Circuits Électriques

Méthode des Courants de Maille

Méthode des Courants de Maille

Méthode des Courants de Maille

Contexte : L'analyse des circuits en régime sinusoïdal.

La méthode des courants de maille est un outil puissant de l'électrocinétique, basé sur la loi des tensions de Kirchhoff. Elle permet de résoudre systématiquement des circuits complexes, en particulier en régime sinusoïdal où les grandeurs (tensions, courants) sont représentées par des phaseursNombre complexe représentant l'amplitude et la phase d'une sinusoïde. Il simplifie l'analyse des circuits en régime sinusoïdal. et les composants par leurs impédancesGénéralisation de la résistance aux circuits en régime sinusoïdal. C'est un nombre complexe qui représente l'opposition d'un composant au passage d'un courant alternatif. complexes. Cet exercice vous guidera dans l'analyse complète d'un circuit RLC à deux mailles.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à transformer un schéma de circuit en un système d'équations linéaires à coefficients complexes. Vous maîtriserez le calcul des impédances, la pose correcte des équations de maille, et la résolution mathématique pour trouver les courants inconnus, une compétence fondamentale pour tout ingénieur électricien ou électronicien.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les mailles indépendantes d'un circuit.
  • Calculer les impédances complexes d'une résistance, d'une bobine et d'un condensateur.
  • Appliquer la Loi des Tensions de KirchhoffAussi appelée Loi des Mailles. Elle stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) est nulle. en notation complexe.
  • Mettre en forme et résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode matricielle.
  • Interpréter les résultats complexes (courants de maille) pour trouver des grandeurs physiques (tension, courant dans une branche).

Données de l'étude

On étudie le circuit RLC ci-dessous, alimenté par deux sources de tension sinusoïdales de même pulsation \(\omega\). L'objectif est de déterminer les courants de maille \( \underline{I_1} \) et \( \underline{I_2} \) et d'en déduire la tension aux bornes de la résistance \(R_2\).

Schéma du Circuit Électrique
V₁ R₁ R₂ L₁ V₂ C₁ I₁ I₂
Vue 3D interactive du Circuit
Paramètre Notation Valeur Unité
Source de tension 1 \(v_1(t)\) \(10 \cos(\omega t)\) V
Source de tension 2 \(v_2(t)\) \(5 \cos(\omega t + 90^\circ)\) V
Fréquence \(f\) 50 Hz
Résistance 1 \(R_1\) 10 \(\Omega\)
Résistance 2 (commune) \(R_2\) 5 \(\Omega\)
Inductance 1 \(L_1\) 20 mH
Capacité 1 \(C_1\) 500 \(\mu\text{F}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation \(\omega\) et les impédances complexes \( \underline{Z} \) de chaque composant.
  2. Écrire les deux équations de maille pour les courants \( \underline{I_1} \) et \( \underline{I_2} \).
  3. Mettre le système d'équations sous forme matricielle \( [\underline{V}] = [\underline{Z}] \cdot [\underline{I}] \).
  4. Résoudre le système pour trouver les phaseurs des courants de maille \( \underline{I_1} \) et \( \underline{I_2} \).
  5. Calculer le phaseur de la tension \( \underline{V}_{R2} \) aux bornes de la résistance \(R_2\).

Les bases de la méthode des mailles en régime sinusoïdal

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux de l'analyse de circuits.

1. Impédances Complexes
En régime sinusoïdal, on remplace chaque composant par son impédance complexe \(\underline{Z}\), qui généralise la notion de résistance :

  • Résistance R : \( \underline{Z}_R = R \) (réelle pure)
  • Bobine L : \( \underline{Z}_L = j L \omega \) (imaginaire pure positive)
  • Condensateur C : \( \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = -j\frac{1}{C\omega} \) (imaginaire pure négative)
Où \( \omega = 2\pi f \) est la pulsation en rad/s.

2. Loi des Tensions de Kirchhoff (Loi des Mailles)
Cette loi fondamentale stipule que la somme algébrique des tensions complexes le long d'une maille fermée est nulle. \[ \sum_{k} \underline{V}_k = 0 \] Pour la méthode des mailles, on l'écrit sous la forme : "Somme des f.é.m. = Somme des chutes de tension". \[ \sum \underline{E}_k = \sum \underline{Z}_k \underline{I}_k \]

3. Écriture Systématique
Pour une maille 'k', l'équation s'écrit : \[ \underline{E}_k = \underline{I}_k \cdot (\sum \underline{Z}_{\text{propres à k}}) - \sum_{m \neq k} \underline{I}_m \cdot (\sum \underline{Z}_{\text{communes entre k et m}}) \] Le signe '-' s'applique si les courants de maille \(\underline{I}_k\) et \(\underline{I}_m\) parcourent l'impédance commune en sens opposé.

