Circuits Électriques

Le régime pseudo-périodique

Électricité : Le régime pseudo-périodique - Oscillations amorties

Le régime pseudo-périodique : Oscillations amorties

Contexte : L'Oscillation qui s'Éteint

Lorsqu'un circuit RLC est soumis à un échelon de tension, il peut réagir de trois manières différentes. Nous avons vu le cas apériodique (retour lent) et le cas critique (retour le plus rapide). Le troisième cas, et le plus visuel, est le régime pseudo-périodiqueAussi appelé régime sous-amorti. Le système oscille autour de sa valeur d'équilibre avec une amplitude qui diminue exponentiellement. Cela se produit lorsque l'amortissement est faible.. Cela se produit lorsque l'amortissement (la résistance R) est faible par rapport à la tendance du circuit à osciller (due à L et C). Le système "dépasse" sa valeur cible, puis oscille autour d'elle avec une amplitude qui diminue progressivement, jusqu'à se stabiliser.

Remarque Pédagogique : Ce régime est la représentation parfaite d'un oscillateur amorti. Il combine une oscillation sinusoïdale (la "pseudo-période") avec une enveloppe de décroissance exponentielle (l'amortissement). Comprendre ce comportement est essentiel pour analyser les filtres, les antennes et tout système résonant du monde réel.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier la condition du régime pseudo-périodique (\(\alpha < \omega_0\)).
  • Calculer le coefficient d'amortissement \(\alpha\) et la pulsation propre \(\omega_0\).
  • Calculer la pseudo-pulsation \(\omega_p\) des oscillations.
  • Comprendre la forme de la solution de l'équation différentielle dans ce régime.
  • Analyser l'influence des composants sur l'amortissement et la fréquence des oscillations.

Données de l'étude

On considère le même circuit RLC série que dans l'exercice précédent, mais on diminue la valeur de la résistance pour observer des oscillations : \(R = 400 \, \Omega\), \(L = 1 \, \text{H}\) et \(C = 1 \, \mu\text{F}\). Le circuit est alimenté par un échelon de tension de \(E = 10 \, \text{V}\) à \(t=0\).

Schéma du Circuit RLC Série
R=400Ω L=1H C=1µF E=10V

Données :

  • Tension d'alimentation : \(E = 10 \, \text{V}\)
  • Résistance : \(R = 400 \, \Omega\)
  • Inductance : \(L = 1 \, \text{H}\)
  • Capacité : \(C = 1 \, \mu\text{F} = 1 \times 10^{-6} \, \text{F}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient d'amortissement \(\alpha\) et la pulsation propre \(\omega_0\). Confirmer que le régime est pseudo-périodique.
  2. Calculer la pseudo-pulsation \(\omega_p\) des oscillations.
  3. En déduire la pseudo-période \(T_p\) des oscillations.

Correction : Le régime pseudo-périodique : Oscillations amorties

Question 1 : Nature du Régime (\(\alpha\) et \(\omega_0\))

Principe :

La nature du régime transitoire d'un circuit RLC est déterminée en comparant le coefficient d'amortissement \(\alpha\), qui dépend de R et L, et la pulsation propre \(\omega_0\), qui dépend de L et C. Si l'amortissement est faible par rapport à la tendance à osciller (\(\alpha < \omega_0\)), le système entrera en régime pseudo-périodique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est toujours la première étape de l'analyse d'un circuit du second ordre. Le résultat de cette comparaison dicte la forme mathématique de la solution et le comportement physique du circuit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \alpha = \frac{R}{2L} \quad \text{et} \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]
Donnée(s) :
  • \(R = 400 \, \Omega\)
  • \(L = 1 \, \text{H}\)
  • \(C = 1 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul(s) :
\[ \alpha = \frac{400}{2 \times 1} = 200 \, \text{s}^{-1} \]
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{1 \times 1 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \, \text{rad/s} \]

On compare les deux valeurs :

\[ 200 < 1000 \quad \Rightarrow \quad \alpha < \omega_0 \]
Points de vigilance :

Unités SI : Une attention particulière doit être portée aux unités. L'inductance doit être en Henrys (H) et la capacité en Farads (F) pour que les calculs de \(\alpha\) et \(\omega_0\) soient corrects.

