La loi des nœuds dans un circuit simple
Contexte : La Loi des NœudsAussi appelée première loi de Kirchhoff, elle stipule que la somme des courants électriques entrant dans un nœud est égale à la somme des courants qui en sortent. en Électricité.
La loi des nœuds est un principe fondamental en électricité qui découle de la conservation de la charge électrique. Elle nous permet d'analyser comment le courant se répartit dans les différentes branches d'un circuit. Cet exercice vous guidera dans l'application de cette loi pour trouver un courant inconnu dans un circuit parallèle simple.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est conçu pour vous aider à visualiser et à calculer la distribution du courant dans un circuit parallèle, une compétence essentielle pour l'analyse de circuits plus complexes.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et savoir énoncer la loi des nœuds.
- Appliquer la loi pour calculer un courant inconnu dans une branche.
- Analyser la répartition des courants dans un circuit parallèle simple.
Données de l'étude
Schéma du Circuit Électrique
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Courant total | \( I_{\text{T}} \) | 10 | Ampère (A) |
| Courant dans la branche 1 | \( I_{\text{1}} \) | 4 | Ampère (A) |
| Courant dans la branche 2 | \( I_{\text{2}} \) | Inconnu | Ampère (A) |
Questions à traiter
- Énoncer la loi des nœuds de Kirchhoff.
- En appliquant la loi au nœud A, écrire l'équation reliant \( I_{\text{T}} \), \( I_{\text{1}} \) et \( I_{\text{2}} \).
- Calculer la valeur du courant inconnu \( I_{\text{2}} \) qui traverse la résistance R2.
- Un nœud C est alimenté par un courant total \(I_{\text{T}}\) de 15 A. Ce courant se divise en trois branches parcourues par les courants \(I_{\text{1}}\), \(I_{\text{2}}\) et \(I_{\text{3}}\). Si \(I_{\text{1}} = 6 \, \text{A}\) et \(I_{\text{2}} = 5 \, \text{A}\), quelle est la valeur de \(I_{\text{3}}\) ?
- Au nœud D d'un circuit, les courants \(I_{\text{a}}\) et \(I_{\text{b}}\) sont entrants, tandis que les courants \(I_{\text{c}}\) et \(I_{\text{d}}\) sont sortants. On mesure \(I_{\text{a}} = 3 \, \text{A}\), \(I_{\text{b}} = 5 \, \text{A}\) et \(I_{\text{c}} = 6 \, \text{A}\). Déterminez la valeur du courant \(I_{\text{d}}\).
Les bases sur la Loi des Nœuds
La loi des nœuds est l'une des deux lois fondamentales établies par Gustav Kirchhoff pour l'analyse des circuits électriques. Elle repose sur le principe de la conservation de la charge électrique : la charge ne peut être ni créée ni détruite, elle ne fait que se déplacer.
1. Qu'est-ce qu'un Nœud ?
Un nœud est un point de connexion dans un circuit où trois conducteurs ou plus se rencontrent. C'est un point de jonction où le courant peut se diviser ou se recombiner. Dans notre schéma, les points A et B sont des nœuds.
2. Énoncé de la Loi des Nœuds
La loi stipule que : la somme algébrique des courants électriques entrant dans un nœud est nulle. De manière équivalente et plus intuitive :
"La somme des courants qui entrent dans un nœud est égale à la somme des courants qui en sortent."
Correction : La loi des nœuds dans un circuit simple
Question 1 : Énoncer la loi des nœuds de Kirchhoff.
Principe
Le concept physique fondamental derrière la loi des nœuds est la conservation de la charge électrique. Imaginez un carrefour routier : le nombre de voitures qui y entrent par seconde doit être égal au nombre de voitures qui en sortent. Il en va de même pour les charges électriques (portées par les électrons) à un nœud : aucune charge ne peut s'y accumuler ou y disparaître.
Mini-Cours
La charge électrique, mesurée en Coulombs (C), est une propriété fondamentale de la matière. Le courant, mesuré en Ampères (A), est un débit de charge (1 A = 1 C/s). La loi des nœuds affirme que ce débit est conservé à toute jonction d'un circuit. C'est une loi locale qui s'applique à n'importe quel nœud, peu importe la complexité du reste du circuit.
