PIN ou Avalanche | Capteur courant |
| AOP | Faible bruit (JFET/CMOS) | Amplification |
| \(R_f\) | Résistance métal | Gain |
| \(C_f\) | Céramique NPO | Stabilité |
Astuces
L'entrée inverseuse de l'AOP est une "masse virtuelle" : son potentiel est maintenu à 0V par la contre-réaction, bien qu'elle ne soit pas connectée physiquement à la terre.
Schéma : Composants de base
Calcul(s)
Il ne s'agit pas ici de calcul numérique mais d'établissement de modèle. La relation fondamentale du TIA est établie par la loi des noeuds : tout le courant de la photodiode traverse la résistance de feedback. La tension de sortie est \(V_{out} = V_- - R_f \cdot i_{R_f}\). Comme \(V_- = 0\) (masse virtuelle), on a \(V_{out} = R_f \cdot (-i_{pd})\).
Schéma Électrique (TIA Complet)
Réflexions
On observe que la tension de sortie est inversée (signe négatif) par rapport au sens conventionnel du courant de la photodiode, c'est caractéristique du montage inverseur.
Points de vigilance
Attention à la direction du courant de la photodiode sur le schéma pour déterminer correctement la polarité de la tension de sortie. Le routage du circuit imprimé (PCB) est critique ici. Les pistes reliant la photodiode à l'entrée inverseuse doivent être aussi courtes que possible pour éviter de capter du bruit (c'est une antenne très sensible).
Points à Retenir
Le montage transimpédance offre une impédance d'entrée très faible (nulle pour un AOP idéal), ce qui est idéal pour extraire le courant d'une photodiode sans charger le composant. Le TIA est l'étage le plus important de la chaîne électronique. Ses performances (bruit, dérive thermique) définissent souvent la limite de précision du gyroscope entier.
Le saviez-vous ?
Le bruit thermique de la résistance \(R_f\) est souvent la source principale de bruit (bruit de Johnson) dans ce type de préamplificateur.
FAQ
Peut-on enlever \(C_f\) ?
Théoriquement oui pour le DC, mais en pratique le circuit oscillerait probablement à cause de la capacité parasite de la photodiode qui crée un pôle instable.
A vous de jouer : Quiz de polarité
Si le courant \(I_{pd}\) rentre vers l'entrée inverseuse de l'AOP, la tension de sortie \(V_{out}\) est-elle positive ou négative ? (Entrez 1 pour Positive, -1 pour Négative)
📝 Mémo
TIA : Conversion Courant \(\to\) Tension à faible impédance.
Question 4 : Calculer la tension de sortie \(V_{out}\) en régime permanent
Principe
On cherche à quantifier le signal. Pour cela, on suit le flux d'énergie : Puissance Optique \(\rightarrow\) Courant Électrique \(\rightarrow\) Tension. Nous procédons en deux étapes : d'abord calculer le courant généré par la photodiode à partir de la puissance optique, puis appliquer la loi d'Ohm généralisée à la résistance de rétroaction pour trouver la tension. Le gain total de la chaîne dépend de la qualité de la photodiode (rendement quantique) et de la résistance de rétroaction choisie par le concepteur.
Mini-Cours
Sensibilité \(\mathfrak{R}\) et Gain de Transimpédance
La sensibilité d'une photodiode (Responsivity) s'exprime en A/W. Elle indique combien d'ampères sont produits pour 1 Watt de puissance lumineuse incidente. Le "gain" de ce montage n'est pas sans unité (comme V/V), mais s'exprime en Ohms (\(V/A = \Omega\)). C'est littéralement la valeur de la résistance \(R_f\).
Remarque Pédagogique
En régime permanent (signaux constants ou très lents, DC), les condensateurs se comportent comme des circuits ouverts (impédance infinie). Le courant ne passe pas dans \(C_f\), tout passe dans \(R_f\).
Normes
La tension de sortie doit être adaptée à la plage d'entrée du convertisseur Analogique-Numérique (ADC) qui suit. Les niveaux de tension en électronique analogique respectent souvent des standards comme +/- 5V, 3.3V ou +/- 15V selon l'alimentation des AOP.
Formule(s)
Relation Entrée-Sortie / Loi d'Ohm TIA
Hypothèses
On suppose que la photodiode est linéaire (pas de saturation optique) et que l'AOP ne sature pas (la tension calculée reste dans les rails d'alimentation). On suppose une puissance reçue moyenne arbitraire pour l'exemple numérique : \(P_{opt} = 10 \mu\text{W}\).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Puissance optique \(P_{opt}\) | 10 \(\mu\)W |
| Sensibilité \(\mathfrak{R}\) | 0.8 A/W |
| Résistance \(R_f\) | 100 k\(\Omega\) |
Astuces
Les puissances de 10 sont vos amies : \(10 \mu W = 10^{-5}\) W. \(100 k\Omega = 10^5 \Omega\). Le produit \(10^{-5} \times 10^5 = 1\). Le calcul se simplifie énormément. Astuce de calcul mental : \(100 \text{ k}\Omega \times 1 \mu\text{A} = 0.1 \text{ V}\).
