Circuits Électriques

Réponse impulsionnelle d’un circuit RC

Physique : Réponse Impulsionnelle d'un Circuit du Premier Ordre

Réponse impulsionnelle d'un circuit du premier ordre (RC)

Contexte : La "Signature" d'un Circuit

Imaginez frapper une cloche avec un marteau. Le son bref et riche que vous entendez est sa "réponse impulsionnelle" ; c'est sa signature acoustique. En électricité, on peut faire de même avec un circuit. En lui appliquant une "impulsion" de tension (un pic de tension très bref et très intense, modélisé par une distribution de DiracObjet mathématique représentant une impulsion d'aire unité, de durée nulle et d'amplitude infinie. Sert à modéliser des phénomènes très brefs et intenses.), on observe comment le circuit "résonne" naturellement. Cette réponse, appelée réponse impulsionnelleLa sortie d'un système lorsqu'il est soumis à une impulsion de Dirac en entrée. C'est une caractéristique fondamentale qui définit entièrement le comportement du système., est la véritable signature du circuit. Pour un circuit RC, elle se manifeste par une décharge exponentielle, dont la vitesse est dictée par la constante de tempsCaractéristique d'un système du premier ordre qui représente le temps nécessaire pour que la réponse atteigne environ 63% de sa valeur finale (pour une charge) ou tombe à 37% de sa valeur initiale (pour une décharge)..

Remarque Pédagogique : La réponse impulsionnelle est un concept fondamental en automatique et en traitement du signal. La connaître permet de prédire la réponse du circuit à n'importe quel signal d'entrée ! C'est un outil d'analyse extraordinairement puissant.

Objectifs Pédagogiques

  • Définir et calculer la constante de temps \(\tau\) d'un circuit RC.
  • Établir l'équation différentielle régissant la tension aux bornes du condensateur.
  • Comprendre l'effet d'une impulsion de Dirac sur les conditions initiales du circuit.
  • Déterminer et tracer la réponse impulsionnelle d'un circuit du premier ordre.
  • Analyser l'influence de R et C sur la rapidité de la réponse.

Données de l'étude

On considère un circuit RC série, initialement au repos (condensateur déchargé). À l'instant \(t=0\), on applique à ses bornes une impulsion de tension \(e(t) = E_0 \delta(t)\), où \(\delta(t)\) est la distribution de Dirac.

Schéma du Circuit RC Série
+ - e(t) R C u_C(t)

Données :

  • Résistance : \(R = 10 \, \text{k}\Omega\)
  • Capacité : \(C = 20 \, \mu\text{F}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
  2. Établir l'équation différentielle reliant la tension aux bornes du condensateur \(u_C(t)\) à la tension d'entrée \(e(t)\).
  3. Déterminer la condition initiale \(u_C(0^+)\) juste après l'impulsion.
  4. En déduire l'expression de la réponse impulsionnelle \(h(t) = u_C(t)\) pour \(t > 0\).

Correction : Réponse impulsionnelle d'un circuit RC

Question 1 : Constante de Temps \(\tau\)

Principe :
37% Décharge en \(\tau\)

La constante de temps \(\tau\) (tau) est la caractéristique fondamentale d'un circuit du premier ordre. Elle représente la "vitesse" à laquelle le circuit réagit. Pour une décharge, c'est le temps au bout duquel la tension a chuté à environ 37% (soit \(1/e\)) de sa valeur initiale. Elle est simplement le produit de la résistance et de la capacité.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Une petite constante de temps signifie que le circuit est "rapide" : il se charge et se décharge vite. Une grande constante de temps signifie qu'il est "lent". C'est le paramètre le plus important pour comprendre le comportement temporel du circuit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau = R \times C \]
Donnée(s) :
  • Résistance \(R = 10 \, \text{k}\Omega = 10 \times 10^3 \, \Omega\)
  • Capacité \(C = 20 \, \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \tau &= (10 \times 10^3) \times (20 \times 10^{-6}) \\ &= 200 \times 10^{-3} \\ &= 0.2 \, \text{s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Préfixes des unités : L'erreur classique est de multiplier \(10 \times 20\) sans tenir compte des préfixes "kilo" (\(10^3\)) et "micro" (\(10^{-6}\)). La conversion en unités SI (Ohm, Farad) est indispensable pour obtenir un temps en secondes.

Le saviez-vous ?

On considère qu'un condensateur est pratiquement complètement déchargé (à 99.3%) au bout d'un temps égal à \(5\tau\). Dans notre cas, cela prendrait \(5 \times 0.2 = 1\) seconde.

FAQ en rapport avec la question :
Cette constante de temps s'applique-t-elle aussi à la charge ?