Remarque Pédagogique
Pour mémoriser facilement, pensez à un système de plomberie : le débit d'eau qui arrive à un T de raccordement est forcément égal à la somme des débits qui en repartent dans les deux autres tuyaux. L'eau ne peut pas disparaître dans le raccord !
Normes
La loi des nœuds n'est pas une norme au sens réglementaire (comme les Eurocodes), mais une loi physique fondamentale de l'électrocinétique. Elle est universellement reconnue et constitue la base de toute analyse de circuit, quel que soit le pays ou le domaine d'application.
Formule(s)
Il existe deux manières équivalentes d'écrire cette loi. La première est souvent plus intuitive :
La seconde, plus formelle, utilise une convention de signe (par exemple, + pour les courants entrants, - for les sortants) :
Hypothèses
Cette loi s'applique dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires, ce qui est le cas pour la plupart des circuits en courant continu ou alternatif basse fréquence. On suppose que le courant se propage instantanément dans les conducteurs.
Donnée(s)
Pour cette question de cours, aucune donnée numérique n'est nécessaire. Il s'agit de restituer une définition.
Astuces
Pour ne pas la confondre avec la loi des mailles (la 2ème loi de Kirchhoff), retenez que "nœuds" rime avec "flux" (de courant), tandis que "mailles" rime avec "détails" (des tensions).
Schéma (Avant les calculs)
Un schéma conceptuel simple illustre parfaitement la loi :
Concept d'un Nœud
Calcul(s)
Aucun calcul n'est requis for cette question.
Schéma (Après les calculs)
Aucun schéma de résultat n'est applicable ici.
Réflexions
Cette loi est puissante car elle fournit une équation for chaque nœud d'un circuit. En combinant ces équations, on peut résoudre des systèmes de circuits très complexes for trouver tous les courants inconnus.
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre la loi des nœuds (conservation de la charge) avec la loi des mailles (conservation de l'énergie).
Points à retenir
Point clé : La somme des courants qui arrivent à un point de jonction est égale à la somme des courants qui en repartent. C'est un principe de conservation.
Le saviez-vous ?
Gustav Kirchhoff a formulé ses lois sur les circuits en 1845, alors qu'il n'était encore qu'un étudiant de 21 ans ! Ces lois sont restées le fondement de l'analyse des circuits électriques jusqu'à aujourd'hui.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec vos propres mots, comment expliqueriez-vous la loi des nœuds à quelqu'un qui ne connaît rien à l'électricité ? (Il n'y a pas de "bonne" réponse, l'important est l'analogie !)
Question 2 : Écrire l'équation au nœud A.
Principe
Le concept physique est d'appliquer la loi de conservation de la charge spécifiquement au point de jonction A. Il faut identifier tous les "chemins" connectés à ce point et déterminer, for chaque chemin, si le courant se dirige vers le nœud ou s'il s'en éloigne.
Mini-Cours
L'application de la loi des nœuds est une méthode de modélisation. On traduit un schéma physique en une équation mathématique. La première étape est toujours d'identifier le nœud d'intérêt. Ensuite, on liste tous les courants qui y sont connectés. Enfin, on les place de part et d'autre du signe "=" selon qu'ils sont entrants ou sortants.
Remarque Pédagogique
Le conseil du professeur : Fiez-vous aux flèches ! Le sens des flèches sur le schéma est crucial. Une flèche pointant vers le nœud indique un courant entrant. Une flèche s'éloignant du nœud indique un courant sortant.
Normes
La convention de fléchage des courants est une norme de représentation universelle en schématique électrique. Bien que la direction réelle des électrons soit opposée (sens conventionnel du courant), tous les calculs se basent sur ces flèches.
Formule(s)
La formule générale que nous allons appliquer est :
Hypothèses
Nous faisons l'hypothèse que le schéma est correct et que le sens des flèches représente bien la direction des courants respectifs dans le circuit.
Donnée(s)
Les données pour cette question ne sont pas des valeurs numériques, mais les noms des courants tels que définis sur le schéma : \( I_{\text{T}}, I_{\text{1}}, I_{\text{2}} \).
Astuces
Une astuce simple est de mettre son doigt sur le nœud et de regarder toutes les lignes qui y arrivent. Pour chaque ligne, suivez la flèche : si elle vient vers votre doigt, c'est un courant entrant. Si elle s'en éloigne, c'est un sortant.
