Loi d'Ohm généralisée : Étude d'un générateur réel
Contexte : Le générateur électrique réel.
Dans les circuits électriques, un générateur est un dispositif qui convertit une forme d'énergie (chimique, mécanique, etc.) en énergie électrique. Un générateur "idéal" fournirait une tension constante à ses bornes, peu importe le courant débité. Cependant, dans la réalité, tous les générateurs possèdent une résistance interneRésistance inhérente aux composants d'un générateur, qui provoque une chute de tension et une dissipation d'énergie sous forme de chaleur lorsque le courant le traverse., notée \(r\). Cette résistance provoque une chute de tension et une perte d'énergie par effet JouleDégagement de chaleur produit par le passage d'un courant électrique dans un matériau résistant.. Cet exercice a pour but d'analyser le comportement d'un tel générateur "réel".
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un générateur réel et à appliquer la loi d'Ohm généralisée pour effectuer un bilan de puissance complet d'un circuit simple, une compétence fondamentale en électricité.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi d'Ohm généralisée pour un générateur.
- Calculer l'intensité du courant dans un circuit série simple.
- Déterminer la tension aux bornesLa différence de potentiel réellement disponible entre les bornes de sortie d'un générateur lorsqu'il débite un courant. Elle est inférieure à la f.é.m. d'un générateur en charge.
- Effectuer un bilan de puissances (utile, perdue, totale).
- Comprendre et calculer le rendement d'un générateur.
Données de l'étude
Caractéristiques du circuit
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Force électromotrice (f.é.m.) | \(E\) | 12 V |
| Résistance interne | \(r\) | 1,5 Ω |
| Résistance de charge | \(R\) | 8,5 Ω |
Schéma du circuit électrique
Questions à traiter
- Calculer l'intensité du courant \(I\) qui traverse le circuit.
- Calculer la tension \(U_{PN}\) aux bornes du générateur.
- Calculer la puissance \(P_{\text{u}}\) dissipée par la résistance de charge \(R\).
- Calculer la puissance \(P_{\text{j}}\) perdue par effet Joule dans le générateur.
- En déduire la puissance totale \(P_{\text{tot}}\) fournie par le générateur et son rendement \(\eta\).
Les bases sur les Générateurs Réels
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser la loi d'Ohm généralisée appliquée à un générateur et les formules de puissance électrique.
1. Loi d'Ohm pour un générateur réel
La tension \(U_{PN}\) aux bornes d'un générateur réel n'est pas constante. Elle dépend du courant \(I\) qu'il débite. Elle est donnée par la relation :
\[ U_{PN} = E - r \cdot I \]
Où \(E\) est la force électromotrice (tension à vide) et \(r\) la résistance interne.
2. Bilan de puissance d'un générateur
Un générateur fournit une puissance totale (\(P_{\text{tot}}\)). Une partie est utile au circuit extérieur (\(P_{\text{u}}\)), l'autre est perdue en chaleur dans le générateur lui-même (\(P_{\text{j}}\)).
- Puissance totale (ou électromotrice) : \(P_{\text{tot}} = E \cdot I\)
- Puissance utile (fournie au circuit) : \(P_{\text{u}} = U_{PN} \cdot I\)
- Puissance perdue (par effet Joule) : \(P_{\text{j}} = r \cdot I^2\)
- Bilan : \(P_{\text{tot}} = P_{\text{u}} + P_{\text{j}}\)
Correction : Loi d'Ohm généralisée
Question 1 : Calculer l'intensité du courant \(I\)
Principe
Le concept physique clé est la conservation de l'énergie dans une boucle de circuit simple. La "force" qui pousse les charges (la f.é.m. \(E\)) est entièrement utilisée pour vaincre les "obstacles" à leur passage (les résistances \(R\) et \(r\)).
Mini-Cours
Dans tout circuit série, le courant est constant en tout point. La loi des mailles de Kirchhoff stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) dans une boucle fermée est nulle. En partant d'un point et en y revenant, l'énergie par unité de charge gagnée (\(+E\)) doit être égale à l'énergie perdue (chutes de tension \(-rI\) et \(-RI\)).
Remarque Pédagogique
L'approche la plus simple pour ce type de problème est de "globaliser" : considérez le générateur comme la source de tension unique et toutes les résistances comme une seule résistance équivalente. Le problème se ramène alors à la loi d'Ohm la plus simple : \(U = R_{\text{eq}} \cdot I\).