Oui, absolument. Lors de la charge à travers une résistance, la constante de temps \(\tau = RC\) est le temps nécessaire pour que la tension aux bornes du condensateur atteigne environ 63% (\(1 - 1/e\)) de la tension de la source. La physique sous-jacente est la même.

Résultat : La constante de temps du circuit est \(\tau = 0.2 \, \text{s}\).

Question 2 : Équation Différentielle

Principe :

On applique la loi des mailles (ou loi des tensions de Kirchhoff) au circuit. La somme des tensions dans la boucle est nulle : \(e(t) - u_R(t) - u_C(t) = 0\). On exprime ensuite chaque tension en fonction de \(u_C(t)\) et de ses dérivées, en utilisant la loi d'Ohm pour la résistance (\(u_R = Ri\)) et la relation courant-tension pour le condensateur (\(i = C \frac{du_C}{dt}\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'équation différentielle est le "code génétique" du circuit. Elle contient toute l'information sur son comportement. La résoudre, c'est prédire l'évolution de la tension \(u_C(t)\) pour n'importe quelle entrée \(e(t)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ e(t) = u_R(t) + u_C(t) \]
\[ u_R(t) = R \cdot i(t) \]
\[ i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt} \]
Donnée(s) :

Aucune nouvelle donnée numérique n'est nécessaire, on effectue un calcul littéral.

Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} e(t) &= R \cdot i(t) + u_C(t) \\ e(t) &= R C \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) \end{aligned} \]

En divisant par RC, on obtient la forme canonique :

\[ \frac{du_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC} u_C(t) = \frac{1}{RC} e(t) \]
Points de vigilance :

Orientation des tensions et courants : Il est crucial de bien définir le sens des flèches pour les tensions et le courant sur le schéma. Une erreur d'orientation changerait le signe d'un des termes dans la loi des mailles.

Le saviez-vous ?

Cette équation est dite "du premier ordre" car la plus haute dérivée de la variable \(u_C(t)\) est la dérivée première. C'est pour cela qu'on parle de "circuit du premier ordre". Un circuit RLC, lui, est du second ordre.

FAQ en rapport avec la question :
Et si on s'intéressait à la tension \(u_R\) ?

On pourrait aussi établir une équation différentielle pour \(u_R\). En partant de \(u_C = e - u_R\) et en dérivant, puis en injectant dans la relation du condensateur, on trouverait une équation similaire pour \(u_R\), montrant que cette tension obéit à la même dynamique temporelle.

Résultat : L'équation différentielle est \(\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{\tau} u_C = \frac{1}{\tau} e(t)\).

Question 3 : Condition Initiale \(u_C(0^+)\)

Principe :
t=0 Impulsion Charge instantanée

La tension aux bornes d'un condensateur ne peut pas subir de discontinuité (sauf si le courant est infini). Cependant, une impulsion de Dirac en tension d'entrée va provoquer une impulsion de courant qui charge instantanément le condensateur. Pour trouver la tension \(u_C(0^+)\) juste après l'impulsion, on intègre l'équation différentielle entre \(0^-\) (juste avant) et \(0^+\) (juste après).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est le point le plus délicat. L'impulsion de Dirac est un outil mathématique qui "force" de l'énergie dans le circuit en un temps nul. Physiquement, cela correspond à injecter une quantité finie de charge \(\int i(t) dt\) sur une durée infiniment courte, ce qui fait "sauter" la tension du condensateur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \int_{0^-}^{0^+} \left( \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{\tau} u_C \right) dt = \int_{0^-}^{0^+} \frac{1}{\tau} E_0 \delta(t) dt \]
Donnée(s) :
  • Condition avant l'impulsion : \(u_C(0^-) = 0 \, \text{V}\) (circuit au repos)
  • Propriété de la distribution de Dirac : \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta(t)dt = f(0)\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \left[ u_C(t) \right]_{0^-}^{0^+} + \frac{1}{\tau} \int_{0^-}^{0^+} u_C(t) dt &= \frac{E_0}{\tau} \int_{0^-}^{0^+} \delta(t) dt \\ (u_C(0^+) - u_C(0^-)) + 0 &= \frac{E_0}{\tau} \times 1 \\ u_C(0^+) - 0 &= \frac{E_0}{\tau} \\ u_C(0^+) &= \frac{E_0}{RC} \end{aligned} \]

Note : L'intégrale \(\int_{0^-}^{0^+} u_C(t) dt\) est nulle car \(u_C(t)\) est une fonction finie que l'on intègre sur un intervalle de largeur nulle.

Résultat : La tension initiale aux bornes du condensateur est \(u_C(0^+) = \frac{E_0}{RC}\).