Schéma (Avant les calculs)
Focalisons-nous sur la partie pertinente du schéma : le nœud A et les courants qui y sont connectés.
Analyse des courants au Nœud A
Calcul(s)
Il ne s'agit pas d'un calcul numérique mais d'une "transcription" de l'observation en équation. L'unique courant entrant est \(I_{\text{T}}\). Les courants sortants sont \(I_{\text{1}}\) et \(I_{\text{2}}\). En appliquant la loi, on obtient :
Schéma (Après les calculs)
Le schéma reste inchangé, mais l'équation que nous venons de trouver est maintenant associée au nœud A.
Réflexions
Cette équation simple est la représentation mathématique de la division du courant total dans les deux branches parallèles. Elle montre que le courant ne se perd pas, il se répartit simplement.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien identifier TOUTES les branches connectées au nœud. Dans un circuit plus complexe, il pourrait y en avoir 4, 5 ou plus. Oublier une seule branche fausserait complètement l'équation.
Points à retenir
La méthode est toujours la même : 1. Identifier le nœud. 2. Identifier les courants entrants. 3. Identifier les courants sortants. 4. Écrire l'égalité.
Le saviez-vous ?
Les logiciels de simulation de circuits électroniques, comme SPICE, utilisent la méthode des nœuds (une application systématique de la loi des nœuds) for résoudre des circuits contenant des milliers de composants en quelques millisecondes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant la même logique, quelle serait l'équation de la loi des nœuds si on l'appliquait au nœud B ? (Réponse : \(I_{\text{1}} + I_{\text{2}} = I_{\text{T}}\), c'est la même équation car les courants qui sortent de A entrent en B !)
Question 3 : Calculer la valeur du courant inconnu \( I_{\text{2}} \).
Principe
Le concept ici est l'utilisation de l'algèbre for résoudre une équation simple. Puisque la loi physique nous a donné une relation entre trois grandeurs (\(I_{\text{T}}, I_{\text{1}}, I_{\text{2}}\)) et que nous en connaissons deux, nous pouvons mathématiquement déduire la troisième.
Mini-Cours
La résolution d'une équation linéaire simple comme \(A = B + x\) for trouver \(x\) est une compétence de base en algèbre. Le principe est d'isoler la variable inconnue (\(x\)) d'un côté de l'équation en effectuant des opérations inverses. Pour annuler une addition (+B), on utilise une soustraction (-B) des deux côtés de l'égalité : \(A - B = B + x - B\), ce qui donne \(x = A - B\).
Remarque Pédagogique
Le conseil du professeur : Avant de remplacer par les chiffres, réarrangez toujours l'équation for isoler la variable que vous cherchez. Cela clarifie le calcul à effectuer et réduit les risques d'erreur. "La lettre d'abord, les chiffres après !"
Normes
L'utilisation de l'Ampère (A) comme unité de courant est une norme du Système International (SI). Il est impératif que toutes les valeurs de courant dans le calcul soient dans la même unité (ou converties) for que le résultat soit correct.
Formule(s)
Nous partons de l'équation établie à la question précédente et nous l'isolons for trouver \( I_{\text{2}} \) :
Hypothèses
Nous faisons l'hypothèse que les valeurs fournies dans le tableau de données (\(I_{\text{T}} = 10\) A et \(I_{\text{1}} = 4\) A) sont exactes et mesurées sans incertitude.
Donnée(s)
Nous reprenons les valeurs numériques de l'énoncé :
- Courant total, \(I_{\text{T}}\) = 10 A
- Courant dans la branche 1, \(I_{\text{1}}\) = 4 A
Astuces
Une astuce de vérification rapide : le courant dans une branche parallèle (\(I_{\text{1}}\) ou \(I_{\text{2}}\)) ne peut jamais être plus grand que le courant total (\(I_{\text{T}}\)). Si votre résultat est supérieur à 10 A, vous avez fait une erreur.
Schéma (Avant les calculs)
Reprenons le schéma en y indiquant les valeurs connues for visualiser le problème.
Circuit avec valeurs connues
Calcul(s)
Nous appliquons maintenant la formule avec les données numériques de l'énoncé, en alignant les étapes du calcul for plus de clarté.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma final montre la répartition complète et vérifiée des courants.