Normes
Cet exercice applique les lois fondamentales de l'électrocinétique. Dans un contexte industriel, le calcul du courant nominal est la première étape pour le dimensionnement des câbles et des dispositifs de protection (fusibles, disjoncteurs) selon des normes comme la NF C 15-100 en France.
Formule(s)
Formule de l'intensité du courant
Hypothèses
- Les fils de connexion ont une résistance nulle.
- Le régime est continu (courant constant dans le temps).
- Les valeurs des composants (\(E, r, R\)) ne varient pas avec la température.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force électromotrice | \(E\) | 12 | V |
| Résistance de charge | \(R\) | 8,5 | Ω |
| Résistance interne | \(r\) | 1,5 | Ω |
Astuces
Avant tout calcul, additionnez mentalement les résistances : \(8,5 + 1,5 = 10 \, \Omega\). Le calcul devient immédiat (\(12 / 10\)) et limite le risque d'erreur de saisie sur la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Une intensité de 1,2 A pour une source de 12 V est une valeur cohérente pour de nombreuses applications électroniques ou automobiles. C'est cette valeur qui déterminera l'échauffement des composants.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier la résistance interne \(r\) dans le calcul de la résistance totale. La f.é.m. \(E\) alimente l'ensemble du circuit, y compris la résistance interne du générateur lui-même.
Points à retenir
Pour trouver le courant dans un circuit série simple, on divise la force électromotrice totale par la somme de toutes les résistances de la boucle.
Le saviez-vous ?
Georg Ohm (1789-1854), en formulant sa célèbre loi, a dû faire face au scepticisme de la communauté scientifique de son époque. Son approche mathématique de la physique était alors peu commune en Allemagne. Son travail ne fut pleinement reconnu que des années plus tard, notamment grâce au soutien de scientifiques étrangers.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'intensité \(I\) si la résistance de charge \(R\) était de 10,5 Ω.
Question 2 : Calculer la tension \(U_{PN}\) aux bornes
Principe
La tension aux bornes \(U_{PN}\) est la différence de potentiel que l'on peut mesurer entre les points P et N. Elle représente l'énergie par unité de charge qui est réellement disponible pour le reste du circuit. Cette tension est inférieure à la f.é.m. \(E\) car une partie de l'énergie est "perdue" pour faire traverser le courant à travers la résistance interne \(r\).
Mini-Cours
La tension aux bornes d'un générateur peut se voir de deux façons :
1. Du point de vue du générateur : C'est ce qu'il lui "reste" après avoir vaincu sa propre résistance interne. \(U_{PN} = E - rI\). Le terme \(rI\) est appelé la "chute de tension interne".
2. Du point de vue du circuit extérieur : C'est la tension qui est appliquée à la résistance de charge \(R\). Par la loi d'Ohm : \(U_{PN} = RI\).
Remarque Pédagogique
Pour être sûr de votre calcul, utilisez les deux méthodes. Si elles donnent le même résultat, votre courant \(I\) et votre raisonnement sont très probablement corrects. C'est une excellente technique d'auto-vérification.
Normes
Dans les fiches techniques des appareils électriques, la tension spécifiée est la tension nominale de fonctionnement (par exemple 230 V). Cette tension doit correspondre à la tension aux bornes de la source (\(U_{PN}\)), et non à sa f.é.m. (\(E\)), pour garantir un fonctionnement optimal.
Formule(s)
Formule de la tension (vue du générateur)
Formule de la tension (vue de la charge)
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1. On utilise le courant \(I\) calculé précédemment, supposé exact.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force électromotrice | \(E\) | 12 | V |
| Résistance de charge | \(R\) | 8,5 | Ω |
| Résistance interne | \(r\) | 1,5 | Ω |
| Intensité du courant | \(I\) | 1,2 | A |
Astuces
La tension \(U_{PN}\) doit obligatoirement être inférieure à \(E\) (sauf si \(I=0\)). Si vous trouvez une valeur supérieure, vous avez certainement fait une erreur de signe dans la formule \(E - rI\).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Calcul avec la formule du générateur
Vérification avec la formule de la charge
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le générateur a une f.é.m. de 12 V, mais il ne fournit en réalité que 10,2 V au circuit. La différence, 1,8 V, est "perdue" aux bornes de sa propre résistance interne. Plus le courant demandé sera grand, plus cette chute de tension sera importante.
