Circuits Électriques

Modélisation d’un Haut-Parleur

Exercice : Impédance d'un Haut-Parleur

Modélisation d'un Haut-Parleur

Contexte : L'Impédance ComplexeL'impédance complexe (Z) est un nombre complexe (R + jX) qui généralise la notion de résistance aux circuits en régime sinusoïdal. Elle inclut la résistance (R) et la réactance (X)..

Un haut-parleur électrodynamique n'est pas une simple résistance. C'est un transducteur qui convertit un signal électrique en onde sonore. Son comportement électrique dépend fortement de la fréquence du signal d'entrée. Pour l'analyse de circuits, on le modélise souvent par une impédanceOpposition d'un circuit électrique au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. L'impédance est le module de l'impédance complexe. qui varie avec la fréquence. Un modèle simplifié, mais très courant pour l'analyse, est un circuit R-L-C série.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer l'impédance complexe d'un circuit R-L-C série, à déterminer le courant résultant en régime sinusoïdal, et à comprendre comment les différents composants (R, L, C) influencent la réponse en fréquence.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les réactances inductives (\(X_L\)) et capacitives (\(X_C\)) à une pulsation donnée.
  • Déterminer l'impédance complexe totale (\(Z\)) sous forme rectangulaire et polaire.
  • Appliquer la loi d'Ohm en régime sinusoïdal pour trouver le courant (phasor et temporel).
  • Comprendre la notion de circuit inductif ou capacitif selon la fréquence.

Données de l'étude

On modélise un haut-parleur par un circuit R-L-C série simple. Ce circuit est alimenté par une source de tension sinusoïdale \(v(t)\). Nous allons analyser le comportement de ce circuit à une pulsation spécifique.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Modèle du Haut-Parleur Circuit R-L-C Série
Type d'analyse Régime sinusoïdal permanent
Objectif Calculer le courant \(i(t)\)
Schéma du Modèle RLC Série
v(t) R L C i(t)
Composant Symbole Valeur Unité
Résistance \(R\) 8 \(\Omega\)
Inductance \(L\) 2 mH
Capacité \(C\) 150 \(\mu\)F
Tension d'entrée \(v(t)\) \(10 \cos(1000t)\) V

Questions à traiter

  1. Calculer la réactance inductive \(X_L\) à la pulsation \(\omega = 1000\) rad/s.
  2. Calculer la réactance capacitive \(X_C\) à la pulsation \(\omega = 1000\) rad/s.
  3. Déterminer l'impédance complexe totale \(Z\) du circuit sous forme rectangulaire (\(Z = R + jX\)).
  4. Calculer le module \(|Z|\) et la phase \(\phi\) de l'impédance (forme polaire \(Z = |Z|\angle\phi\)).
  5. En déduire l'expression temporelle du courant \(i(t)\) circulant dans le haut-parleur.

Les bases de l'analyse en régime sinusoïdal

Pour analyser les circuits en régime sinusoïdal permanent (AC), on utilise la notion d'impédance complexe. Elle permet de traiter les inductances et les capacités comme des "résistances complexes" et d'appliquer une version généralisée de la loi d'Ohm.

1. L'Impédance Complexe (\(Z\))
L'impédance \(Z\) est un nombre complexe qui représente l'opposition au courant. Sa partie réelle est la résistance \(R\) et sa partie imaginaire est la réactancePartie imaginaire (X) de l'impédance complexe. Elle représente l'opposition au courant due aux éléments capacitifs et inductifs. \(X\). \(Z = R + jX\).

  • Résistance : \(Z_R = R\)
  • Inductance : \(Z_L = jL\omega\) (Réactance \(X_L = L\omega\))
  • Capacité : \(Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -j\frac{1}{C\omega}\) (Réactance \(X_C = -\frac{1}{C\omega}\))
Pour des composants en série, les impédances s'ajoutent : \(Z_{\text{eq}} = Z_1 + Z_2 + \dots\)

2. Loi d'Ohm Complexe et Phasors
On représente les tensions et courants sinusoïdaux par des phasorsUn nombre complexe (amplitude + phase) qui représente une grandeur sinusoïdale à une fréquence donnée. Permet de simplifier les calculs AC. (nombres complexes). Si \(v(t) = |V| \cos(\omega t + \theta)\), son phasor est \(V = |V|\angle\theta\). La loi d'Ohm devient : \(V = Z \cdot I\). On peut donc trouver le phasor du courant : \(I = \frac{V}{Z}\). Si \(Z = |Z|\angle\phi\), alors \(I = \frac{|V|\angle\theta}{|Z|\angle\phi} = \frac{|V|}{|Z|}\angle(\theta - \phi)\). On repasse ensuite à l'expression temporelle : \(i(t) = \frac{|V|}{|Z|} \cos(\omega t + \theta - \phi)\).

Correction : Modélisation d'un Haut-Parleur

Question 1 : Calculer la réactance inductive \(X_L\) à la pulsation \(\omega = 1000\) rad/s.

Principe

Le but ici est de trouver l'opposition spécifique que la bobine (l'inductance \(L\)) oppose au passage du courant alternatif. Cette opposition, appelée "réactance inductive" (\(X_L\)), n'est pas fixe comme une résistance ; elle dépend de la fréquence du signal.

Mini-Cours

En régime sinusoïdal, une inductance \(L\) a une impédance \(Z_L = jL\omega\). La partie imaginaire, \(X_L = L\omega\), est la réactance. Elle est positive, signifiant que la tension aux bornes de l'inductance est en avance de 90° (\(\pi/2\)) sur le courant qui la traverse.

Remarque Pédagogique

Pensez à l'inductance comme à une "inertie" pour le courant. Plus la fréquence (\(\omega\)) est élevée, plus le courant essaie de changer rapidement, et plus l'inductance s'y oppose. C'est pourquoi \(X_L\) augmente avec \(\omega\).

Normes

Les calculs d'impédance sont standardisés par la Commission Électrotechnique Internationale (CEI). L'utilisation de \(j\) (ou \(i\) en mathématiques) pour l'opérateur imaginaire est la norme en électricité pour ne pas confondre avec le courant \(i\).

Formule(s)

La formule de la réactance inductive est une définition de base :

\[ X_L = L \cdot \omega \]
Hypothèses

On suppose que l'inductance est "idéale". Cela signifie qu'elle n'a pas de résistance interne (dans la réalité, le fil de la bobine a une résistance). Cette hypothèse simplifie le calcul en considérant \(Z_L\) comme purement imaginaire.

Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs nécessaires directement du tableau "Données de l'étude" dans l'énoncé :

ParamètreSymboleValeurUnité
Inductance\(L\)2mH
Pulsation\(\omega\)1000rad/s
Astuces

Pour les conversions : "milli" (m) c'est \(10^{-3}\) et "kilo" (k) c'est \(10^{3}\). Ici, \(2 \text{ mH} \times 1000 \text{ rad/s} = 2 \times 10^{-3} \times 10^{3} = 2\). Les puissances de 10 s'annulent !

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur le composant \(L\) du circuit RLC global.

Impédance de l'Inductance
L Z_L = jLω
Calcul(s)

C'est le cœur de la résolution. Nous allons maintenant appliquer les formules vues précédemment avec les données du problème. Chaque étape est détaillée.

Étape 1 : Conversion de l'inductance

La donnée est \(L = 2 \text{ mH}\). Pour être cohérent avec les autres unités (comme les rad/s), nous devons la convertir en Henrys (H), l'unité de base du Système International. "milli" signifie \(10^{-3}\).

\[ L = 2 \text{ mH} = 2 \times 10^{-3} \text{ H} \]

Étape 2 : Calcul de \(X_L\)

On utilise la formule \(X_L = L \cdot \omega\). On remplace \(L\) par la valeur convertie (\(2 \times 10^{-3}\) H) et \(\omega\) par la valeur donnée (\(1000\) rad/s).

\[ \begin{aligned} X_L &= L \cdot \omega \\ X_L &= (2 \times 10^{-3} \text{ H}) \times (1000 \text{ rad/s}) \\ X_L &= (2 \times 10^{-3} \times 10^{3}) \text{ } \Omega \\ X_L &= 2 \text{ } \Omega \end{aligned} \]

La valeur de la réactance inductive est donc de 2 Ohms.

Schéma (Après les calculs)

Dans le plan complexe, \(Z_L\) est un vecteur purement imaginaire pointant vers le haut.

Phasor de \(Z_L\)
R jX Z_L = +2j Ω
Réflexions

À 1000 rad/s (ce qui équivaut à \(f = \omega / 2\pi = 1000 / (2\pi) \approx 159 \text{ Hz}\)), cette bobine présente une opposition au courant équivalente à une résistance de 2 \(\Omega\). Si la fréquence augmentait, cette opposition augmenterait aussi.

Points de vigilance

Attention aux unités ! L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les millihenrys (mH) en Henrys (H). Si on avait calculé \(2 \times 1000\), on aurait obtenu 2000 \(\Omega\), un résultat 1000 fois trop grand !

Points à retenir

L'impédance d'une inductance est \(Z_L = jL\omega\). C'est un imaginaire pur positif. Sa réactance \(X_L = L\omega\) augmente avec la fréquence : l'inductance bloque de plus en plus les hautes fréquences.

