Circuits Électriques

Puissance Active d’un Moteur Asynchrone

Calcul de la Puissance Active d'un Moteur en Régime Sinusoïdal

Calcul de la Puissance Active d'un Moteur Asynchrone

Contexte : L'efficacité énergétique, un enjeu majeur pour l'industrie.

Les moteurs asynchrones sont les machines électriques les plus répandues dans l'industrie, entraînant pompes, ventilateurs, compresseurs et convoyeurs. Comprendre et calculer la puissance activePartie de la puissance qui est réellement convertie en travail utile (mécanique) et en chaleur. C'est la puissance facturée par le fournisseur d'électricité. Unité : Watt (W). (en Watts) qu'ils consomment est fondamental pour le dimensionnement des installations électriques, le suivi des consommations et l'optimisation de l'efficacité énergétique. Cet exercice propose de modéliser un moteur par un circuit R-L équivalent pour analyser sa consommation en régime sinusoïdalAnalyse du comportement d'un circuit lorsque la source est une tension ou un courant sinusoïdal. On utilise la notation complexe (impédances) pour simplifier les calculs..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un pont entre la théorie des circuits et ses applications pratiques en électrotechnique. Nous allons utiliser les outils de l'analyse complexe (impédances) pour calculer des grandeurs physiques concrètes et essentielles : le courant appelé par un moteur et la puissance qu'il transforme réellement en travail et en chaleur.

Objectifs Pédagogiques

  • Modéliser une charge inductive (moteur) par son impédance complexeNombre complexe qui généralise la notion de résistance aux circuits en régime sinusoïdal. Il représente à la fois l'opposition au passage du courant (module) et le déphasage tension-courant (argument)..
  • Calculer le courant efficace dans un circuit R-L série.
  • Déterminer le facteur de puissanceCosinus du déphasage entre la tension et le courant. Il mesure l'efficacité avec laquelle la puissance est transmise. Un facteur proche de 1 est idéal. d'une installation.
  • Calculer la puissance active, réactive et apparente (triangle des puissances).
  • Comprendre l'importance du déphasage courant-tension dans le transport de l'énergie électrique.

Données de l'étude

Un moteur asynchrone monophasé est connecté au réseau électrique. Pour l'étude en régime sinusoïdal établi, on modélise ce moteur par une résistance R en série avec une inductance L.

Modèle électrique équivalent du moteur
Veff Moteur R L
Paramètre Symbole Valeur Unité
Tension efficace du réseau \(V_{\text{eff}}\) 230 \(\text{V}\)
Fréquence du réseau \(f\) 50 \(\text{Hz}\)
Résistance du moteur \(R\) 30 \(\Omega\)
Inductance du moteur \(L\) 120 \(\text{mH}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'impédance complexe \(\underline{Z}\) du moteur et son module \(Z\).
  2. Calculer le courant efficace \(I\) qui traverse le moteur.
  3. Calculer le déphasage \(\varphi\) et le facteur de puissance (FP) du moteur.
  4. Calculer la puissance active \(P\) consommée par le moteur.

Les bases de l'Analyse en Régime Sinusoïdal

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés sur la puissance en régime sinusoïdal.

1. Le Triangle des Puissances :
Dans un circuit AC, on distingue trois puissances qui forment un triangle rectangle :

  • La Puissance Active (P) : La puissance "utile", convertie en travail ou chaleur. Unité : Watt (W). \(P = V_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \cos(\varphi)\).
  • La Puissance Réactive (Q) : La puissance "échangée" par les composants réactifs (bobines, condensateurs) avec le réseau, nécessaire à la création des champs magnétiques et électriques. Unité : Voltampère Réactif (var). \(Q = V_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \sin(\varphi)\).
  • La Puissance Apparente (S) : La puissance "totale" que le réseau doit fournir. C'est la norme du vecteur puissance complexe. Unité : Voltampère (VA). \(S = V_{\text{eff}} I_{\text{eff}} = \sqrt{P^2 + Q^2}\).

2. Le Facteur de Puissance (FP) :
Le facteur de puissance, \(FP = \cos(\varphi)\), est le rapport entre la puissance active (utile) et la puissance apparente (fournie). \[ FP = \cos(\varphi) = \frac{P}{S} \] Un FP de 1 (ou proche de 1) signifie que presque toute la puissance fournie par le réseau est utilement consommée. Un FP faible indique une forte consommation de puissance réactive, ce qui est pénalisé par les fournisseurs d'électricité car cela augmente les pertes en ligne sans produire de travail utile.