Schéma : Génération de Courant
Calcul(s)
1. Calcul du Courant \(I_{pd}\)
On multiplie la sensibilité (A/W) par la puissance reçue (W) pour obtenir le courant généré. La sensibilité de 0.8 indique une bonne efficacité quantique.
Ce courant est très faible, de l'ordre du micro-ampère, ce qui justifie l'utilisation d'un amplificateur pour le rendre exploitable.
2. Calcul de la Tension \(V_{out}\)
Ensuite, on applique la loi d'Ohm à la résistance de feedback. Notez l'inversion de signe due à l'entrée inverseuse de l'AOP.
On obtient une tension négative significative de -0.8 Volts, ce qui est facilement mesurable par un circuit standard.
Schéma : Niveau de Tension DC
Réflexions
On obtient -0.8V. Si on avait utilisé une résistance de 1M\(\Omega\) au lieu de 100k\(\Omega\), on aurait obtenu -8V. Cela montre qu'on peut ajuster facilement la sensibilité du capteur en changeant simplement un composant. Le signal est négatif, ce qui est normal pour cette configuration. Si une tension positive est requise pour l'ADC, un étage suiveur-inverseur supplémentaire serait nécessaire.
Points de vigilance
Attention à la plage dynamique. Si la lumière reçue augmente à 20 µW, la sortie passe à -1.6V. Si l'AOP est alimenté en +/- 15V, c'est bon. S'il est en 0-3.3V (alimentation simple), le signal négatif serait écrêté à 0V (ne fonctionnerait pas) ! Il faudrait une masse virtuelle décalée (ex: à 1.65V).
Points à Retenir
Le gain en tension global du système FOG dépend de l'optique (\(P_{opt}\)), du capteur (\(\mathfrak{R}\)) et de l'électronique (\(R_f\)). Tous les maillons de la chaîne sont importants. Le gain du TIA est directement fixé par \(R_f\). Plus \(R_f\) est grand, plus le signal est fort, mais plus le bruit thermique et la bande passante sont impactés.
Le saviez-vous ?
Les gyroscopes de très haute performance doivent être capables de détecter des variations de puissance de l'ordre du picowatt ou du nanowatt. Pour mesurer des courants très faibles (pico-ampères), on utilise des résistances \(R_f\) gigantesques, parfois de l'ordre du Giga-Ohm (\(10^9 \Omega\)), ce qui rend le circuit extrêmement sensible à l'humidité et aux saletés (courants de fuite).
FAQ
Pourquoi le courant est-il si faible (µA) ?
Parce que la puissance lumineuse injectée dans la fibre est faible (pour ne pas l'endommager et éviter les effets non-linéaires) et qu'il y a des pertes tout le long des 600m.
A vous de jouer
Si la puissance reçue double, quelle sera la tension de sortie ? (Entrez -1.6)
📝 Mémo
Gain = Résistance. Attention au signe !
Question 5 : Constante de temps \(\tau\) et Réponse Transitoire
Principe
Dans tout système physique, la réponse n'est jamais instantanée. Ici, la capacité parasite de la photodiode et la capacité de stabilisation \(C_f\) ajoutée en parallèle sur \(R_f\) obligent le système à charger/décharger de l'énergie. Cela crée un comportement de filtre passe-bas du premier ordre. Nous voulons savoir à quelle vitesse la sortie tension réagit si la rotation change brusquement (un échelon) et calculer sa constante de temps caractéristique.
Mini-Cours
Constante de temps \(\tau\) et Réponse indicielle
Dans un circuit RC, \(\tau = R \cdot C\). Pour une entrée en échelon, la sortie évolue selon une loi exponentielle : \( S(t) = S_{final} (1 - e^{-t/\tau}) \). Elle atteint \( \approx 63\% \) de sa valeur finale à \(t=\tau\). Au bout de \(3\tau\), on est à 95%. Au bout de \(5\tau\), on considère le régime permanent atteint (99%).
Remarque Pédagogique
Ce filtre est souvent nécessaire pour garantir la stabilité de l'amplificateur et limiter le bruit haute fréquence, mais il introduit un retard dans la mesure. Il y a toujours un compromis : augmenter \(R_f\) augmente le gain (bon pour le signal), mais augmente aussi \(\tau\) (mauvais pour la vitesse) si \(C_f\) est fixe. On parle de produit Gain-Bande Passante.
Normes
La bande passante à -3dB est la fréquence où la puissance du signal est divisée par 2 (tension divisée par \(\sqrt{2}\)). Le temps de montée (rise time) est souvent défini comme le temps pour passer de 10% à 90% du signal final, ce qui correspond à environ \(2.2 \tau\).
Formule(s)
Constante de temps
Fréquence de coupure / Bande Passante
Hypothèses
On utilise le modèle standard du filtre passe-bas du premier ordre. On suppose que l'AOP est beaucoup plus rapide que la constante de temps RC (son Slew Rate n'est pas le facteur limitant).