Le saviez-vous ?

Le facteur de qualité de ce circuit est \(Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{400}\sqrt{\frac{1}{10^{-6}}} = \frac{1000}{400} = 2.5\). Comme \(Q > 0.5\), cela confirme bien un régime oscillant amorti.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passerait-il si R était de \(2000 \, \Omega\) ?

Si \(R=2000 \, \Omega\), alors \(\alpha = 2000 / (2 \times 1) = 1000 \, \text{s}^{-1}\). Dans ce cas, \(\alpha = \omega_0\), et le régime serait critique, la limite exacte entre l'oscillation et le non-oscillation.

Résultat : Puisque \(\alpha < \omega_0\), le régime transitoire est bien pseudo-périodique.

Question 2 : Pseudo-Pulsation (\(\omega_p\))

Principe :

Dans le régime pseudo-périodique, le circuit n'oscille pas à sa pulsation propre \(\omega_0\), mais à une pulsation légèrement plus faible, appelée pseudo-pulsation \(\omega_p\). L'amortissement "ralentit" l'oscillation. Cette pseudo-pulsation se calcule à partir de \(\omega_0\) et \(\alpha\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La pseudo-pulsation n'existe que si \(\omega_0 > \alpha\). Si l'amortissement est trop fort, le terme sous la racine carrée devient négatif, et il n'y a plus d'oscillation réelle, ce qui nous ramène au régime apériodique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \omega_p = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} \]
Donnée(s) :
  • \(\alpha = 200 \, \text{s}^{-1}\)
  • \(\omega_0 = 1000 \, \text{rad/s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \omega_p &= \sqrt{1000^2 - 200^2} \\ &= \sqrt{1000000 - 40000} \\ &= \sqrt{960000} \approx 979.8 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ordre de la soustraction : La formule est bien \(\omega_0^2 - \alpha^2\). Inverser les termes conduirait à une racine carrée d'un nombre négatif, ce qui n'a pas de sens pour une pulsation réelle.

Le saviez-vous ?

Plus l'amortissement \(\alpha\) se rapproche de \(\omega_0\), plus la pseudo-pulsation \(\omega_p\) diminue. Au régime critique, \(\alpha = \omega_0\) et \(\omega_p = 0\), ce qui signifie que le système n'oscille plus du tout.

FAQ en rapport avec la question :
La pseudo-pulsation peut-elle être plus grande que la pulsation propre ?

Non, jamais. La formule \(\omega_p = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}\) montre que \(\omega_p\) est toujours inférieure ou égale à \(\omega_0\). L'amortissement ne peut que ralentir l'oscillation, jamais l'accélérer.

Résultat : La pseudo-pulsation des oscillations est \(\omega_p \approx 979.8 \, \text{rad/s}\).

Question 3 : Pseudo-Période (\(T_p\))

Principe :

La pseudo-période est la durée d'une oscillation complète dans le régime amorti. Elle est directement liée à la pseudo-pulsation par la même relation qui lie la période et la pulsation en régime sinusoïdal simple.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La pseudo-période est le temps que l'on peut mesurer sur un oscilloscope entre deux pics successifs de l'oscillation amortie. Elle est toujours légèrement plus longue que la période propre \(T_0 = 2\pi/\omega_0\) que le circuit aurait sans amortissement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_p = \frac{2\pi}{\omega_p} \]
Donnée(s) :
  • \(\omega_p \approx 979.8 \, \text{rad/s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} T_p &= \frac{2\pi}{979.8} \\ &\approx 0.00641 \, \text{s} = 6.41 \, \text{ms} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas utiliser \(\omega_0\) : Il ne faut pas confondre la pseudo-période \(T_p\) (période des oscillations réellement observées) avec la période propre \(T_0 = 2\pi/\omega_0\) (période théorique sans amortissement).