Correction : Calcul de la Puissance Active d'un Moteur Asynchrone

Question 1 : Calculer l'impédance complexe \(\underline{Z}\) du moteur et son module \(Z\)

Principe (le concept physique)

L'impédance complexe \(\underline{Z}\) représente l'opposition totale du moteur au passage d'un courant alternatif. Elle a une partie réelle, la résistance R, qui dissipe l'énergie (chaleur, travail mécanique), et une partie imaginaire, la réactance X, qui stocke et restitue l'énergie (champ magnétique). Le module Z est l'opposition globale en termes d'amplitude, équivalente à la résistance en courant continu.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour un circuit R-L série, l'impédance est la somme des impédances de chaque composant : \(\underline{Z} = \underline{Z}_R + \underline{Z}_L\). Avec \(\underline{Z}_R = R\) et \(\underline{Z}_L = jL\omega\), on obtient \(\underline{Z} = R + jL\omega\). Le module de ce nombre complexe, \(Z = |\underline{Z}|\), se calcule comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle : \(Z = \sqrt{R^2 + (L\omega)^2}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous poussez une voiture (le courant) sur une route (le circuit). La résistance R, c'est comme le frottement : elle s'oppose à vous et vous fait transpirer (dissipation d'énergie). L'inductance L, c'est comme l'inertie de la voiture : elle s'oppose au démarrage, mais une fois lancée, elle aide à continuer (stockage d'énergie). L'impédance Z est la difficulté globale que vous ressentez pour pousser cette voiture.

Normes (la référence réglementaire)

L'utilisation de la notation complexe pour l'analyse des circuits en régime sinusoïdal est une méthode standardisée définie par la Commission Électrotechnique Internationale (CEI). La fréquence de 50 Hz est la norme pour les réseaux de distribution en Europe et dans de nombreuses autres parties du monde.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La pulsation \(\omega\) est calculée à partir de la fréquence \(f\) :

\[ \omega = 2\pi f \]

L'impédance complexe est :

\[ \underline{Z} = R + jL\omega \]

Le module de l'impédance est :

\[ Z = \sqrt{R^2 + (L\omega)^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le réseau délivre une tension parfaitement sinusoïdale et que le modèle R-L série du moteur est valable pour ce régime de fonctionnement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résistance, \(R = 30 \, \Omega\)
  • Inductance, \(L = 120 \, \text{mH} = 0.12 \, \text{H}\)
  • Fréquence, \(f = 50 \, \text{Hz}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour \(f = 50 \, \text{Hz}\), la pulsation \(\omega = 2\pi f\) vaut environ \(314 \, \text{rad/s}\). C'est une valeur à connaître par cœur en électrotechnique, elle revient constamment et fait gagner du temps.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de l'Impédance
RjX_LZ = ?φ
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la pulsation \(\omega\) :

\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \cdot 50 \, \text{Hz} \\ &= 100\pi \, \text{rad/s} \\ &\approx 314.16 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'impédance complexe \(\underline{Z}\) :

\[ \begin{aligned} \underline{Z} &= R + jL\omega \\ &= 30 \, \Omega + j \cdot (0.12 \, \text{H}) \cdot (100\pi \, \text{rad/s}) \\ &= (30 + j37.7) \, \Omega \end{aligned} \]

3. Calcul du module \(Z\) :

\[ \begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + (L\omega)^2} \\ &= \sqrt{30^2 + 37.7^2} \, \Omega \\ &= \sqrt{900 + 1421.3} \, \Omega \\ &= \sqrt{2321.3} \, \Omega \\ &\approx 48.18 \, \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangle de l'Impédance (valeurs)
30 Ωj37.7 Ω48.18 Ω
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'impédance du moteur est de \(48.18 \, \Omega\). Cette valeur, supérieure à la simple résistance de \(30 \, \Omega\), montre l'effet significatif de l'inductance à la fréquence du réseau. Le moteur s'oppose au courant plus fortement qu'une simple résistance de même valeur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de calculer la pulsation \(\omega\) avant de calculer la réactance \(X_L = L\omega\). Une erreur fréquente est d'utiliser directement la fréquence \(f\) dans la formule. De plus, attention à bien utiliser les unités du Système International (H, F, \(\Omega\)) pour tous les calculs.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'impédance d'une charge inductive est un nombre complexe \(\underline{Z} = R + jX_L\).
  • Sa partie imaginaire, la réactance \(X_L = L\omega\), dépend de la fréquence.
  • Son module \(Z\) se calcule avec le théorème de Pythagore.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le modèle R-L série est une simplification. Un modèle plus précis du moteur asynchrone (le modèle de Behn-Eschenburg) inclut des éléments en parallèle pour représenter les pertes fer et la magnétisation du circuit magnétique, rendant l'impédance dépendante de la charge mécanique appliquée au moteur.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'impédance est-elle un nombre complexe ?