Le saviez-vous ?

C'est cette propriété (\(X_L\) augmente avec \(f\)) qui fait que les inductances (bobines) sont utilisées dans les filtres "passe-bas" des enceintes (dans le "crossover") pour diriger les basses fréquences vers le woofer.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Que se passe-t-il si \(\omega = 0\) (courant continu) ?

Si \(\omega = 0\), alors \(X_L = L \cdot 0 = 0 \text{ } \Omega\). Une inductance parfaite se comporte comme un court-circuit (un simple fil) en courant continu.

Résultat Final
La réactance inductive est \(X_L = 2 \text{ } \Omega\).
A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, que vaudrait \(X_L\) si la pulsation était de \(\omega = 2000\) rad/s ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Réactance inductive.
  • Formule Essentielle : \(X_L = L\omega\).
  • Point de Vigilance : Convertir mH en H.

Question 2 : Calculer la réactance capacitive \(X_C\) à la pulsation \(\omega = 1000\) rad/s.

Principe

Ici, nous trouvons l'opposition spécifique que le condensateur (\(C\)) oppose au courant. Cette "réactance capacitive" (\(X_C\)) dépend aussi de la fréquence, mais de manière inverse à l'inductance.

Mini-Cours

En régime sinusoïdal, un condensateur \(C\) a une impédance \(Z_C = \frac{1}{jC\omega}\). En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(j\), on obtient \(j / (j^2 C\omega) = j / (-C\omega) = -j\frac{1}{C\omega}\). L'impédance est un imaginaire pur négatif. Le courant est en avance de 90° sur la tension.

Remarque Pédagogique

Pensez au condensateur comme à un "bloqueur" de basse fréquence. À \(\omega = 0\) (continu), \(X_C\) est infini (circuit ouvert). Plus la fréquence augmente, plus il se "charge et décharge" rapidement, et moins il s'oppose au courant. C'est pourquoi \(X_C\) diminue quand \(\omega\) augmente.

Normes

La formule \(X_C = 1 / (C\omega)\) est universelle. L'unité de la Capacité est le Farad (F), une unité très grande, d'où l'utilisation fréquente des microfarads (\(\mu\)F, \(10^{-6}\)) ou nanofarads (nF, \(10^{-9}\)).

Formule(s)

L'impédance est \(Z_C = -j\frac{1}{C\omega}\). La réactance \(X_C\) (selon la convention \(Z = R + j(X_L - X_C)\)) est la grandeur positive \(X_C = \frac{1}{C\omega}\). Nous allons calculer cette grandeur positive.

\[ X_C = \frac{1}{C \cdot \omega} \]
Hypothèses

On suppose que le condensateur est "idéal", c'est-à-dire qu'il n'a pas de résistance de fuite en parallèle ni de résistance série. Son impédance est purement imaginaire.

Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs de l'énoncé :

ParamètreSymboleValeurUnité
Capacité\(C\)150\(\mu\)F
Pulsation\(\omega\)1000rad/s
Astuces

Calcul mental : \(150 \text{ } \mu\text{F} \times 1000 \text{ rad/s} = 150 \times 10^{-6} \times 10^3 = 150 \times 10^{-3} = 0.15\). L'inverse de 0.15 est \(1 / (15/100) = 100/15 = 20/3 \approx 6.67\).

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur le composant \(C\) du circuit RLC global.

Impédance de la Capacité
C Z_C = -jX_C
Calcul(s)

Nous suivons la même logique : d'abord la conversion des unités, puis l'application de la formule.

Étape 1 : Conversion de la capacité

La donnée est \(C = 150 \text{ } \mu\text{F}\). Nous convertissons les microfarads (\(\mu\)F) en Farads (F). "micro" signifie \(10^{-6}\).

\[ C = 150 \text{ } \mu\text{F} = 150 \times 10^{-6} \text{ F} \]

Étape 2 : Calcul de \(X_C\)

On utilise la formule \(X_C = \frac{1}{C \cdot \omega}\). On remplace \(C\) par la valeur convertie et \(\omega\) par la valeur donnée.

\[ \begin{aligned} X_C &= \frac{1}{C \cdot \omega} \\ X_C &= \frac{1}{(150 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (1000 \text{ rad/s})} \\ X_C &= \frac{1}{150 \times 10^{-3}} \\ X_C &= \frac{1}{0.15} \\ X_C &\approx 6.67 \text{ } \Omega \end{aligned} \]

La valeur de la réactance capacitive est donc d'environ 6.67 Ohms.