Le saviez-vous ?

En mécanique, c'est ce phénomène qui explique pourquoi une balançoire, une fois lancée, a des oscillations dont la durée est quasi constante, mais dont l'amplitude diminue à chaque aller-retour à cause des frottements de l'air.

FAQ en rapport avec la question :
Comment se présente la solution complète de \(u_C(t)\) ?

La solution complète est de la forme \(u_C(t) = E + e^{-\alpha t}(A \cos(\omega_p t) + B \sin(\omega_p t))\). Les constantes A et B se déterminent avec les conditions initiales \(u_C(0)=0\) et \(i(0)=0\), ce qui donne \(A = -E\) et \(B = -E\alpha/\omega_p\).

Résultat : La pseudo-période des oscillations est d'environ \(6.41 \, \text{ms}\).

Simulation Interactive

La pulsation propre \(\omega_0\) est fixée par L et C. Faites varier la résistance R, et donc le coefficient d'amortissement \(\alpha\). Observez le passage du régime pseudo-périodique (\(\alpha < \omega_0\)) au régime critique (\(\alpha \approx \omega_0\)), puis au régime apériodique (\(\alpha > \omega_0\)).

Paramètres du Circuit RLC
Amortissement α
Pulsation Propre ω₀ 1000 rad/s
Régime
Réponse de la Tension \(u_C(t)\)

Pour Aller Plus Loin : Le Facteur de Qualité

Mesurer l'oscillation : Une autre façon de caractériser un circuit RLC est d'utiliser le facteur de qualité \(Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\). Il mesure la "qualité" de l'oscillation. Un Q élevé (\(>0.5\)) signifie un circuit peu amorti qui oscille beaucoup. Un Q faible (\(<0.5\)) correspond à un régime apériodique très amorti. Le régime critique correspond exactement à \(Q=0.5\).

Le Saviez-Vous ?

Les suspensions des voitures de course sont réglées pour être légèrement sous-amortis (pseudo-périodiques) pour un meilleur contact avec la route, tandis que celles des voitures de luxe sont réglées pour être sur-amortis (apériodiques) pour un confort maximal, absorbant les bosses sans aucune oscillation.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la résistance R est nulle ?

Si \(R=0\), alors \(\alpha=0\). Le régime est non amorti. La solution de l'équation différentielle est une sinusoïde pure de pulsation \(\omega_0\). Le circuit oscille indéfiniment sans perte d'énergie. C'est un oscillateur LC idéal.

Comment la solution change-t-elle pour le régime critique ?

Lorsque \(\alpha = \omega_0\), les racines de l'équation caractéristique sont égales (\(r_1=r_2=-\alpha\)). La forme de la solution change légèrement pour devenir \(u_C(t) = E + (At+B)e^{-\alpha t}\). C'est la présence du terme en \(t\) qui permet le retour à l'équilibre le plus rapide.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un circuit RLC est en régime pseudo-périodique. Si on augmente la résistance R (tout en restant en dessous du seuil critique), la pseudo-période \(T_p\) va :

2. La condition pour un régime pseudo-périodique est :

Glossaire

Régime Apériodique
Régime où le système retourne à l'équilibre lentement, sans osciller (\(\alpha > \omega_0\)).
Régime Critique
Régime limite où le système retourne à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller (\(\alpha = \omega_0\)).
Régime Pseudo-périodique
Régime où le système oscille avec une amplitude qui diminue exponentiellement (\(\alpha < \omega_0\)).
Pseudo-pulsation (\(\omega_p\))
La pulsation des oscillations dans un régime pseudo-périodique. Elle est toujours inférieure à la pulsation propre \(\omega_0\).
Phénomènes Transitoires : Le régime pseudo-périodique : Oscillations amorties

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