Correction : Méthode des Courants de Maille

Question 1 : Calculer la pulsation et les impédances complexes

Principe (le concept physique)

La première étape consiste à quitter le domaine temporel pour le domaine fréquentiel (ou symbolique). On calcule la pulsation \(\omega\) à partir de la fréquence \(f\), puis on transforme chaque composant passif (R, L, C) en son impédance complexe correspondante. Les sources de tension sont transformées en leurs phaseurs.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La notation \(j\omega\) est au cœur de l'analyse en régime sinusoïdal. Elle vient du fait que la dérivation dans le temps, \(d/dt\), d'un signal \(e^{j\omega t}\) équivaut à une multiplication par \(j\omega\). Comme les tensions aux bornes des bobines (\(v=L \cdot di/dt\)) et condensateurs (\(i=C \cdot dv/dt\)) impliquent des dérivées, cette propriété transforme les équations différentielles en simples équations algébriques.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Soyez méticuleux avec les unités ! La fréquence doit être en Hertz (Hz), les capacités en Farads (F) et les inductances en Henrys (H). Une erreur de conversion (par exemple, oublier le \(10^{-3}\) pour les millihenrys) est une source d'erreur très fréquente qui faussera tous les calculs suivants.

Normes (la référence réglementaire)

La fréquence de 50 Hz est une norme pour les réseaux de distribution électrique dans de nombreuses régions du monde, dont l'Europe, définie par des standards comme l'IEC 60038. En Amérique du Nord, la norme est de 60 Hz, ce qui changerait la valeur de toutes les impédances réactives.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pulsation :

\[ \omega = 2 \pi f \]

Impédances :

\[ \underline{Z}_R = R \]
\[ \underline{Z}_L = jL\omega \]
\[ \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = -j\frac{1}{C\omega} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que tous les composants sont idéaux : les résistances sont purement résistives, les bobines purement inductives et les condensateurs purement capacitifs, sans pertes ni effets parasites.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(f = 50 \, \text{Hz}\)
  • \(R_1 = 10 \, \Omega\) ; \(R_2 = 5 \, \Omega\)
  • \(L_1 = 20 \, \text{mH} = 20 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
  • \(C_1 = 500 \, \mu\text{F} = 500 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les calculs rapides, retenez que pour 50 Hz, \(\omega \approx 314\) rad/s, et pour 60 Hz, \(\omega \approx 377\) rad/s. Cela permet de faire une estimation mentale rapide de l'ordre de grandeur des impédances.

Schéma (Avant les calculs)
Composants dans le domaine temporel
R = 10ΩL = 20mHC = 500µFf = 50Hz
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la pulsation :

\[ \begin{aligned} \omega &= 2 \pi f \\ &= 2 \pi \times 50 \\ &\approx 314.16 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]

2. Calcul des impédances :

\[ \underline{Z}_{\text{R1}} = 10 \, \text{Ω} \]
\[ \underline{Z}_{\text{R2}} = 5 \, \text{Ω} \]
\[ \begin{aligned} \underline{Z}_{\text{L1}} &= j \times (20 \times 10^{-3}) \times 314.16 \\ &= j6.28 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \underline{Z}_{\text{C1}} &= -j \frac{1}{(500 \times 10^{-6}) \times 314.16} \\ &= -j6.37 \, \text{Ω} \end{aligned} \]

3. Transformation des sources en phaseurs :

\[ \underline{V}_1 = 10 \angle 0^\circ \Rightarrow 10 \, \text{V} \]
\[ \underline{V}_2 = 5 \angle 90^\circ \Rightarrow j5 \, \text{V} \]
Schéma (Après les calculs)
Composants dans le domaine fréquentiel
Z_R1 = 10ΩZ_R2 = 5ΩZ_L1 ≈ j6.28ΩZ_C1 ≈ -j6.37Ω
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La transformation est réussie. Le circuit est maintenant décrit par des nombres complexes. Le signe positif de la partie imaginaire de \(Z_{L1}\) indique son caractère inductif (la tension est en avance sur le courant), tandis que le signe négatif de \(Z_{C1}\) indique son caractère capacitif (le courant est en avance sur la tension).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne confondez pas le phaseur d'une source \(V \cos(\omega t + \phi)\), qui est \(V \angle \phi\), avec l'impédance d'un composant. Les sources deviennent des constantes (le vecteur \([\underline{V}]\)), tandis que les composants R, L, C deviennent les coefficients du système (la matrice \([\underline{Z}]\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le passage en régime sinusoïdal se fait via le calcul de la pulsation \(\omega = 2\pi f\).
  • Chaque composant passif R, L, C est remplacé par son impédance complexe \(\underline{Z}\).
  • Les sources sinusoïdales sont remplacées par leurs phaseurs (amplitude et phase).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La méthode des phaseurs et des impédances complexes a été largement développée par Charles Proteus Steinmetz, un ingénieur de General Electric à la fin du 19ème siècle. Son travail a transformé l'analyse des circuits en courant alternatif, la rendant accessible aux ingénieurs sans nécessiter la résolution constante d'équations différentielles complexes.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'impédance d'une résistance est-elle un nombre réel ?

Parce qu'une résistance idéale ne déphase pas le courant par rapport à la tension. La tension et le courant sont toujours en phase, ce qui se traduit par un angle de phase de 0°. Une impédance \(Z = R \angle 0^\circ\) est simplement le nombre réel R.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les impédances sont : \( \underline{Z}_{\text{R1}} = 10 \, \text{Ω} \), \( \underline{Z}_{\text{R2}} = 5 \, \text{Ω} \), \( \underline{Z}_{\text{L1}} \approx j6.28 \, \text{Ω} \), \( \underline{Z}_{\text{C1}} \approx -j6.37 \, \text{Ω} \). Les sources sont \( \underline{V}_1 = 10 \, \text{V} \) et \( \underline{V}_2 = j5 \, \text{V} \).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait l'impédance de la bobine L₁ si la fréquence était de 60 Hz ? (Réponse en \(\text{Ω}\), sans le 'j')

Question 2 : Écrire les deux équations de maille

Principe (le concept physique)

On applique la loi des tensions de Kirchhoff à chaque maille indépendante. Pour chaque maille, on somme les tensions des générateurs (en les comptant positivement si elles sont dans le sens du courant de maille) et on l'égale à la somme des chutes de tension aux bornes des impédances de cette maille.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La loi des mailles est une expression de la conservation de l'énergie. Elle stipule que si une charge électrique effectue un tour complet d'une boucle, son énergie potentielle doit revenir à sa valeur initiale. Les sources de tension augmentent son énergie, tandis que les chutes de tension aux bornes des impédances la diminuent. La somme nette de ces variations d'énergie sur une boucle est nulle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le point le plus délicat est la gestion des impédances communes. La tension aux bornes d'une impédance commune (ici \(R_2\)) est influencée par les courants des deux mailles qui la traversent. Il faut bien soustraire l'effet du courant de la maille voisine. Adoptez une méthode systématique et vous ne vous tromperez jamais.

Normes (la référence réglementaire)

La loi des tensions de Kirchhoff n'est pas une norme mais une loi physique fondamentale de l'électromagnétisme, dérivée de l'équation de Maxwell-Faraday en régime quasi-stationnaire. Elle est la base de toutes les méthodes d'analyse de circuits (nœuds, mailles, Thévenin, Norton).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi des mailles appliquée :

\[ \sum_{\text{maille}} \underline{E}_{\text{sources}} = \sum_{\text{maille}} \underline{Z} \cdot \underline{I} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les fils de connexion ont une impédance nulle. Les courants de maille \(\underline{I_1}\) et \(\underline{I_2}\) sont définis arbitrairement dans le sens horaire, ce qui est une convention courante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Impédances calculées à la question 1.
  • Phaseurs des sources de tension.
  • Sens des courants de maille défini sur le schéma.
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour l'impédance commune, au lieu de penser "courant total", écrivez toujours la chute de tension comme "(Impédance commune) x (Courant de ma maille - Courant de la maille voisine)". Cela établit directement le bon signe pour la forme matricielle.

Schéma (Avant les calculs)
Focalisation sur les mailles et les tensions
Maille 1Maille 2ΣV = 0 ?ΣV = 0 ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Maille 1 (courant \( \underline{I_1} \)) :

\[ \underline{V}_1 = \underline{I_1} \cdot \underline{Z}_{\text{R1}} + (\underline{I_1} - \underline{I_2}) \cdot \underline{Z}_{\text{R2}} \]

En regroupant les termes en \( \underline{I_1} \) et \( \underline{I_2} \) :

\[ \underline{V}_1 = \underline{I_1} (\underline{Z}_{\text{R1}} + \underline{Z}_{\text{R2}}) - \underline{I_2} \cdot \underline{Z}_{\text{R2}} \quad \text{(Équation 1)} \]

Maille 2 (courant \( \underline{I_2} \)) :

Attention, le courant \( \underline{I_2} \) sort par la borne '-' de \(V_2\), la tension est donc comptée négativement.

\[ -\underline{V}_2 = (\underline{I_2} - \underline{I_1}) \cdot \underline{Z}_{\text{R2}} + \underline{I_2} \cdot \underline{Z}_{\text{L1}} + \underline{I_2} \cdot \underline{Z}_{\text{C1}} \]