Schéma (Après les calculs)

Dans le plan complexe, \(Z_C\) est un vecteur purement imaginaire pointant vers le bas.

Phasor de \(Z_C\)
R jX Z_C ≈ -6.67j Ω
Réflexions

À cette fréquence, l'opposition du condensateur est de 6.67 \(\Omega\). C'est plus élevé que la réactance inductive (\(X_L = 2 \text{ } \Omega\)). L'effet capacitif va donc "gagner" sur l'effet inductif, ce que nous verrons dans la prochaine question.

Points de vigilance

Attention aux unités ! L'erreur la plus fréquente, comme pour la bobine, est d'oublier la conversion. Utiliser \(C=150\) au lieu de \(150 \times 10^{-6}\) donnerait un résultat totalement faux (très proche de zéro).

Points à retenir

L'impédance d'un condensateur est \(Z_C = -j / (C\omega)\). C'est un imaginaire pur négatif. Sa réactance \(X_C = 1 / (C\omega)\) diminue avec la fréquence : le condensateur bloque les basses fréquences et laisse passer les hautes fréquences.

Le saviez-vous ?

C'est cette propriété (\(X_C\) diminue avec \(f\)) qui fait que les condensateurs sont utilisés dans les filtres "passe-haut" pour diriger les hautes fréquences vers le tweeter d'une enceinte.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Pourquoi \(Z_C\) est-il négatif ?

L'opérateur \(\frac{1}{j}\) est mathématiquement égal à \(-j\) (car \(1/j = j/(j^2) = j/(-1) = -j\)). Physiquement, cela signifie que le courant est en avance de 90° sur la tension.

Résultat Final
La réactance capacitive est \(X_C \approx 6.67 \text{ } \Omega\).
A vous de jouer

Que vaudrait \(X_C\) si la capacité était de \(C = 100 \text{ } \mu\text{F}\) (en gardant \(\omega = 1000\) rad/s) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Réactance capacitive.
  • Formule Essentielle : \(X_C = 1 / (C\omega)\).
  • Point de Vigilance : Convertir \(\mu\)F en F.

Question 3 : Déterminer l'impédance complexe totale \(Z\) du circuit sous forme rectangulaire (\(Z = R + jX\)).

Principe

Puisque les trois composants sont en série, l'impédance totale est simplement la somme de leurs impédances individuelles. C'est une somme vectorielle (complexe) : on additionne les parties réelles (résistances) ensemble et les parties imaginaires (réactances) ensemble.

Mini-Cours

La loi d'additivité des impédances en série est analogue à la loi d'additivité des résistances en série. On additionne les parties réelles (résistances) ensemble et les parties imaginaires (réactances) ensemble. \(Z_{\text{série}} = Z_1 + Z_2 + \dots = (R_1+R_2) + j(X_1+X_2)\).

Remarque Pédagogique

Visualisez les impédances \(Z_L\) et \(Z_C\) comme deux vecteurs sur l'axe imaginaire, l'un pointant vers le haut (\(jX_L\)) et l'autre vers le bas (\(-jX_C\)). Ils se "battent" l'un contre l'autre. La réactance totale \(X = X_L - X_C\) est le résultat de cette bataille.

Normes

La notation \(Z = R + jX\) est la forme rectangulaire (ou cartésienne) standard d'un nombre complexe. \(R\) est la partie réelle (dissipation d'énergie), \(X\) est la partie imaginaire (stockage d'énergie).

Formule(s)

Impédances individuelles

\[ Z_R = R \]
\[ Z_L = jL\omega = jX_L \]
\[ Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -j\frac{1}{C\omega} = -jX_C \]

Impédance totale (série)

\[ \begin{aligned} Z &= Z_R + Z_L + Z_C \\ Z &= R + (jX_L) + (-jX_C) \\ Z &= R + j(X_L - X_C) \end{aligned} \]
Hypothèses

On suppose que les connexions sont parfaites (pas de résistance ou d'inductance de câble).

Donnée(s)

Nous utilisons la valeur de \(R\) de l'énoncé, et les valeurs de \(X_L\) et \(X_C\) que nous venons de calculer aux questions 1 et 2.

ParamètreSymboleValeurSource
Résistance\(R\)8 \(\Omega\)Énoncé
Réactance Inductive\(X_L\)2 \(\Omega\)Résultat Q1
Réactance Capacitive\(X_C\)6.67 \(\Omega\)Résultat Q2
Astuces

Le signe de la réactance totale \(X\) vous dit tout :
Si \(X > 0 \Rightarrow X_L > X_C \Rightarrow\) Circuit Inductif.
Si \(X < 0 \Rightarrow X_C > X_L \Rightarrow\) Circuit Capacitif.
Si \(X = 0 \Rightarrow X_L = X_C \Rightarrow\) Circuit Résistif (Résonance).