Points de vigilance
Ne jamais confondre \(E\) et \(U_{PN}\). \(E\) est une caractéristique intrinsèque et constante du générateur (sa "force" maximale). \(U_{PN}\) est la conséquence de l'interaction entre le générateur et le circuit qu'il alimente, et elle varie avec le courant.
Points à retenir
La tension aux bornes d'un générateur en débit est toujours sa f.é.m. moins la chute de tension interne (\(r \cdot I\)).
Le saviez-vous ?
La capacité d'une batterie de voiture est donnée en Ampères-heures (Ah), mais sa performance dépend aussi de sa "capacité de démarrage à froid" (CCA), qui est directement liée à sa faible résistance interne. Une batterie avec un CCA élevé peut fournir un courant très fort (nécessaire au démarrage) sans que sa tension ne s'effondre.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la tension aux bornes d'un autre générateur (\(E=12\)V, \(r=1\) Ω) est de 11 V, quel courant débite-t-il ?
Question 3 : Calculer la puissance utile \(P_{\text{u}}\)
Principe
La puissance utile \(P_{\text{u}}\) est la puissance électrique effectivement consommée par le circuit extérieur (ici, la résistance de charge \(R\)). C'est l'énergie par seconde qui est convertie en une autre forme (chaleur dans ce cas) par la charge, réalisant le travail pour lequel le circuit a été conçu.
Mini-Cours
La puissance électrique (\(P\)) consommée par un dipôle est le produit de la tension à ses bornes (\(U\)) par le courant qui le traverse (\(I\)). Pour la résistance de charge \(R\), la tension à ses bornes est \(U_{PN}\). On a donc \(P_{\text{u}} = U_{PN} \cdot I\). En utilisant la loi d'Ohm \(U_{PN} = R \cdot I\), on peut aussi écrire la formule \(P_{\text{u}} = (R \cdot I) \cdot I = R \cdot I^2\).
Remarque Pédagogique
Pensez à "utile" comme "utilisé par l'extérieur". C'est la puissance qui alimente votre appareil. Tout le reste est soit stocké, soit perdu. Dans un simple circuit résistif, toute la puissance utile est transformée en chaleur.
Normes
La puissance nominale indiquée sur les appareils électriques (par exemple, "100 W" sur une ampoule) correspond à la puissance utile qu'ils consomment dans des conditions normales d'utilisation (tension nominale).
Formule(s)
Formule de la puissance utile (avec tension)
Formule de la puissance utile (avec résistance)
Hypothèses
Les hypothèses générales du circuit s'appliquent. On utilise les valeurs de \(I\) et \(U_{PN}\) calculées précédemment, supposées exactes.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension aux bornes | \(U_{PN}\) | 10,2 | V |
| Intensité du courant | \(I\) | 1,2 | A |
| Résistance de charge | \(R\) | 8,5 | Ω |
Astuces
Utiliser la formule \(P_{\text{u}} = U_{PN} \cdot I\) est souvent plus direct si vous venez de calculer \(U_{PN}\). Utiliser \(P_{\text{u}} = R \cdot I^2\) est préférable si vous n'avez besoin que du courant, car cela évite un calcul intermédiaire.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Calcul avec la tension et le courant
Vérification avec la résistance et le courant
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La résistance de charge dissipe 12,24 Joules par seconde sous forme de chaleur. C'est la puissance réellement exploitée par le circuit extérieur.
Points de vigilance
Faites attention à bien utiliser la tension aux bornes de la charge (\(U_{PN}\)), et non la f.é.m. (\(E\)) pour ce calcul. Utiliser \(E\) est une erreur très courante qui revient à ignorer la chute de tension interne.
Points à retenir
La puissance utile est celle consommée par la charge externe. Elle se calcule avec la tension aux bornes de cette charge et le courant qui la traverse.
Le saviez-vous ?
Les premiers éclairages électriques, comme l'ampoule à incandescence de Thomas Edison, étaient des applications directes de ce principe. Toute la puissance utile était convertie en chaleur dans un filament, le portant à incandescence et produisant de la lumière. Le rendement lumineux était cependant très faible !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un courant de 2 A traverse une résistance de 5 Ω. Quelle est la puissance utile dissipée ?