En regroupant les termes :

\[ -\underline{V}_2 = -\underline{I_1} \cdot \underline{Z}_{\text{R2}} + \underline{I_2} (\underline{Z}_{\text{R2}} + \underline{Z}_{\text{L1}} + \underline{Z}_{\text{C1}}) \quad \text{(Équation 2)} \]
Schéma (Après les calculs)
Système d'équations résultant
Eq 1: V₁ = I₁(Z_R1 + Z_R2) - I₂(Z_R2)

Eq 2: -V₂ = -I₁(Z_R2) + I₂(Z_R2 + Z_L1 + Z_C1)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le problème physique de l'analyse de circuit a été transformé avec succès en un problème purement mathématique : la résolution d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues complexes. Chaque terme a une signification physique claire (impédance propre, impédance mutuelle).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le signe des sources de tension est crucial. Parcourez la maille dans le sens du courant : si vous entrez par la borne '-' et sortez par la borne '+', la tension de la source est positive. Si c'est l'inverse (comme pour \(V_2\) dans la maille 2), elle est négative.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La loi des mailles s'écrit : \(\sum \underline{E} = \sum (\underline{Z} \cdot \underline{I})\).
  • Pour l'impédance propre à une maille, on somme toutes les impédances de la boucle.
  • Pour l'impédance commune, on soustrait son effet si les courants de maille sont en sens opposés.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La méthode des courants de maille est une application de la "dualité" en théorie des circuits. Elle est la méthode duale de la méthode des potentiels de nœuds (basée sur la loi des courants de Kirchhoff). Un concept dans une méthode a son équivalent direct dans l'autre (maille \(\leftrightarrow\) nœud, tension \(\leftrightarrow\) courant, impédance \(\leftrightarrow\) admittance).

FAQ (pour lever les doutes)
Et s'il y avait une source de courant ?

Si une source de courant se trouve dans une branche non partagée, elle impose directement le courant de la maille. Si elle est dans une branche partagée, on utilise la technique de la "supermaille" : on crée une maille plus grande qui contourne la source de courant et on ajoute une équation reliant les deux courants de maille à la valeur de la source de courant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les équations de maille sont :
\( 10 = \underline{I_1} (10 + 5) - \underline{I_2} (5) \)
\( -j5 = -\underline{I_1} (5) + \underline{I_2} (5 + j6.28 - j6.37) \)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sens du courant \(\underline{I_2}\) était inversé (anti-horaire), quel serait le signe du terme \(\underline{I_2} \cdot \underline{Z}_{\text{R2}}\) dans l'équation 1 ?

Question 3 : Mettre le système sous forme matricielle

Principe (le concept physique)

La forme matricielle est une manière compacte et systématique de représenter un système d'équations linéaires. Elle est particulièrement utile pour la résolution, que ce soit à la main (avec les déterminants) ou par ordinateur. La matrice des impédances est toujours symétrique si les courants de maille sont tous choisis dans le même sens (horaire ou anti-horaire).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La matrice \([\underline{Z}]\) est appelée "matrice des impédances de maille". Les termes sur la diagonale (\(\underline{Z}_{kk}\)) sont les "impédances propres" de chaque maille (la somme de toutes les impédances dans la maille k). Les termes hors diagonale (\(\underline{Z}_{km}\)) sont les "impédances mutuelles", représentant l'opposé de la somme des impédances communes aux mailles k et m.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La mise en forme matricielle est une excellente façon de vérifier votre travail. Si votre matrice \([\underline{Z}]\) n'est pas symétrique (c'est-à-dire si \(\underline{Z}_{12} \neq \underline{Z}_{21}\)), vous avez très probablement fait une erreur en posant vos équations de maille. C'est un point de contrôle très puissant.

Normes (la référence réglementaire)

L'algèbre linéaire et la notation matricielle sont des outils mathématiques universels. Leur application à l'analyse de circuits est une pratique standard dans tous les domaines de l'ingénierie électrique et est à la base du fonctionnement de tous les logiciels de simulation de circuits comme SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Forme matricielle générale pour 2 mailles :

\[ \begin{pmatrix} \sum \underline{E}_1 \\ \sum \underline{E}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{Z}_{11} & \underline{Z}_{12} \\ \underline{Z}_{21} & \underline{Z}_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \underline{I_1} \\ \underline{I_2} \end{pmatrix} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Le circuit est supposé être Linéaire, Invariant dans le Temps (LTI). C'est cette propriété qui garantit que nous pouvons le représenter par un système d'équations linéaires et donc par une matrice.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Équation 1 : \( 10 = 15 \underline{I_1} - 5 \underline{I_2} \)
  • Équation 2 : \( -j5 = -5 \underline{I_1} + (5 - j0.09) \underline{I_2} \)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vous pouvez construire la matrice \([\underline{Z}]\) directement à partir du schéma sans même écrire les équations complètes : \(\underline{Z}_{11}\) = somme des Z dans la maille 1. \(\underline{Z}_{22}\) = somme des Z dans la maille 2. \(\underline{Z}_{12} = \underline{Z}_{21}\) = - (somme des Z communs aux deux mailles).

Schéma (Avant les calculs)
Organisation des termes
Vecteur Sources [V]V₁, -V₂Matrice Impédances [Z]Z₁₁, Z₁₂, Z₂₁, Z₂₂
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule les termes des impédances propres et mutuelles :

\[ \begin{aligned} \underline{Z}_{11} &= \underline{Z}_{\text{R1}} + \underline{Z}_{\text{R2}} \\ &= 10 + 5 \\ &= 15 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \underline{Z}_{22} &= \underline{Z}_{\text{R2}} + \underline{Z}_{\text{L1}} + \underline{Z}_{\text{C1}} \\ &= 5 + j6.28 - j6.37 \\ &= (5 - j0.09) \, \text{Ω} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \underline{Z}_{12} = \underline{Z}_{21} &= -\underline{Z}_{\text{R2}} \\ &= -5 \, \text{Ω} \end{aligned} \]

La forme matricielle \( [\underline{V}] = [\underline{Z}] \cdot [\underline{I}] \) est donc :

\[ \begin{pmatrix} 10 \\ -j5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & -5 \\ -5 & 5 - j0.09 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \underline{I_1} \\ \underline{I_2} \end{pmatrix} \]
Schéma (Après les calculs)
Système Matriciel Final
[V] = [Z] * [I]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La matrice \([\underline{Z}]\) encapsule entièrement la topologie et la nature des composants du circuit. Le vecteur \([\underline{V}]\) représente les excitations externes. La solution, le vecteur \([\underline{I}]\), sera la réponse du circuit à ces excitations. Cette séparation claire est l'un des grands avantages de l'approche matricielle.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est le signe des termes mutuels (\(\underline{Z}_{12}\), \(\underline{Z}_{21}\)). Ils sont négatifs car les courants \(\underline{I_1}\) et \(\underline{I_2}\) traversent l'impédance commune \(\underline{Z}_{\text{R2}}\) en sens opposés. Vérifiez aussi le signe des tensions dans le vecteur source.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La méthode des mailles produit un système d'équations qui se représente sous la forme \( [\underline{V}] = [\underline{Z}] \cdot [\underline{I}] \).
  • Les termes diagonaux de \([\underline{Z}]\) sont les impédances propres (somme des Z dans la maille).
  • Les termes hors-diagonale sont l'opposé des impédances mutuelles (communes).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'algèbre matricielle, introduite au milieu du 19ème siècle par des mathématiciens comme Arthur Cayley, a été considérée comme une curiosité abstraite pendant des décennies. Ce n'est qu'au 20ème siècle, avec l'avènement de la mécanique quantique et de l'ingénierie moderne, que sa puissance pour modéliser des systèmes complexes a été pleinement réalisée.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette méthode fonctionne-t-elle pour 3 mailles ou plus ?

Absolument. Pour un circuit à N mailles, on obtient un système matriciel de taille N x N. La méthode de construction de la matrice \([\underline{Z}]\) reste la même : les termes diagonaux \(\underline{Z}_{kk}\) sont les impédances propres, et les termes hors-diagonale \(\underline{Z}_{km}\) sont l'opposé des impédances communes aux mailles k et m.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le système matriciel est : \( \begin{pmatrix} 10 \\ -j5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & -5 \\ -5 & 5 - j0.09 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \underline{I_1} \\ \underline{I_2} \end{pmatrix} \).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on ajoutait une résistance \(R_3 = 2\Omega\) en série avec \(L_1\), quelle serait la nouvelle valeur de \(\underline{Z}_{22}\) ? (Format: a+jb)

Question 4 : Résoudre pour trouver les courants de maille

Principe (le concept physique)

On résout le système matriciel pour trouver les inconnues \( \underline{I_1} \) et \( \underline{I_2} \). La méthode de Cramer, utilisant les déterminants, est bien adaptée pour les systèmes 2x2. Elle nécessite de calculer le déterminant principal de la matrice des impédances, puis les déterminants pour chaque courant.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode de Cramer est une conséquence directe des propriétés de l'algèbre linéaire. Le déterminant principal, \(\Delta_Z\), représente une sorte de "facteur d'échelle" global du système. S'il est nul, cela signifie que les équations sont linéairement dépendantes (l'une est un multiple de l'autre) et que le circuit n'a pas de solution unique (il peut être instable ou redondant).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La manipulation des nombres complexes est la principale source d'erreurs ici. Prenez votre temps et utilisez une calculatrice qui gère nativement les formes rectangulaires (a+jb) et polaires (M∠φ). La conversion entre les deux formes est essentielle : addition/soustraction en rectangulaire, multiplication/division en polaire.