Schéma (Avant les calculs)

On additionne les trois impédances vectoriellement (en série).

Addition des Impédances Complexes
R jX Z_R = R Z_L = jX_L Z_C = -jX_C Z = R + j(X_L-X_C)
Calcul(s)

Nous allons assembler les pièces calculées aux questions 1 et 2 avec la résistance R donnée.

Étape 1 : Calcul de la réactance totale (X)

On applique la formule \(X = X_L - X_C\), en utilisant les valeurs \(X_L = 2 \text{ } \Omega\) (de Q1) et \(X_C \approx 6.67 \text{ } \Omega\) (de Q2).

\[ \begin{aligned} X &= X_L - X_C \\ X &= 2 - 6.67 \\ X &= -4.67 \text{ } \Omega \end{aligned} \]

Étape 2 : Assemblage de l'impédance \(Z\)

On utilise la formule \(Z = R + jX\). La valeur de \(R\) provient de l'énoncé (\(R = 8 \text{ } \Omega\)) et \(X\) de l'étape ci-dessus.

\[ \begin{aligned} Z &= R + jX \\ Z &= 8 + j(-4.67) \\ Z &= (8 - 4.67j) \text{ } \Omega \end{aligned} \]

L'impédance complexe est \(8 \text{ } \Omega\) pour la partie réelle et \(-4.67 \text{ } \Omega\) pour la partie imaginaire.

Schéma (Après les calculs)

Le vecteur résultant \(Z\) a une partie réelle positive (R) et une partie imaginaire négative (X).

Phasor de \(Z\)
R jX Z 8 -4.67j
Réflexions

La partie imaginaire (\(X = -4.67 \text{ } \Omega\)) est négative. Comme nous l'avions anticipé en Q2, \(X_C > X_L\), donc l'effet capacitif domine à cette pulsation. On dit que le circuit est capacitif.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mal additionner les réactances. C'est \(X_L - X_C\), pas \(X_L + X_C\), car leurs impédances \(+jX_L\) et \(-jX_C\) sont de signes opposés.

Points à retenir

En série, les impédances s'ajoutent : \(Z = R + j(X_L - X_C)\).

Le saviez-vous ?

Le point où \(X_L = X_C\) (et donc \(X=0\)) est la résonance. Pour un haut-parleur, cela correspond à la "fréquence de résonance" (\(f_s\)), un paramètre clé qui définit son comportement dans les basses fréquences.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Est-ce que l'impédance peut être négative ?

L'impédance *complexe* \(Z\) n'est pas "négative" (c'est un vecteur). Sa partie imaginaire \(X\) peut être négative (circuit capacitif). Sa partie réelle \(R\) (résistance) est toujours positive dans un circuit passif. Le *module* \(|Z|\) est, par définition, toujours positif ou nul.

Résultat Final
L'impédance complexe totale est \(Z = (8 - 4.67j) \text{ } \Omega\).
A vous de jouer

Quelle serait la partie imaginaire (la réactance X) si \(X_L = 10 \text{ } \Omega\) et \(X_C = 5 \text{ } \Omega\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Formule : \(Z = R + j(X_L - X_C)\).
  • Analyse : Si \(X_L > X_C\), circuit inductif (X > 0). Si \(X_C > X_L\), circuit capacitif (X < 0).

Question 4 : Calculer le module \(|Z|\) et la phase \(\phi\) de l'impédance (forme polaire \(Z = |Z|\angle\phi\)).

Principe

Nous avons \(Z\) en "coordonnées cartésiennes" (\(R\) et \(X\)). Nous voulons la convertir en "coordonnées polaires" (longueur \(|Z|\) et angle \(\phi\)). Cette forme est essentielle pour les multiplications et divisions, ce dont nous aurons besoin pour appliquer la loi d'Ohm (\(I = V/Z\)) à la question 5.

Mini-Cours

La conversion rectangulaire \(\rightarrow\) polaire est une application directe du théorème de Pythagore pour le module (la longueur de l'hypoténuse) et de la trigonométrie (tangente) pour l'angle.

Remarque Pédagogique

Le module \(|Z|\) est ce que mesurerait un "ohmmètre AC" (impédancemètre). C'est la valeur physique de l'opposition au courant. La phase \(\phi\) est ce qui crée le décalage temporel entre la tension et le courant.

Normes

La notation polaire est \(Z = |Z|e^{j\phi}\) (exponentielle) ou \(Z = |Z|\angle\phi\) (notation "phasor"). Les deux sont équivalentes. L'angle \(\phi\) est souvent donné en degrés (°) en ingénierie, mais doit être en radians (rad) pour la plupart des calculs mathématiques (comme dans \(e^{j\phi}\)).

Formule(s)

Pour un nombre complexe \(Z = a + jb\) (ici \(a=R\) et \(b=X\)) :

\[ \text{Module : } |Z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ \text{Phase : } \phi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \]

Dans notre cas, \(a = R = 8\) et \(b = X = -4.67\).

Hypothèses

On utilise la fonction \(\arctan\) (ou \(\tan^{-1}\)). Il faut faire attention au quadrant. Comme \(R > 0\) et \(X < 0\), nous sommes dans le 4ème quadrant, où l'angle est bien négatif, ce que \(\arctan\) donne directement.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat direct de la Question 3 :

  • Impédance rectangulaire : \(Z = (8 - 4.67j) \text{ } \Omega\)
Astuces

Vérifiez l'ordre de grandeur : \(|Z|\) doit toujours être plus grand ou égal à la partie réelle \(R\). Ici, \(9.26 > 8\), c'est cohérent. Si vous aviez trouvé \(|Z| < 8\), il y aurait une erreur (sauf si \(X=0\)).

Schéma (Avant les calculs)

Représentation du triangle d'impédance.

Triangle d'Impédance
R jX |Z| R=8 X=-4.67 φ
Calcul(s)

Nous convertissons la forme rectangulaire \(Z = 8 - 4.67j\) (de Q3) en forme polaire \(Z = |Z|\angle\phi\).

Étape 1 : Calcul du module \(|Z|\) (le "Pythagore" de l'impédance)

On utilise la formule \(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\) avec les valeurs \(R = 8\) et \(X = -4.67\) de Q3.

\[ \begin{aligned} |Z| &= \sqrt{R^2 + X^2} \\ |Z| &= \sqrt{(8)^2 + (-4.67)^2} \\ |Z| &= \sqrt{64 + 21.81} \\ |Z| &= \sqrt{85.81} \\ |Z| &\approx 9.26 \text{ } \Omega \end{aligned} \]

C'est le module de l'impédance, ou "l'opposition" totale au courant.

Étape 2 : Calcul de la phase \(\phi\) (l'angle de déphasage)

On utilise la formule \(\phi = \arctan(X/R)\) avec les mêmes valeurs.

\[ \begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{X}{R}\right) \\ \phi &= \arctan\left(\frac{-4.67}{8}\right) \\ \phi &= \arctan(-0.58375) \\ \phi &\approx -30.26^\circ \text{ (ou } -0.528 \text{ radians)} \end{aligned} \]

L'angle est négatif, ce qui confirme le comportement capacitif.

Réflexions

L'impédance totale du haut-parleur à 1000 rad/s est de 9.26 \(\Omega\). Le déphasage est de -30.26°, ce qui confirme un comportement capacitif (phase négative de Z).

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice est dans le bon mode (degrés ou radians) ! Les deux sont valides, mais il faut être cohérent. En général, on utilise les degrés pour la notation polaire \(\angle\phi\) et les radians pour l'exponentielle \(e^{j\phi}\) et les expressions temporelles \(\cos(\omega t + \phi)\).

Points à retenir

La conversion \(Z = R + jX\) en \(Z = |Z|\angle\phi\) est une étape fondamentale de l'analyse AC.

Le saviez-vous ?

Les amplificateurs audio sont conçus pour fonctionner avec une certaine impédance de charge (souvent 4, 6 ou 8 \(\Omega\)). Notre \(|Z| \approx 9.26 \text{ } \Omega\) est proche de 8 \(\Omega\), mais cette valeur change énormément avec la fréquence, ce qui complique le travail de l'amplificateur.

FAQ

Questions fréquentes :

Et si R était négatif ?

Dans un circuit passif (R, L, C), R est toujours positif. Si R était négatif, on serait dans le 2ème ou 3ème quadrant, et il faudrait utiliser la fonction \(\text{atan2}(Y, X)\) ou ajouter 180° à l'angle calculé.

Résultat Final
L'impédance sous forme polaire est \(Z \approx 9.26 \text{ } \Omega \angle -30.26^\circ\).
A vous de jouer

Calculez le module \(|Z|\) pour un circuit avec \(R = 3 \text{ } \Omega\) et \(X = 4 \text{ } \Omega\). (Indice : triangle 3-4-5)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Module : \(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\). C'est l'impédance "globale".
  • Phase : \(\phi = \arctan(X/R)\). C'est le déphasage.

Question 5 : En déduire l'expression temporelle du courant \(i(t)\) circulant dans le haut-parleur.