Donnée(s)
| Composant | Valeur |
|---|---|
| Résistance \(R_f\) | 100 k\(\Omega\) |
| Capacité \(C_f\) | 10 pF |
Astuces
Manipulation des unités : \(k\Omega\) avec \(pF\) ou \(M\Omega\) avec \(fF\).
\(10^5 \Omega \times 10^{-11} F = 10^{-6} s = 1 \mu s\).
Schéma : Entrée (Variation brusque de la rotation)
Calcul(s)
1. Calcul de \(\tau\)
On remplace les valeurs de la résistance et de la capacité pour trouver le temps caractéristique :
Le résultat de 1 microseconde indique un système très réactif.
2. Calcul de la Fréquence de Coupure
On applique la formule reliant la constante de temps à la fréquence de coupure à -3dB. C'est la fréquence maximale du signal utile.
Une bande passante de 159 kHz signifie que le capteur peut suivre des variations de rotation jusqu'à cette vitesse sans atténuation majeure.
Schéma : Sortie (Réponse inertielle du circuit)
Réflexions
Un temps de réponse de 1 µs est extrêmement rapide, ce qui est parfaitement adapté pour mesurer les dynamiques rapides d'un aéronef ou d'une fusée. Avec 159 kHz de bande passante, ce gyroscope est capable de détecter des vibrations ou des mouvements très rapides. C'est largement suffisant pour la navigation d'un avion (dynamique de quelques Hz) ou la stabilisation d'un missile.
Points de vigilance
Si \(C_f\) est choisi trop grand, le capteur devient trop lent (bande passante réduite). S'il est trop petit, le système risque d'être instable ou bruité. Attention : si on augmente trop le gain (\(R_f\)), \(\tau\) augmente et la bande passante chute. Si on veut beaucoup de gain ET beaucoup de vitesse, il faut faire plusieurs étages d'amplification en cascade plutôt qu'un seul gros étage.
Points à Retenir
La bande passante est inversement proportionnelle à \(R_f\). Il existe un compromis fondamental entre le gain (sensibilité) et la vitesse (bande passante). La capacité \(C_f\) est parfois un composant physique ajouté, mais elle représente aussi souvent la capacité parasite de la résistance et du circuit imprimé. Même si on ne met pas de condensateur, il y a toujours une limite de vitesse physique !
Le saviez-vous ?
Pour certaines applications comme la stabilisation de caméra (gimbal), une bande passante de seulement quelques centaines de Hz est suffisante. Dans les systèmes numériques, on échantillonne ce signal analogique. Il faut respecter le théorème de Shannon-Nyquist : il faudrait échantillonner à au moins \(2 \times 159 \text{ kHz} \approx 320 \text{ kS/s}\) pour ne pas perdre d'information.
FAQ
Comment réduire \(\tau\) sans changer le gain ?
Il faut réduire la capacité \(C_f\), mais cela est limité par les capacités parasites du circuit imprimé et du composant.
Que se passe-t-il si \(\tau\) est trop grand ?
Le gyroscope aura du retard ("lag"). Dans une boucle de pilotage rapide (drone), cela peut rendre le système instable et causer un crash.
A vous de jouer
Pour réduire le bruit, on veut abaisser la bande passante à 16 kHz (division par 10). Par combien doit-on multiplier \(C_f\) ? (Réponse : 10)
📝 Mémo
\(\tau = RC\), Compromis fondamental Gain / Vitesse.
Schéma Bilan : De la Rotation à la Tension
Chaîne complète de conversion du signal physique en signal électrique.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
-
🔑
Effet Sagnac : Phénomène physique permettant de mesurer la rotation absolue par déphasage optique. \(\Delta \phi \propto L \cdot R \cdot \Omega\).
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📐
Amplification Transimpédance (TIA) : Cœur de la détection. Convertit le courant faible de la photodiode en tension. Gain \(V_{out} = -R_f I_{pd}\).
-
⚠️
Linéarisation : Indispensable pour avoir une mesure sensible et connaitre le sens de rotation (biais à \(\pi/2\)).
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⏱️
Dynamique : Le compromis Gain/Bande passante est géré par la constante de temps \(\tau = R_f C_f\).
🎛️ Simulateur interactif : Réponse du FOG
Observez comment la tension de sortie évolue en fonction de la vitesse de rotation et du nombre de tours de fibre.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Si on double le nombre de tours de fibre \(N\), le déphasage Sagnac...
2. Quel est le rôle du condensateur \(C_f\) dans l'amplificateur transimpédance ?
📚 Glossaire
- Interférométrie
- Technique de mesure utilisant les interférences (superposition) d'ondes lumineuses pour détecter des variations infimes de distance ou de phase.
- Transimpédance
- Type d'amplificateur convertissant un courant en tension. Son "gain" s'exprime en Ohms (\(V/A\)).
- Monomode
- Type de fibre optique au cœur très fin ne propageant qu'un seul mode lumineux, évitant la dispersion modale et garantissant la précision.
- Effet Sagnac
- Décalage temporel entre deux signaux parcourant un circuit fermé en sens inverse, proportionnel à la vitesse de rotation du circuit.
Le Saviez-vous ?
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