Normes (la référence réglementaire)

Bien que la méthode soit mathématique, les résultats doivent être conformes à la norme IEEE 754 pour l'arithmétique à virgule flottante, qui garantit que les calculs effectués sur différentes machines (calculatrices, ordinateurs) donnent des résultats cohérents et prévisibles en termes de précision et d'arrondi.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Méthode de Cramer :

\[ \underline{I_1} = \frac{\Delta_1}{\Delta_Z} = \frac{\begin{vmatrix} \underline{V_1} & \underline{Z}_{12} \\ \underline{V_2} & \underline{Z}_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \underline{Z}_{11} & \underline{Z}_{12} \\ \underline{Z}_{21} & \underline{Z}_{22} \end{vmatrix}} \]
\[ \underline{I_2} = \frac{\Delta_2}{\Delta_Z} = \frac{\begin{vmatrix} \underline{Z}_{11} & \underline{V_1} \\ \underline{Z}_{21} & \underline{V_2} \end{vmatrix}}{\Delta_Z} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le déterminant principal \( \Delta_Z \) est non nul, ce qui est le cas pour tout circuit passif physiquement réalisable avec des sources indépendantes. Cela garantit l'existence d'une solution unique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Matrice \([\underline{Z}] = \begin{pmatrix} 15 & -5 \\ -5 & 5 - j0.09 \end{pmatrix}\)
  • Vecteur \([\underline{V}] = \begin{pmatrix} 10 \\ -j5 \end{pmatrix}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Lors de la division de nombres complexes en forme polaire \(\frac{M_1 \angle \phi_1}{M_2 \angle \phi_2}\), il suffit de diviser les modules et de soustraire les angles : \(\frac{M_1}{M_2} \angle (\phi_1 - \phi_2)\). C'est beaucoup plus rapide que de multiplier par le conjugué en forme rectangulaire.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul des déterminants
Δz = ?Δ₁ = ?Δ₂ = ?Résolution
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Déterminant principal \( \Delta_Z \) :

\[ \begin{aligned} \Delta_Z &= (15)(5 - j0.09) - (-5)(-5) \\ &= 75 - j1.35 - 25 \\ &= 50 - j1.35 \end{aligned} \]

2. Déterminant \( \Delta_1 \) pour \( \underline{I_1} \) :

\[ \begin{aligned} \Delta_1 &= (10)(5 - j0.09) - (-5)(-j5) \\ &= 50 - j0.9 - j25 \\ &= 50 - j25.9 \end{aligned} \]

3. Déterminant \( \Delta_2 \) pour \( \underline{I_2} \) :

\[ \begin{aligned} \Delta_2 &= (15)(-j5) - (10)(-5) \\ &= -j75 + 50 \\ &= 50 - j75 \end{aligned} \]

4. Calcul des courants (forme rectangulaire puis polaire) :

\[ \begin{aligned} \underline{I_1} &= \frac{50 - j25.9}{50 - j1.35} \\ &\approx \frac{56.28 \angle -27.4^\circ}{50.02 \angle -1.5^\circ} \\ &\approx 1.125 \angle -25.9^\circ \, \text{A} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \underline{I_2} &= \frac{50 - j75}{50 - j1.35} \\ &\approx \frac{90.14 \angle -56.3^\circ}{50.02 \angle -1.5^\circ} \\ &\approx 1.80 \angle -54.8^\circ \, \text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Phaseurs des courants de maille
I₁ ≈ 1.13 AI₂ ≈ 1.80 A
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les résultats sont des phaseurs. \( \underline{I_1} \) a une amplitude de 1.125 A et est en retard de phase de 25.9° par rapport à la source de référence \(V_1\). \( \underline{I_2} \) a une amplitude de 1.80 A et est en retard de phase de 54.8°. Ces deux nombres complexes contiennent toute l'information sur les courants sinusoïdaux dans chaque maille.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est de mal calculer le déterminant d'une matrice 2x2, \(ad-bc\). Faites particulièrement attention au signe du terme 'bc', surtout lorsque les termes sont déjà négatifs. Une double négation devient positive !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La méthode de Cramer est un moyen direct de résoudre les systèmes d'équations matriciels 2x2 ou 3x3.
  • La solution pour chaque courant est le rapport de deux déterminants complexes.
  • La conversion entre formes rectangulaire et polaire est essentielle pour effectuer les calculs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La méthode de Cramer, bien qu'élégante pour les petits systèmes, devient extrêmement inefficace sur le plan calculatoire pour les grands systèmes. Pour un système N x N, elle requiert de l'ordre de (N+1)! opérations. Les ordinateurs utilisent des méthodes bien plus rapides, comme l'élimination de Gauss, qui ne requièrent que de l'ordre de N³ opérations.