Principe

On applique la loi d'Ohm complexe \(I = V / Z\). C'est la raison pour laquelle nous avons calculé \(Z\) en forme polaire à la question 4. La division des nombres complexes est beaucoup plus simple en forme polaire.

Mini-Cours

La division de nombres complexes en forme polaire est la clé :
\(\frac{A\angle\alpha}{B\angle\beta} = (\frac{A}{B})\angle(\alpha - \beta)\).
On divise les modules (les longueurs) et on soustrait les phases (les angles). Attention à l'ordre : (phase du haut) - (phase du bas).

Remarque Pédagogique

Le résultat \(I = |I|\angle\theta_i\) est le phasor du courant. Pour revenir au temporel, on reprend l'amplitude \(|I|\), on garde la pulsation \(\omega\) de la source, et on applique la nouvelle phase \(\theta_i\). C'est un simple "décalage" dans le temps par rapport à la tension.

Normes

La notation \(i(t)\) représente la valeur instantanée (temporelle) du courant. Le phasor \(I\) représente son amplitude et sa phase. Par convention, on utilise une fonction cosinus pour la représentation temporelle. \(v(t) = |V|\cos(\omega t + \theta_v) \Leftrightarrow V = |V|\angle\theta_v\).

Formule(s)

Loi d'Ohm (Phasors)

\[ I = \frac{V}{Z} = \frac{|V|\angle\theta_v}{|Z|\angle\phi_z} = \left(\frac{|V|}{|Z|}\right) \angle (\theta_v - \phi_z) \]

Conversion Temporelle

\[ \text{Si } I = |I|\angle\theta_i \Rightarrow i(t) = |I| \cos(\omega t + \theta_i) \]
Hypothèses

On suppose que le circuit est en régime sinusoïdal permanent (établi), et que la tension \(v(t)\) est notre référence de phase (phase \(\theta_v = 0^\circ\)).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la question 4.

  • Tension (énoncé) : \(v(t) = 10 \cos(1000t)\) V.
    • On en déduit le phasor Tension : Amplitude \(|V| = 10\) V, Phase \(\theta_v = 0^\circ\). Donc \(V = 10\angle 0^\circ \text{ V}\).
  • Impédance (Résultat Q4) : \(Z \approx 9.26\angle -30.26^\circ \text{ } \Omega\).
    • Module \(|Z| = 9.26 \text{ } \Omega\).
    • Phase \(\phi_z = -30.26^\circ\).
Astuces

Puisque la phase de l'impédance \(\phi_z\) est négative (capacitif), la phase du courant \(\theta_i = \theta_v - \phi_z\) sera positive (\(0 - (-30.26) = +30.26\)). Le courant est en avance, ce qui est logique pour un circuit capacitif.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche le phasor \(I\) résultant de la division \(V/Z\).

Division des Phasors V et Z
0° V (10∠0°) Z (9.26∠-30.26°) I = V / Z = ?
Calcul(s)

On applique la loi d'Ohm en utilisant les formes polaires de la tension et de l'impédance.

Étape 1 : Obtenir les phasors \(V\) et \(Z\)

La tension est \(v(t) = 10 \cos(1000t)\). Son amplitude est \(|V| = 10\) V et sa phase est \(\theta_v = 0^\circ\) (notre référence). Donc, \(V = 10\angle 0^\circ \text{ V}\).

L'impédance (de Q4) est \(Z \approx 9.26\angle -30.26^\circ \text{ } \Omega\).

Étape 2 : Calcul du phasor de courant \(I = V/Z\)

On applique la formule de division des phasors : on divise les modules, et on soustrait les phases.

\[ \begin{aligned} I &= \frac{V}{Z} \\ I &= \frac{10\angle 0^\circ \text{ V}}{9.26\angle -30.26^\circ \text{ } \Omega} \\ \\ \text{Calcul du module : } |I| &= \frac{|V|}{|Z|} = \frac{10}{9.26} \approx 1.08 \text{ A} \\ \text{Calcul de la phase : } \theta_i &= \theta_v - \phi_z = 0^\circ - (-30.26^\circ) = +30.26^\circ \\ \\ \text{Donc, } I &\approx 1.08 \angle 30.26^\circ \text{ A} \end{aligned} \]

Étape 3 : Conversion en expression temporelle \(i(t)\)

On reconstruit le signal temporel avec le module \(|I|\) et la phase \(\theta_i\) calculés, en gardant la pulsation \(\omega = 1000\) rad/s de la source.

\[ \begin{aligned} i(t) &= |I| \cos(\omega t + \theta_i) \\ i(t) &\approx 1.08 \cos(1000t + 30.26^\circ) \text{ A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Représentation des phasors de Tension (V) et de Courant (I). I est en avance sur V.