Circuit avec tous les courants
Réflexions
Le résultat de 6 A est logique. Si 10 ampères arrivent au "carrefour" (le nœud A) et que 4 ampères prennent la "première sortie" (la branche de R1), alors les 6 ampères restants doivent nécessairement prendre la "deuxième sortie" (la branche de R2). On peut vérifier que \(I_{\text{1}} + I_{\text{2}} = 4 \, \text{A} + 6 \, \text{A} = 10 \, \text{A}\), ce qui est bien égal à \(I_{\text{T}}\).
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de se tromper dans le sens des courants. Toujours bien identifier ce qui entre et ce qui sort avant d'écrire l'équation. Une flèche dans le mauvais sens peut inverser un signe et fausser tout le calcul.
Points à retenir
La méthode de résolution est systématique : 1. Poser l'équation littérale grâce à la loi physique. 2. Isoler l'inconnue par l'algèbre. 3. Remplacer par les valeurs numériques et calculer.
Le saviez-vous ?
L'unité de courant, l'Ampère, est nommée en l'honneur du physicien français André-Marie Ampère. C'est l'une des sept unités de base du Système International, ce qui montre son importance fondamentale en physique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Maintenant, à vous ! Si le courant total \(I_{\text{T}}\) était de 12 A et que \(I_{\text{1}}\) valait 7 A, quel serait le courant \(I_{\text{2}}\) ?
Question 4 : Calculer le courant dans un nœud à trois branches.
Principe
Le principe de conservation de la charge reste exactement le même, peu importe le nombre de branches connectées à un nœud. La somme de tout ce qui entre doit toujours être égale à la somme de tout ce qui sort.
Mini-Cours
La loi des nœuds se généralise à un nombre quelconque de branches. Si un courant total se divise en 'n' chemins, alors le courant total est la somme des courants dans chacun des 'n' chemins. C'est une application directe du principe de superposition.
Remarque Pédagogique
Lorsque vous avez plusieurs termes à soustraire, il est souvent plus sûr de les additionner d'abord entre eux avant de faire la soustraction finale. Cela permet de réduire les erreurs de calcul, surtout quand les nombres sont plus complexes.
Normes
Les normes de schématisation électrique permettent de représenter des nœuds avec un nombre arbitraire de connexions, ce qui rend la loi des nœuds applicable à n'importe quel circuit, aussi complexe soit-il.
Formule(s)
Pour ce nœud à trois branches sortantes, la loi s'écrit :
On isole l'inconnue \( I_{\text{3}} \) :
Hypothèses
On suppose que les trois branches sont les seules connectées au nœud C et que le sens des courants est correctement indiqué (un entrant, trois sortants).
Donnée(s)
Les valeurs pour cette question sont :
- Courant total, \(I_{\text{T}}\) = 15 A
- Courant dans la branche 1, \(I_{\text{1}}\) = 6 A
- Courant dans la branche 2, \(I_{\text{2}}\) = 5 A
Astuces
Regroupez mentalement tous les courants sortants connus. Ici, \(6+5=11\) A. Le courant total est de 15 A. La différence, \(15-11=4\) A, est forcément le courant manquant.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons ce nouveau nœud C.
Schéma du Nœud C
Calcul(s)
Appliquons les valeurs numériques à la formule réarrangée.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma complété montre l'équilibre des courants.
Schéma du Nœud C Résolu
Réflexions
On vérifie bien que la somme des courants sortants (\(6+5+4 = 15\) A) est égale au courant entrant (15 A). La loi est respectée.
Points de vigilance
Attention aux erreurs d'inattention lors de l'addition ou de la soustraction de plusieurs termes. Une simple erreur de calcul peut fausser le résultat.
Points à retenir
La loi des nœuds s'applique de la même manière, qu'il y ait deux, trois ou dix branches connectées à un nœud. Le principe de base reste inchangé.
Le saviez-vous ?
Dans les réseaux de distribution électrique des villes, les "nœuds" sont les transformateurs de quartier où les lignes à moyenne tension se divisent en de multiples lignes à basse tension pour alimenter les habitations. La gestion des courants à ces nœuds est cruciale pour la stabilité du réseau.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(I_{\text{T}}\) était de 20 A, \(I_{\text{1}}\) de 8 A et \(I_{\text{3}}\) de 7 A, que vaudrait \(I_{\text{2}}\) ?
Question 5 : Calculer le courant dans un nœud à entrées multiples.