Le nombre complexe permet de représenter deux informations en une seule : le module représente le rapport des amplitudes (\(V_{\text{eff}}/I_{\text{eff}}\)), et l'argument (ou l'angle) représente le déphasage temporel \(\varphi\) entre la tension et le courant. C'est un outil mathématique extrêmement puissant pour l'analyse des circuits en régime sinusoïdal.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'impédance complexe du moteur est \(\underline{Z} = (30 + j37.7) \, \Omega\) et son module est \(Z \approx 48.18 \, \Omega\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la fréquence du réseau était de 60 Hz, quel serait le nouveau module de l'impédance Z en \(\Omega\) ?

Question 2 : Calculer le courant efficace \(I\) qui traverse le moteur

Principe (le concept physique)

Le courant efficace est la valeur quadratique moyenne du courant sinusoïdal. C'est la valeur qui, pour un courant continu, produirait le même échauffement dans une résistance. En régime sinusoïdal, la loi d'Ohm se généralise : le courant efficace est simplement le rapport entre la tension efficace et le module de l'impédance.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La loi d'Ohm en notation complexe s'écrit \(\underline{V} = \underline{Z} \cdot \underline{I}\). En passant aux modules, on obtient \(|\underline{V}| = |\underline{Z}| \cdot |\underline{I}|\). Comme les modules des grandeurs complexes sinusoïdales sont leurs valeurs efficaces, on a directement \(V_{\text{eff}} = Z \cdot I_{\text{eff}}\), d'où \(I_{\text{eff}} = V_{\text{eff}} / Z\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'un des calculs les plus fondamentaux en électrotechnique. Connaître le courant appelé par une machine est indispensable pour choisir la section des câbles d'alimentation et les protections associées (disjoncteurs, fusibles). Un courant trop élevé pour un câble donné provoquerait un échauffement dangereux.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes d'installation électrique, comme la NF C 15-100 en France, définissent les sections de câble minimales à utiliser en fonction du courant nominal des récepteurs et du type de protection, afin de prévenir les risques d'incendie et d'assurer la sécurité des personnes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La loi d'Ohm en régime sinusoïdal pour les valeurs efficaces s'écrit :

\[ I = \frac{V_{\text{eff}}}{Z} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la tension du réseau de 230 V est stable et correspond bien à la tension aux bornes du moteur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Tension efficace, \(V_{\text{eff}} = 230 \, \text{V}\)
  • Module de l'impédance, \(Z = 48.18 \, \Omega\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant le calcul, on peut faire une estimation. L'impédance est d'environ 50 \(\Omega\). La tension est d'environ 250 V. Le courant devrait donc être autour de \(250/50 = 5\) A. Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur du résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Loi d'Ohm en AC
VeffZI=?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule :

\[ \begin{aligned} I &= \frac{V_{\text{eff}}}{Z} \\ &= \frac{230 \, \text{V}}{48.18 \, \Omega} \\ &\approx 4.77 \, \text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Courant dans le Circuit
I ≈ 4.77 A
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moteur appelle un courant efficace de 4.77 A. Cette valeur est cruciale pour le dimensionnement de l'installation. Elle est cohérente avec l'ordre de grandeur d'un petit moteur monophasé (puissance inférieure à 1.5 kW).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Veillez à bien utiliser le module de l'impédance \(Z\) et non uniquement la résistance \(R\). Utiliser R seul donnerait un courant de \(230/30 \approx 7.67\) A, une surestimation de plus de 60% qui conduirait à un surdimensionnement coûteux et inutile des protections et des câbles.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La loi d'Ohm s'applique en régime sinusoïdal avec les valeurs efficaces et le module de l'impédance.
  • \(I = V_{\text{eff}} / Z\).
  • Le courant est une grandeur fondamentale pour le dimensionnement et la sécurité des installations.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Au démarrage, un moteur asynchrone peut appeler un courant 5 à 8 fois supérieur à son courant nominal. C'est un pic de courant très bref mais intense, qui doit être pris en compte par les dispositifs de protection (disjoncteurs magnétothermiques de "courbe D") pour éviter les déclenchements intempestifs.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que le courant est sinusoïdal ?