FAQ (pour lever les doutes)
Puis-je utiliser la méthode de substitution ?

Oui, pour un système 2x2, vous pouvez tout à fait isoler \(\underline{I_1}\) dans la première équation et le substituer dans la seconde. Le résultat sera identique. Cependant, l'approche matricielle est plus systématique et se généralise mieux à des circuits plus grands.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les courants de maille sont \( \underline{I_1} \approx 1.125 \angle -25.9^\circ \, \text{A} \) et \( \underline{I_2} \approx 1.80 \angle -54.8^\circ \, \text{A} \).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la source \(\underline{V}_1\) était nulle (0V), quelle serait la nouvelle valeur de \(\Delta_1\) ? (Format: a+jb)

Question 5 : Calculer la tension aux bornes de R₂

Principe (le concept physique)

La tension aux bornes d'un composant est donnée par la loi d'Ohm en notation complexe : \( \underline{V} = \underline{Z} \cdot \underline{I} \). Le courant qui traverse réellement la résistance \(R_2\) est la différence des deux courants de maille, \( \underline{I}_{\text{R2}} = \underline{I_1} - \underline{I_2} \), car ils la parcourent en sens opposés.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le courant dans une branche partagée est toujours la superposition (la somme algébrique) des courants de maille qui la contiennent. C'est une conséquence directe du principe de superposition pour les circuits linéaires. Le courant de maille n'est qu'un outil de calcul ; le courant de branche est la grandeur physique réelle qui serait mesurée par un ampèremètre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'ordre de la soustraction est important. \(\underline{I_1} - \underline{I_2}\) représente le courant net traversant \(R_2\) de haut en bas. Si vous calculiez \(\underline{I_2} - \underline{I_1}\), vous trouveriez le courant de bas en haut, qui est simplement l'opposé du premier (même module, mais déphasé de 180°).

Normes (la référence réglementaire)

La loi d'Ohm, \(V=RI\), et sa généralisation complexe \( \underline{V} = \underline{Z}\underline{I} \), sont les relations constitutives les plus fondamentales pour les composants passifs linéaires en électrocinétique. Elles définissent le comportement tension-courant de ces éléments.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Courant dans la branche commune :

\[ \underline{I}_{\text{branche}} = \underline{I}_1 - \underline{I}_2 \]

Loi d'Ohm complexe :

\[ \underline{V}_{\text{R2}} = \underline{Z}_{\text{R2}} \cdot \underline{I}_{\text{branche}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On calcule la tension avec la convention récepteur, c'est-à-dire que la flèche de tension est opposée à la flèche du courant \(\underline{I}_{\text{R2}}\) (supposé de haut en bas). Le résultat \( \underline{V}_{\text{R2}} \) représente donc le potentiel du point haut moins le potentiel du point bas.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\underline{I_1} \approx 1.125 \angle -25.9^\circ \, \text{A}\)
  • \(\underline{I_2} \approx 1.80 \angle -54.8^\circ \, \text{A}\)
  • \(\underline{Z}_{\text{R2}} = 5 \, \text{Ω}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour soustraire les deux phaseurs, convertissez-les d'abord en forme rectangulaire. Une fois le courant de branche obtenu en forme rectangulaire, vous pouvez soit le multiplier directement par la résistance (qui est réelle), soit le reconvertir en polaire pour voir son amplitude et sa phase.

Schéma (Avant les calculs)
Courants dans la branche commune
R₂I₁I₂I_R2 = I₁ - I₂ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Convertir les courants en forme rectangulaire pour la soustraction :

\[ \begin{aligned} \underline{I_1} &\approx 1.125(\cos(-25.9^\circ) + j\sin(-25.9^\circ)) \\ &\approx (1.01 - j0.49) \, \text{A} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \underline{I_2} &\approx 1.80(\cos(-54.8^\circ) + j\sin(-54.8^\circ)) \\ &\approx (1.04 - j1.47) \, \text{A} \end{aligned} \]

2. Calculer le courant \( \underline{I}_{\text{R2}} \) :

\[ \begin{aligned} \underline{I}_{\text{R2}} &= \underline{I_1} - \underline{I_2} \\ &= (1.01 - j0.49) - (1.04 - j1.47) \\ &= (-0.03 + j0.98) \, \text{A} \end{aligned} \]

3. Calculer la tension \( \underline{V}_{\text{R2}} \) :

\[ \begin{aligned} \underline{V}_{\text{R2}} &= \underline{Z}_{\text{R2}} \cdot \underline{I}_{\text{R2}} \\ &= 5 \times (-0.03 + j0.98) \\ &= (-0.15 + j4.9) \, \text{V} \end{aligned} \]