Principe
Ce cas de figure teste la bonne application de la règle "somme des entrants = somme des sortants". Il faut correctement identifier tous les courants qui arrivent au nœud et les additionner, puis faire de même pour tous les courants qui en repartent.
Mini-Cours
Un nœud peut avoir plusieurs entrées et plusieurs sorties. La loi de Kirchhoff reste valide : la somme de tous les courants qui convergent vers le nœud doit être égale à la somme de tous les courants qui en divergent. C'est la forme la plus générale de cette loi.
Remarque Pédagogique
La meilleure approche ici est de créer deux "équipes" : l'équipe des entrants et l'équipe des sortants. Calculez le total de chaque équipe. L'inconnue sera le nombre qui permet d'équilibrer les deux totaux.
Normes
Cette configuration est courante dans les circuits intégrés et les cartes électroniques où de nombreux chemins de signaux et d'alimentation se croisent et interagissent.
Formule(s)
Pour le nœud D, la loi s'écrit :
On isole l'inconnue \( I_{\text{d}} \) :
Hypothèses
On suppose que les sens des courants (entrants ou sortants) sont correctement identifiés dans l'énoncé de la question.
Donnée(s)
Les valeurs pour cette question sont :
- Courant entrant a, \(I_{\text{a}}\) = 3 A
- Courant entrant b, \(I_{\text{b}}\) = 5 A
- Courant sortant c, \(I_{\text{c}}\) = 6 A
Astuces
Calculez d'abord la somme totale des courants entrants : \(3+5=8\) A. C'est le montant total qui doit sortir du nœud. Si vous savez qu'une sortie est de 6 A, l'autre doit être de \(8-6=2\) A.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons ce nouveau nœud D avec ses multiples entrées et sorties.
Schéma du Nœud D
Calcul(s)
Appliquons les valeurs numériques à la formule réarrangée.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma complété montre l'équilibre des courants entrants et sortants.
Schéma du Nœud D Résolu
Réflexions
Le calcul montre que le total des courants entrants est de \(3+5=8\) A. Puisque 6 A sortent par une branche, il doit nécessairement en sortir 2 A par l'autre pour que la somme des sortants ( \(6+2=8\) A) soit égale à la somme des entrants.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente dans ce type de problème est de mal additionner ou soustraire les courants. Assurez-vous de bien séparer les entrants des sortants avant de poser l'équation finale.
Points à retenir
La loi des nœuds est une simple équation de bilan : ce qui entre est égal à ce qui sort. Cette règle simple est la clé pour résoudre de nombreux problèmes de circuits.
Le saviez-vous ?
La loi des nœuds a une analogie en hydraulique (loi de conservation de la masse) et en finance (un bilan comptable où les actifs doivent égaler les passifs). C'est un principe de conservation fondamental que l'on retrouve dans de nombreux domaines de la science et de l'ingénierie.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(I_{\text{a}}=2\)A, \(I_{\text{c}}=10\)A, \(I_{\text{d}}=4\)A, et que \(I_{\text{b}}\) est le seul autre courant entrant, que vaut \(I_{\text{b}}\) ?
Outil Interactif : Simulateur de la Loi des Nœuds
Utilisez les curseurs for faire varier le courant total entrant dans un nœud et le courant dans la première branche. Observez en temps réel comment le courant dans la deuxième branche s'ajuste for respecter la loi des nœuds.
Paramètres d'Entrée
Résultats Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que stipule la loi des nœuds de Kirchhoff ?
2. Un "nœud" dans un circuit électrique est un point où...
3. Un courant de 8A entre dans un nœud. 3A sortent par une première branche. Combien de courant sort par la deuxième branche ?
4. Si l'on considère les courants entrants comme positifs et les sortants comme négatifs, la somme algébrique des courants à un nœud est...
5. La loi des nœuds est une conséquence directe du principe de...
Glossaire
- Nœud
- Point de connexion dans un circuit électrique où au moins trois chemins de courant se rencontrent.
- Branche
- Partie d'un circuit comprise entre deux nœuds consécutifs.
- Courant Électrique
- Débit de charge électrique à travers un conducteur. Son unité est l'Ampère (A).
- Loi des Nœuds (1ère Loi de Kirchhoff)
- Principe fondamental stipulant que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants qui en sortent, basé sur la conservation de la charge.
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