Oui. Dans un circuit linéaire alimenté par une tension sinusoïdale, toutes les grandeurs (tensions et courants) sont également sinusoïdales, à la même fréquence. Seules leurs amplitudes et leurs phases peuvent changer. Le courant sera donc une sinusoïde de valeur efficace 4.77 A, mais déphasée par rapport à la tension.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le courant efficace consommé par le moteur est d'environ 4.77 A.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'impédance du moteur était de 40 \(\Omega\), quel serait le courant I en Ampères ?

Question 3 : Calculer le déphasage \(\varphi\) et le facteur de puissance (FP)

Principe (le concept physique)

Le déphasage \(\varphi\) est l'angle temporel entre la sinusoïde de la tension et celle du courant. Pour une charge inductive comme un moteur, le courant est "en retard" sur la tension. Le facteur de puissance, qui est le cosinus de cet angle, quantifie l'efficacité de la transmission de puissance. Un grand déphasage implique un mauvais facteur de puissance.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'angle \(\varphi\) est l'argument de l'impédance complexe \(\underline{Z} = R + jX_L\). Dans le plan complexe, il se calcule par la trigonométrie : \(\tan(\varphi) = \frac{\text{Partie Imaginaire}}{\text{Partie Réelle}} = \frac{X_L}{R}\). Le facteur de puissance est alors \(FP = \cos(\varphi)\). On peut aussi le trouver directement à partir du triangle de l'impédance : \(FP = \cos(\varphi) = \frac{\text{Côté Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{R}{Z}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous poussez une barque sur un canal. Si vous poussez parfaitement dans l'axe, toute votre force est utile (FP=1). Si vous poussez un peu de côté, une partie de votre effort pousse la barque vers la berge (puissance réactive) et seule la composante dans l'axe la fait avancer (puissance active). Le facteur de puissance est le "cosinus" de votre inefficacité !

Normes (la référence réglementaire)

Les fournisseurs d'électricité imposent aux clients industriels de maintenir un facteur de puissance élevé (typiquement \(\cos(\varphi) > 0.93\) ou \(\tan(\varphi) < 0.4\)). En cas de non-respect, une pénalité est facturée pour la consommation excessive d'énergie réactive. Cela incite les industriels à installer des batteries de condensateurs pour "relever" leur facteur de puissance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le déphasage \(\varphi\) se calcule par :

\[ \varphi = \arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right) \]

Le facteur de puissance (FP) est :

\[ FP = \cos(\varphi) = \frac{R}{Z} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le déphasage est constant, ce qui est une approximation valable pour un moteur fonctionnant à charge constante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résistance, \(R = 30 \, \Omega\)
  • Réactance inductive, \(L\omega = 37.7 \, \Omega\) (de Q1)
  • Module de l'impédance, \(Z = 48.18 \, \Omega\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculer le facteur de puissance avec \(R/Z\) est souvent plus rapide et moins sujet aux erreurs d'arrondi que de calculer d'abord l'angle \(\varphi\) avec l'arctangente puis de prendre son cosinus. C'est une vérification utile.

Schéma (Avant les calculs)
Déphasage Tension-Courant
Tension V(t)Courant I(t)φ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du déphasage \(\varphi\) :

\[ \begin{aligned} \varphi &= \arctan\left(\frac{37.7 \, \Omega}{30 \, \Omega}\right) \\ &= \arctan(1.257) \\ &\approx 51.5^\circ \end{aligned} \]

2. Calcul du facteur de puissance \(FP\) :

\[ \begin{aligned} FP &= \cos(\varphi) \\ &= \cos(51.5^\circ) \\ &\approx 0.622 \end{aligned} \]