Question 4 : Calculer la puissance perdue \(P_{\text{j}}\)
Principe
La puissance perdue, \(P_{\text{j}}\), représente l'énergie par seconde qui est inévitablement convertie en chaleur à l'intérieur du générateur à cause de sa résistance interne \(r\). Cette puissance n'est pas disponible pour le circuit extérieur et constitue une perte d'efficacité.
Mini-Cours
Cette perte est une manifestation de l'effet Joule. La loi de Joule stipule que la puissance dissipée en chaleur dans une résistance est proportionnelle au carré de l'intensité du courant qui la traverse. Comme cette perte se produit dans la résistance interne \(r\), la formule est \(P_{\text{j}} = r \cdot I^2\). On peut aussi la voir comme le produit de la chute de tension interne (\(U_r = r \cdot I\)) par le courant : \(P_{\text{j}} = U_r \cdot I = (rI)I = rI^2\).
Remarque Pédagogique
Visualisez la résistance interne comme un petit radiateur caché à l'intérieur de la batterie. Plus vous lui demandez de courant, plus ce radiateur chauffe, et moins il reste d'énergie pour votre appareil. C'est pourquoi le téléphone chauffe quand on joue à un jeu gourmand.
Normes
La gestion thermique est cruciale en ingénierie. Les normes de sécurité imposent des limites de température pour les composants. Le calcul de \(P_j\) est la première étape pour dimensionner les systèmes de refroidissement (radiateurs, ventilateurs) nécessaires pour évacuer cette chaleur.
Formule(s)
Formule de la puissance perdue par effet Joule
Hypothèses
Les hypothèses générales du circuit s'appliquent. On utilise le courant \(I\) calculé à la question 1.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance interne | \(r\) | 1,5 | Ω |
| Intensité du courant | \(I\) | 1,2 | A |
Astuces
Le carré dans la formule \(r \cdot I^2\) signifie que les pertes augmentent très vite avec le courant. Doubler le courant ne double pas les pertes, il les quadruple ! C'est un point clé pour comprendre l'importance de limiter les courants forts.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
2,16 Joules sont convertis en chaleur chaque seconde à l'intérieur du générateur. Cette énergie est perdue et ne sert pas à alimenter la charge. Si le générateur était mal ventilé, cette puissance ferait augmenter sa température.
Points de vigilance
Veillez à bien utiliser la résistance interne \(r\) et non la résistance de charge \(R\) dans cette formule. C'est la perte "interne" que l'on calcule ici.
Points à retenir
La puissance perdue dans un générateur est due à l'effet Joule dans sa résistance interne et est proportionnelle au carré du courant débité.
Le saviez-vous ?
L'effet Joule n'est pas toujours une perte. Il est le principe de fonctionnement de nombreux appareils : radiateurs électriques, grille-pains, fusibles... Dans un fusible, on utilise l'effet Joule pour faire fondre un fil et couper le circuit en cas de surintensité, protégeant ainsi le reste de l'installation.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un courant de 0.5 A traverse un générateur avec une résistance interne de 2 Ω. Quelle est la puissance perdue ?
Question 5 : Puissance totale \(P_{\text{tot}}\) et rendement \(\eta\)
Principe
La puissance totale \(P_{\text{tot}}\) est la somme de tout ce qui est produit : la partie utile et la partie perdue. Le rendement \(\eta\) est une mesure de l'efficacité du générateur, comparant ce qu'on obtient (utile) à ce que cela a coûté (total).
Mini-Cours
Le bilan de puissance est une application directe du principe de conservation de l'énergie : \(P_{\text{tot}} = P_{\text{u}} + P_{\text{j}}\). La puissance totale peut aussi être vue comme la puissance maximale que la f.é.m. peut développer : \(P_{\text{tot}} = E \cdot I\). Le rendement \(\eta\) (lettre grecque "eta") est un nombre sans dimension, compris entre 0 et 1 (ou 0% et 100%).
Remarque Pédagogique
Le calcul du rendement est un réflexe essentiel en ingénierie. Un rendement faible signifie beaucoup de pertes, souvent sous forme de chaleur, ce qui peut nécessiter des systèmes de refroidissement coûteux et complexes, en plus de gaspiller de l'énergie.
Normes
Les normes environnementales et d'économie d'énergie (comme la directive Ecodesign en Europe) imposent des rendements minimaux pour de nombreux types d'équipements, notamment les alimentations électriques, afin de limiter le gaspillage énergétique à l'échelle mondiale.
Formule(s)
Formules de la puissance totale
Formules du rendement
Hypothèses
Mêmes hypothèses que précédemment.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force électromotrice | \(E\) | 12 | V |
| Tension aux bornes | \(U_{PN}\) | 10,2 | V |
| Intensité du courant | \(I\) | 1,2 | A |
| Puissance utile | \(P_{\text{u}}\) | 12,24 | W |
| Puissance perdue | \(P_{\text{j}}\) | 2,16 | W |
Astuces
Le calcul du rendement via \(\eta = U_{PN} / E\) est souvent plus rapide et moins sujet aux erreurs de calcul en cascade, car il ne dépend que du résultat de la question 2, et non des questions 3 et 4.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de flux des puissances
Calcul(s)
Calcul de la puissance totale par bilan
Vérification de la puissance totale avec la f.é.m.
Calcul du rendement
Soit \(0,85 \times 100 = 85\%\).
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de flux des puissances
Réflexions
Un rendement de 85% signifie que pour 100 Joules d'énergie convertis par le générateur (par exemple, à partir de l'énergie chimique d'une batterie), 85 Joules sont fournis à l'appareil et 15 Joules sont perdus en chaleur dans la batterie elle-même.
Points de vigilance
Le rendement est un rapport de puissances (ou d'énergies), il est donc sans unité. Ne lui mettez pas une unité de Watt ! Assurez-vous également que la valeur est bien inférieure à 1 (ou 100%). Un rendement supérieur à 1 violerait le principe de conservation de l'énergie.
Points à retenir
Le bilan de puissance (\(P_{\text{tot}} = P_{\text{u}} + P_{\text{j}}\)) est un outil de vérification fondamental. Le rendement (\(\eta = P_{\text{u}} / P_{\text{tot}}\)) est l'indicateur clé de l'efficacité d'un convertisseur d'énergie.
Le saviez-vous ?
Le transport d'électricité sur de longues distances se fait à très haute tension (ex: 400 000 V) pour minimiser les pertes par effet Joule. Pour une même puissance transportée (\(P = U \cdot I\)), si on augmente la tension \(U\), on diminue le courant \(I\). Comme les pertes en ligne sont proportionnelles à \(I^2\) (les câbles ayant une résistance \(r_{\text{ligne}}\)), la réduction des pertes est drastique.
FAQ
Résultat Final
La puissance totale fournie par le générateur est de 14,4 W et son rendement est de 85 %.
A vous de jouer
Si un générateur (\(E=9\)V) a une tension à ses bornes de 8V, quel est son rendement ?
Outil Interactif : Simulateur de Générateur
Utilisez les curseurs pour modifier la résistance de charge \(R\) et la résistance interne \(r\) du générateur. Observez comment le courant, la tension aux bornes et le rendement sont affectés. Le graphique montre la caractéristique externe du générateur (\(U_{PN}\) en fonction de \(I\)).
Paramètres d'Entrée (\(E = 12\) V)
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La force électromotrice (f.é.m.) d'un générateur représente :
2. Lorsque le courant débité par un générateur réel augmente, sa tension aux bornes :
3. La résistance interne d'un générateur est responsable :
4. Le rendement d'un générateur est maximal lorsque :
5. L'unité de la puissance électrique est le :
Glossaire
- Force électromotrice (f.é.m.)
- Notée \(E\) et exprimée en Volts (V). C'est la tension aux bornes d'un générateur lorsqu'il ne débite aucun courant (circuit ouvert). Elle représente l'énergie maximale par unité de charge que le générateur peut fournir.
- Résistance interne
- Notée \(r\) et exprimée en Ohms (Ω). C'est la résistance propre aux matériaux constituant le générateur. Elle cause une dissipation d'énergie interne (chaleur) et une chute de tension dès que le générateur débite un courant.
- Tension aux bornes
- Notée \(U_{PN}\) et exprimée en Volts (V). C'est la tension réellement mesurable entre les bornes P (positive) et N (négative) du générateur lorsqu'il est en fonctionnement (débite un courant).
- Effet Joule
- Phénomène par lequel le passage d'un courant électrique dans un conducteur produit de la chaleur. La puissance dissipée est donnée par \(P_{\text{j}} = R \cdot I^2\).
- Rendement
- Noté \(\eta\). C'est le rapport de la puissance utile (fournie au circuit extérieur) sur la puissance totale (générée). Il mesure l'efficacité de la conversion d'énergie du générateur.
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