En forme polaire :

\[ \underline{V}_{\text{R2}} \approx 4.90 \angle 91.75^\circ \, \text{V} \]
Schéma (Après les calculs)
Tension résultante sur R₂
V_R2 ≈ 4.9V ∠91.8°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La tension aux bornes de R₂ a une amplitude de 4.90 V et est en avance de phase de près de 91.75° par rapport à la source V₁. Cela signifie que dans le domaine temporel, \( v_{\text{R2}}(t) \approx 4.90 \cos(\omega t + 91.75^\circ) \). L'analyse complexe nous donne à la fois l'amplitude et la phase de la tension.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à l'ordre de la soustraction (\(\underline{I_1} - \underline{I_2}\) vs \(\underline{I_2} - \underline{I_1}\)), car cela inverse la phase du résultat. Le choix dépend de la polarité souhaitée pour le calcul de la tension. Définissez toujours la direction du courant et la polarité de la tension que vous calculez.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le courant réel dans une branche partagée est la somme (ou différence) algébrique des courants de maille qui la traversent.
  • La tension aux bornes d'un composant est toujours trouvée par la loi d'Ohm complexe : \( \underline{V} = \underline{Z} \cdot \underline{I}_{\text{branche}} \).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de déphasage est crucial dans les réseaux électriques. Un déphasage important entre la tension et le courant crée de la "puissance réactive", qui ne produit pas de travail utile mais contribue aux pertes dans les lignes de transport. Les fournisseurs d'électricité pénalisent les grandes industries qui ont un mauvais "facteur de puissance" et les obligent à installer des bancs de condensateurs pour compenser ce déphasage.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment puis-je réécrire le résultat dans le domaine temporel ?

C'est très simple. Un phaseur \( \underline{V} = M \angle \phi \) correspond à un signal sinusoïdal \( v(t) = M \cos(\omega t + \phi) \). Donc, pour notre résultat, on aurait \( v_{\text{R2}}(t) \approx 4.90 \cos(314.16 t + 91.75^\circ) \). L'angle doit être en radians si vous utilisez la fonction cosinus dans un logiciel, soit \(91.75 \times \pi / 180 \approx 1.6\) radians.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La tension aux bornes de la résistance \(R_2\) est \( \underline{V}_{\text{R2}} \approx 4.90 \angle 91.75^\circ \, \text{V} \).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le module de la tension \(\underline{V}_{\text{R2}}\) si le courant \(\underline{I}_{\text{R2}}\) était de \( (1+j1) \, \text{A} \) ?

Outil Interactif : Analyse fréquentielle

Modifiez la fréquence du circuit pour observer son comportement de filtre.

Paramètres d'Entrée
50 Hz
10 Ω
10 V
Résultats Clés (à la fréquence choisie)
Amplitude Courant |I₁| (A) -
Amplitude Courant |I₂| (A) -
Amplitude Tension |V_R2| (V) -

Le Saviez-Vous ?

Gustav Kirchhoff a formulé ses lois des circuits (loi des nœuds et loi des mailles) en 1845, alors qu'il n'était encore qu'un étudiant de 21 ans ! Ces lois, d'une simplicité et d'une puissance remarquables, sont restées le fondement de toute l'analyse des circuits électriques jusqu'à aujourd'hui.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utiliser les nombres complexes ?

Les nombres complexes permettent de coder deux informations en un seul nombre : l'amplitude (le module) et la phase (l'argument). En régime sinusoïdal, cela transforme les équations différentielles du domaine temporel en un simple système d'équations algébriques dans le domaine fréquentiel, ce qui simplifie énormément les calculs.

Que se passe-t-il si une maille n'a pas de source de tension ?

Si une maille ne contient aucune source de tension, la somme des f.é.m. pour cette maille est simplement zéro. L'équation de cette maille aura donc '0' du côté gauche de l'égalité.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'impédance d'un condensateur parfait...

2. Dans une matrice d'impédances de maille, le terme \( \underline{Z}_{kk} \) représente...

Impédance Complexe (\(\underline{Z}\))
Rapport du phaseur tension sur le phaseur courant pour un dipôle en régime sinusoïdal (\( \underline{Z} = \underline{V} / \underline{I} \)). Elle généralise la résistance et s'exprime en Ohms (\(\Omega\)).
Maille
Toute boucle fermée dans un circuit électrique. Une maille est dite indépendante si elle contient au moins une branche qui n'appartient à aucune autre maille choisie.
Loi des Tensions de Kirchhoff (KVL)
Aussi appelée Loi des Mailles. Elle stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) est nulle.
Méthode des Courants de Maille

D’autres exercices de régime sinusoÏdal:

Calcul du Courant Complexe
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Circuit RLC Série : Calcul du Courant Complexe Calcul du Courant Complexe Contexte : Le cœur des filtres et des oscillateurs en électronique. En électronique, l'analyse des circuits en régime sinusoïdal est fondamentale. Le circuit RLC série est un prototype essentiel...

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