Phasors de V et I
0° V I 30.26°
Réflexions

Le courant a une amplitude d'environ 1.08 A. Sa phase est de +30.26°. Cela signifie que le courant est en avance sur la tension (qui avait une phase de 0°). C'est la confirmation que le circuit est capacitif.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est sur le signe de la phase : \(\theta_i = \theta_v - \phi_z\). Ici, c'est \(0 - (-30.26^\circ) = +30.26^\circ\). Une double négation qui devient positive !

Points à retenir

Un circuit capacitif (\(X_C > X_L \Rightarrow \phi_z < 0\)) a un courant en AVANCE sur la tension (\(\theta_i > \theta_v\)).
Un circuit inductif (\(X_L > X_C \Rightarrow \phi_z > 0\)) a un courant en RETARD sur la tension (\(\theta_i < \theta_v\)).

Le saviez-vous ?

Ce déphasage (\(30.26^\circ\)) crée une "puissance réactive". L'amplificateur doit fournir non seulement la puissance "utile" (dissipée en chaleur par R), mais aussi de la puissance "réactive" qui est échangée avec la bobine et le condensateur à chaque cycle.

FAQ

Questions fréquentes :

Et si la tension était \(v(t) = 10 \sin(1000t)\) ?

En électricité, on utilise presque toujours \(\cos\) comme référence. \(\sin(\alpha) = \cos(\alpha - 90^\circ)\). Donc, \(v(t) = 10 \cos(1000t - 90^\circ)\). Le phasor serait \(V = 10\angle -90^\circ\). Le phasor du courant serait \(I = 1.08 \angle (-90^\circ - (-30.26^\circ)) = 1.08 \angle -59.74^\circ\).

Résultat Final
Le courant dans le circuit est \(i(t) \approx 1.08 \cos(1000t + 30.26^\circ) \text{ A}\).
A vous de jouer

Quelle serait l'amplitude (le module) du courant \(|I|\) si le module de l'impédance \(|Z|\) était de 20 \(\Omega\) (en gardant \(|V| = 10\) V) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Loi d'Ohm : \(I = V/Z\).
  • Modules : \(|I| = |V| / |Z|\).
  • Phases : \(\theta_i = \theta_v - \phi_z\).

Outil Interactif : Courbe d'Impédance

Utilisez ce simulateur pour voir comment l'impédance totale \(|Z|\) du haut-parleur varie en fonction de la fréquence. Le graphique montre la fameuse "bosse" de résonance. Ajustez la résistance \(R\) et l'inductance \(L\) pour voir leur effet. La capacité est fixée à \(C = 150 \text{ } \mu\text{F}\) pour cette simulation.

Paramètres d'Entrée
8 \(\Omega\)
2 mH
Résultats Clés (Calculés)
Fréq. Résonance \(f_0\) (Hz) -
Imp. à Résonance \(Z_0\) (\(\Omega\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un circuit RLC série, à la fréquence de résonance, l'impédance totale \(|Z|\) est :

2. L'unité de la réactance (inductive ou capacitive) est :

3. Si, à une certaine fréquence, \(X_L > X_C\), on dit que le circuit est :

4. La relation entre la pulsation \(\omega\) (en rad/s) et la fréquence \(f\) (en Hz) est :

5. Que représente la partie réelle (\(R\)) de l'impédance complexe \(Z = R + jX\) ?

Glossaire

Impédance (\(Z\))
Grandeur complexe (\(Z = R + jX\)) qui généralise la résistance aux circuits en régime sinusoïdal. Elle exprime l'opposition au passage du courant alternatif.
Phasor (Phaseur)
Nombre complexe (ex: \(|V|\angle\theta\)) utilisé pour représenter une grandeur sinusoïdale (tension ou courant) à une fréquence fixe, simplifiant les calculs en AC.
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, mesurée en radians par seconde (rad/s). Liée à la fréquence \(f\) (en Hz) par la relation \(\omega = 2\pi f\).
Réactance (\(X\))
Partie imaginaire de l'impédance (\(X_L\) ou \(X_C\)), mesurée en Ohms (\(\Omega\)). Elle représente l'opposition au courant due aux effets inductifs ou capacitifs, qui stockent et restituent l'énergie.
Résonance (Série)
Phénomène qui se produit à une fréquence spécifique (\(f_0\)) où la réactance inductive (\(X_L\)) et la réactance capacitive (\(X_C\)) s'annulent. L'impédance est alors minimale et vaut \(Z = R\).
Exercice : Modélisation d'un Haut-Parleur

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