Vérification avec l'autre formule :

\[ \begin{aligned} FP &= \frac{R}{Z} \\ &= \frac{30 \, \Omega}{48.18 \, \Omega} \\ &\approx 0.622 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Facteur de Puissance
RX_LZφ≈51.5°FP = cos(φ) ≈ 0.622
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le facteur de puissance de 0.622 est très faible. Il est typique d'un moteur fonctionnant à faible charge. Cela signifie que pour 1 kVA de puissance apparente fournie par le réseau, seulement 622 W sont convertis en puissance active utile. Le reste (environ 783 var) est de la puissance réactive "brassée" inutilement sur le réseau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" si vous voulez le résultat en degrés. Une erreur fréquente est de faire le calcul en radians. De plus, ne confondez pas le déphasage \(\varphi\) et son cosinus, le facteur de puissance.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le déphasage \(\varphi\) est l'angle de l'impédance.
  • Le facteur de puissance est \(FP = \cos(\varphi) = R/Z\).
  • Un FP faible est indésirable pour les installations industrielles.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour corriger un mauvais facteur de puissance dû à des moteurs (charge inductive), on installe des batteries de condensateurs en parallèle. La puissance réactive "fournie" par les condensateurs compense celle "consommée" par les moteurs, ce qui réduit la puissance réactive totale appelée sur le réseau et améliore le FP global de l'installation.

FAQ (pour lever les doutes)
Le facteur de puissance peut-il être négatif ?

Non, le facteur de puissance est défini comme le cosinus de l'angle, il est donc compris entre 0 et 1. On précise parfois s'il est "inductif" (courant en retard, cas des moteurs) ou "capacitif" (courant en avance, cas des condensateurs), mais la valeur numérique reste positive.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le déphasage est \(\varphi \approx 51.5^\circ\) et le facteur de puissance est \(FP \approx 0.622\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si R=40 \(\Omega\) et Z=50 \(\Omega\), quel serait le facteur de puissance ?

Question 4 : Calculer la puissance active \(P\) consommée par le moteur

Principe (le concept physique)

La puissance active P est la seule puissance qui produit un effet tangible et durable : du travail mécanique et de la chaleur par effet Joule. C'est la moyenne temporelle de la puissance instantanée \(p(t) = v(t) \cdot i(t)\) sur une période. C'est cette puissance qui est mesurée par un compteur électrique et facturée à l'utilisateur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La puissance active peut se calculer de deux manières principales. Soit à partir des grandeurs globales du circuit : \(P = V_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \cos(\varphi)\). Soit en considérant que seule la résistance dissipe de la puissance active : \(P = R \cdot I_{\text{eff}}^2\). Les deux formules doivent donner le même résultat et sont une bonne façon de vérifier les calculs.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La puissance active est la "vraie" puissance, celle qui coûte de l'argent. La puissance réactive est nécessaire au fonctionnement de la machine, mais elle est "gratuite" dans son principe (elle est échangée avec le réseau). Cependant, la transporter sur les lignes cause des pertes, c'est pourquoi les fournisseurs la facturent indirectement via des pénalités si le facteur de puissance est trop bas.

Normes (la référence réglementaire)

La plaque signalétique d'un moteur électrique, réglementée par les normes CEI, indique toujours sa puissance mécanique utile sur l'arbre (en kW ou ch), et non sa puissance électrique active consommée. La puissance active sera toujours supérieure en raison du rendement du moteur (\(P_{\text{active}} = P_{\text{utile}} / \eta\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule générale :

\[ P = V_{\text{eff}} \cdot I \cdot FP \]

Formule par effet Joule :

\[ P = R \cdot I^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On calcule la puissance électrique totale absorbée par le modèle R-L. Cette puissance se décompose en pertes par effet Joule dans les enroulements (représentées par R) et en puissance mécanique transmise à l'arbre (également modélisée dans la partie résistive du circuit).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Tension efficace, \(V_{\text{eff}} = 230 \, \text{V}\)
  • Courant efficace, \(I = 4.77 \, \text{A}\) (de Q2)
  • Facteur de puissance, \(FP = 0.622\) (de Q3)
  • Résistance, \(R = 30 \, \Omega\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule \(P = R \cdot I^2\) est souvent la plus directe si le courant a déjà été calculé. Elle évite d'utiliser le facteur de puissance, qui peut contenir des erreurs d'arrondi provenant du calcul de l'angle.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle des Puissances
P = ?QSφ
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Avec la formule générale :

\[ \begin{aligned} P &= V_{\text{eff}} \cdot I \cdot FP \\ &= 230 \, \text{V} \cdot 4.77 \, \text{A} \cdot 0.622 \\ &\approx 682.4 \, \text{W} \end{aligned} \]

2. Vérification avec la formule de l'effet Joule :

\[ \begin{aligned} P &= R \cdot I^2 \\ &= 30 \, \Omega \cdot (4.77 \, \text{A})^2 \\ &= 30 \cdot 22.75 \, \text{W} \\ &\approx 682.5 \, \text{W} \end{aligned} \]

Les deux résultats sont cohérents.

Schéma (Après les calculs)
Triangle des Puissances (valeurs)
P ≈ 682 WQSφ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moteur consomme une puissance active de 682 W. C'est cette valeur qui sera enregistrée par un wattmètre et qui servira de base pour la facturation de l'énergie (en kWh). Cette puissance est convertie en chaleur (pertes) et en puissance mécanique sur l'arbre du moteur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais confondre la puissance active P (en W) et la puissance apparente S (en VA). Calculer la puissance comme \(P = V_{\text{eff}} \cdot I\) est une erreur très grave en régime sinusoïdal pour des charges non résistives. C'est oublier le facteur de puissance, qui est essentiel.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La puissance active est la puissance "utile" : \(P = V_{\text{eff}} I \cos(\varphi)\).
  • Elle est uniquement dissipée dans la partie résistive du circuit : \(P = R I^2\).
  • C'est la puissance qui est facturée en kWh.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les variateurs de fréquence modernes qui pilotent les moteurs asynchrones utilisent des onduleurs à base de transistors de puissance (IGBT). En découpant la tension à haute fréquence (technique MLI/PWM), ils peuvent non seulement faire varier la vitesse du moteur, mais aussi contrôler le courant absorbé pour le maintenir quasi-sinusoïdal et en phase avec la tension, atteignant ainsi un facteur de puissance proche de 1.

FAQ (pour lever les doutes)
Où va la puissance réactive Q ?

Elle n'est pas "consommée". Elle est échangée de manière périodique entre la source et la charge inductive (le moteur). Pendant un quart de période, le réseau fournit de l'énergie pour créer le champ magnétique dans la bobine. Pendant le quart de période suivant, la bobine restitue cette énergie au réseau. Cet "aller-retour" permanent de puissance ne produit pas de travail, mais charge les lignes de transport inutilement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La puissance active consommée par le moteur est d'environ 682 W.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le courant était de 5 A et la résistance de 25 \(\Omega\), quelle serait la puissance active P en Watts ?

Outil Interactif : Triangle des Puissances

Modifiez les paramètres du moteur pour visualiser leur influence sur les différentes puissances.

Paramètres d'Entrée
230 V
30 \(\Omega\)
120 mH
Résultats Clés
Puissance Active (P) -
Puissance Réactive (Q) -
Puissance Apparente (S) -
Facteur de Puissance (FP) -

Le Saviez-Vous ?

Le terme "cheval-vapeur" (ch), encore parfois utilisé pour la puissance des moteurs thermiques, est une ancienne unité. La conversion officielle est 1 ch ≈ 735.5 Watts. Notre moteur de 682 W développerait donc un peu moins d'un cheval-vapeur en puissance électrique consommée.

Est-ce que la puissance réactive est de l'énergie perdue ?

Non, ce n'est pas de l'énergie "perdue" au sens de dissipée en chaleur. C'est de l'énergie qui fait des allers-retours entre la source et la charge. Cependant, ces allers-retours provoquent des pertes par effet Joule dans les lignes de transport (\(P_{\text{pertes}} = R_{\text{ligne}} \cdot I^2\)). C'est pourquoi les fournisseurs d'électricité cherchent à la minimiser chez leurs clients.

Comment mesure-t-on la puissance active en pratique ?

On utilise un appareil appelé wattmètre. Les compteurs électriques modernes, comme le Linky en France, sont des wattmètres-horaires : ils mesurent la puissance active à chaque instant et l'intègrent au cours du temps pour calculer l'énergie consommée en kilowatt-heures (kWh), qui est l'unité de facturation.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le facteur de puissance d'une installation est très faible (proche de 0), cela signifie que...

2. Pour améliorer le facteur de puissance d'un atelier rempli de moteurs, on doit ajouter...

Puissance Active (P)
Puissance moyenne réellement consommée par un circuit, transformée en travail ou en chaleur. Unité : Watt (W).
Puissance Réactive (Q)
Puissance échangée entre la source et les éléments réactifs (bobines, condensateurs) du circuit. Unité : Voltampère Réactif (var).
Puissance Apparente (S)
Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. C'est la puissance maximale que la source doit être capable de fournir. Unité : Voltampère (VA).
Facteur de Puissance (FP)
Rapport P/S, égal au cosinus du déphasage entre la tension et le courant. Il mesure l'efficacité de la transmission de puissance.
Calcul de la Puissance Active d'un Moteur Asynchrone

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