Question 4 : Réponse Impulsionnelle \(h(t)\)

Principe :

Pour \(t > 0\), la source de tension est nulle (\(e(t)=0\)). Le circuit est en régime libre. L'équation différentielle devient homogène : \(\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{\tau} u_C = 0\). Il s'agit de la décharge "naturelle" du condensateur dans la résistance, à partir de la tension initiale \(u_C(0^+)\) que nous venons de calculer.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La réponse impulsionnelle est la réponse en régime libre du système, mais avec des conditions initiales non nulles créées par l'impulsion elle-même. C'est la façon dont le système "revient au calme" après avoir été "frappé".

Formule(s) utilisée(s) :

La solution générale d'une équation de la forme \(y' + ay = 0\) est \(y(t) = K e^{-at}\).

Donnée(s) :
  • Équation pour \(t>0\) : \(\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{\tau} u_C = 0\)
  • Condition initiale : \(u_C(0^+) = \frac{E_0}{RC}\)
Calcul(s) :

La solution est de la forme \(u_C(t) = K e^{-t/\tau}\). On trouve la constante K avec la condition initiale :

\[ \begin{aligned} u_C(0^+) &= K e^{-0/\tau} = K \\ K &= \frac{E_0}{RC} \end{aligned} \]

Donc, la réponse impulsionnelle \(h(t)\) est :

\[ h(t) = u_C(t) = \frac{E_0}{RC} e^{-t/\tau} \quad \text{pour } t>0 \]
Résultat : La réponse impulsionnelle du circuit est \(h(t) = \frac{E_0}{\tau} e^{-t/\tau}\) pour \(t>0\).

Simulation Interactive de la Réponse Impulsionnelle

Faites varier les valeurs de R et C. Observez comment la constante de temps et la forme de la décharge exponentielle sont affectées. (On suppose \(E_0=1 \, \text{V.s}\) pour la simulation).

Paramètres du Circuit
Constante de Temps τ
Tension Initiale u_C(0+)
Graphique de la Réponse Impulsionnelle h(t)

Pour Aller Plus Loin : Lien avec la Réponse à un Échelon

La dérivée magique : Un résultat fondamental de la théorie des systèmes est que la réponse impulsionnelle est la dérivée de la réponse à un échelon (un signal qui passe de 0 à une valeur constante E à t=0). Pour un circuit RC, la réponse à un échelon est \(u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})\). Si vous dérivez cette expression par rapport au temps, vous retrouverez bien une expression proportionnelle à \(e^{-t/\tau}\), qui est la forme de notre réponse impulsionnelle !

Le Saviez-Vous ?

En traitement d'images, les filtres de flou (comme le flou gaussien) sont définis par leur réponse impulsionnelle. Appliquer un filtre de flou à une image revient à "convoluer" chaque pixel de l'image avec la réponse impulsionnelle du filtre. Le concept est donc utilisé bien au-delà des circuits électriques.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une impulsion de Dirac en réalité ?

L'impulsion de Dirac est un modèle mathématique idéal. En pratique, on ne peut pas créer un signal de durée nulle et d'amplitude infinie. Cependant, si on applique un pic de tension très court (durée bien plus petite que la constante de temps \(\tau\)) et d'aire (Tension × temps) finie, la réponse du circuit sera quasiment identique à la réponse impulsionnelle théorique.

Pourquoi la réponse impulsionnelle est-elle si importante ?

Parce qu'elle caractérise complètement un système linéaire. Si on connaît la réponse impulsionnelle \(h(t)\) d'un circuit, on peut calculer sa réponse \(s(t)\) à n'importe quel signal d'entrée \(e(t)\) en utilisant une opération mathématique appelée "produit de convolution" : \(s(t) = e(t) * h(t)\). C'est la base de l'analyse des systèmes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. On double la valeur de la résistance R dans un circuit RC. La constante de temps \(\tau\) :

2. La réponse impulsionnelle d'un circuit RC est une exponentielle décroissante. Si on veut que la tension chute plus rapidement, il faut :

Glossaire

Réponse Impulsionnelle \(h(t)\)
La sortie d'un système (ici, \(u_C(t)\)) lorsque l'entrée est une impulsion de Dirac \(\delta(t)\). C'est la "signature" du système.
Constante de Temps (\(\tau\))
Pour un circuit RC, \(\tau=RC\). Elle caractérise la rapidité de la réponse transitoire (charge ou décharge).
Circuit du Premier Ordre
Un circuit dont le comportement est décrit par une équation différentielle linéaire du premier ordre. Exemple type : circuit RC ou RL.
Distribution de Dirac (\(\delta(t)\))
Un signal théorique de durée nulle, d'amplitude infinie, mais dont l'aire est égale à 1. Il modélise une impulsion parfaite.
Réponse impulsionnelle d'un circuit du premier ordre (RC)

D’autres exercices de Phénomènes transitoires:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *