Circuits Électriques

Réponse indicielle d’un circuit du premier ordre (RL)

Physique : Réponse Indicielle d'un Circuit du Premier Ordre (RL)

Réponse indicielle d'un circuit du premier ordre (RL)

Contexte : L'Inertie Électrique

Lorsqu'on soumet un circuit RL à un échelon de tension (c'est-à-dire qu'on le branche brusquement à une pile), le courant ne s'établit pas instantanément. La bobineComposant qui stocke l'énergie sous forme de champ magnétique. Elle s'oppose aux variations de courant., par son inductance, s'oppose à la variation du courant qui la traverse. Elle agit comme une sorte d' "inertie" électrique. Le courant va donc augmenter progressivement, suivant une courbe exponentielle, pour atteindre sa valeur finale déterminée par la résistance. La vitesse de cet établissement est gouvernée par la constante de tempsCaractéristique d'un système du premier ordre. Pour un circuit RL, τ = L/R. C'est le temps nécessaire pour que le courant atteigne 63% de sa valeur finale. du circuit. Cet exercice a pour but d'étudier et de quantifier ce phénomène transitoire.

Remarque Pédagogique : Comprendre la réponse d'un circuit RL à un échelon est fondamental. Ce comportement se retrouve dans de nombreux dispositifs, des électroaimants aux moteurs électriques, en passant par les alimentations à découpage. C'est le dual du circuit RC : ici, c'est le courant qui est "lissé" dans le temps, alors que pour le RC, c'est la tension.

Objectifs Pédagogiques

  • Définir et calculer la constante de temps \(\tau\) d'un circuit RL.
  • Établir l'équation différentielle régissant le courant dans le circuit.
  • Déterminer les conditions initiales et finales du système.
  • Trouver l'expression complète de la réponse indicielle \(i(t)\).
  • Analyser l'influence de R et L sur l'établissement du courant.

Données de l'étude

On considère un circuit RL série, initialement au repos (aucun courant ne circule). À l'instant \(t=0\), on ferme un interrupteur qui connecte le circuit à un générateur de tension idéal de f.é.m. \(E\).

Schéma du Circuit RL Série
+ - E t=0 R L i(t)

Données :

  • Tension de la source : \(E = 12 \, \text{V}\)
  • Résistance : \(R = 100 \, \Omega\)
  • Inductance : \(L = 50 \, \text{mH}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
  2. Établir l'équation différentielle régissant le courant \(i(t)\) dans le circuit pour \(t \ge 0\).
  3. Déterminer la valeur du courant initial \(i(0^+)\) et la valeur du courant final \(i(+\infty)\) en régime permanent.
  4. Trouver l'expression complète de la réponse indicielle \(i(t)\) pour \(t \ge 0\).

Correction : Réponse indicielle d'un circuit RL

Question 1 : Constante de Temps \(\tau\)

Principe :
\(I_{final}\) Établissement du courant

La constante de temps \(\tau\) pour un circuit RL caractérise la rapidité avec laquelle le courant s'établit. C'est le temps nécessaire pour que le courant atteigne environ 63% (\(1 - 1/e\)) de sa valeur finale. Elle dépend de l'inductance (l'inertie) et de la résistance (la "friction").

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Contrairement au circuit RC où \(\tau = RC\), pour un circuit RL, la constante de temps est \(\tau = L/R\). Une grande inductance (forte inertie) ou une faible résistance (faible friction) mènent à un temps d'établissement plus long.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau = \frac{L}{R} \]
Donnée(s) :
  • Inductance \(L = 50 \, \text{mH} = 50 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
  • Résistance \(R = 100 \, \Omega\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \tau &= \frac{50 \times 10^{-3}}{100} \\ &= 0.5 \times 10^{-3} \, \text{s} \\ &= 0.5 \, \text{ms} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités et rapport : Assurez-vous que l'inductance est en Henry (H) et la résistance en Ohm (\(\Omega\)) pour obtenir un temps en secondes. Ne confondez pas avec la formule du circuit RC (\(RC\)) ; ici, il s'agit bien d'un rapport (\(L/R\)).

Le saviez-vous ?

Une constante de temps de 0.5 ms est très courte. C'est typique des circuits électroniques. Dans les gros électroaimants industriels, la constante de temps peut atteindre plusieurs secondes, voire des minutes !

FAQ en rapport avec la question :
L'unité de L/R est-elle bien une seconde ?

Oui. L'unité du Henry (H) est le \(\text{V} \cdot \text{s} / \text{A}\) et celle de l'Ohm (\(\Omega\)) est le \(\text{V} / \text{A}\). Le rapport \( ( \text{V} \cdot \text{s} / \text{A} ) / ( \text{V} / \text{A} ) \) se simplifie bien en secondes (\(\text{s}\)).

Résultat : La constante de temps du circuit est \(\tau = 0.5 \, \text{ms}\).

Question 2 : Équation Différentielle

Principe :

On applique la loi des mailles pour \(t \ge 0\). La tension du générateur est égale à la somme des tensions aux bornes de la résistance et de la bobine : \(E = u_R(t) + u_L(t)\). On utilise ensuite la loi d'Ohm (\(u_R = Ri\)) et la relation tension-courant pour une bobine idéale (\(u_L = L \frac{di}{dt}\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette équation lie le courant \(i(t)\) à sa propre variation (\(di/dt\)). C'est cette dépendance qui crée le comportement transitoire et empêche le courant de s'établir instantanément.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E = u_R(t) + u_L(t) \]
\[ u_R(t) = R \cdot i(t) \]
\[ u_L(t) = L \frac{di(t)}{dt} \]
Donnée(s) :

Calcul purement littéral.

Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} E &= R i(t) + L \frac{di(t)}{dt} \end{aligned} \]

En divisant par R, on obtient la forme canonique :

\[ \frac{L}{R} \frac{di(t)}{dt} + i(t) = \frac{E}{R} \] \[ \tau \frac{di(t)}{dt} + i(t) = \frac{E}{R} \]
Résultat : L'équation différentielle est \(\tau \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R}\).

Question 3 : Conditions Initiale et Finale

Principe :

Condition initiale \(i(0^+)\) : Le courant qui traverse une bobine est une fonction continue. Il ne peut pas changer instantanément. Comme le circuit était au repos avant \(t=0\), le courant était nul. Il le reste donc juste après la fermeture de l'interrupteur.
Condition finale \(i(+\infty)\) : Après un temps très long (\(t \to +\infty\)), le circuit atteint son régime permanent. Le courant devient constant. Si \(i\) est constant, sa dérivée \(di/dt\) est nulle. La bobine se comporte alors comme un simple fil.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La continuité du courant dans une bobine est le principe dual de la continuité de la tension aux bornes d'un condensateur. C'est la manifestation de l' "inertie" de la bobine : on ne peut pas mettre en mouvement (créer un courant) une masse (l'énergie magnétique) instantanément.

Formule(s) utilisée(s) :

On utilise l'équation différentielle en régime permanent (\(di/dt = 0\)).

Donnée(s) :
  • Courant avant fermeture : \(i(0^-) = 0 \, \text{A}\)
  • Tension de la source : \(E = 12 \, \text{V}\)
  • Résistance : \(R = 100 \, \Omega\)
Calcul(s) :

Courant initial : Par continuité du courant dans la bobine :

\[ i(0^+) = i(0^-) = 0 \, \text{A} \]

Courant final : En régime permanent, \(di/dt = 0\). L'équation différentielle devient :

\[ \begin{aligned} \tau \times 0 + i(+\infty) &= \frac{E}{R} \\ i(+\infty) &= \frac{12}{100} = 0.12 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat : Le courant initial est \(i(0^+) = 0 \, \text{A}\) et le courant final est \(i(+\infty) = 0.12 \, \text{A}\) (ou 120 mA).

Question 4 : Réponse Indicielle \(i(t)\)

Principe :

La solution de l'équation différentielle \( \tau \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R} \) est la somme de deux termes : la solution de l'équation homogène (sans second membre), qui est une exponentielle décroissante, et une solution particulière constante (le régime permanent). La forme générale est \(i(t) = K e^{-t/\tau} + i(+\infty)\). On détermine la constante d'intégration \(K\) à l'aide de la condition initiale \(i(0^+)\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La solution montre bien comment le courant part de sa valeur initiale (\(i(0^+)\)) et tend exponentiellement vers sa valeur finale (\(i(+\infty)\)) avec une "vitesse" définie par \(\tau\).

Formule(s) utilisée(s) :

Solution générale : \(i(t) = K e^{-t/\tau} + \frac{E}{R}\)

Donnée(s) :
  • Condition initiale : \(i(0^+) = 0 \, \text{A}\)
  • Courant final : \(i(+\infty) = E/R = 0.12 \, \text{A}\)
  • Constante de temps : \(\tau = 0.5 \, \text{ms}\)
Calcul(s) :

On applique la condition initiale à la solution générale :

\[ \begin{aligned} i(0^+) &= K e^{-0/\tau} + \frac{E}{R} \\ 0 &= K \times 1 + \frac{E}{R} \\ K &= -\frac{E}{R} \end{aligned} \]

On remplace K dans la solution générale :

\[ \begin{aligned} i(t) &= -\frac{E}{R} e^{-t/\tau} + \frac{E}{R} \\ i(t) &= \frac{E}{R} (1 - e^{-t/\tau}) \end{aligned} \]

Avec les valeurs numériques :

\[ i(t) = 0.12 (1 - e^{-t/0.0005}) \, \text{A} \]
Résultat : La réponse indicielle du circuit est \(i(t) = \frac{E}{R} (1 - e^{-t/\tau})\).

Simulation Interactive de la Réponse Indicielle

Faites varier les valeurs de R et L. Observez comment la constante de temps et la vitesse d'établissement du courant sont affectées.

Paramètres du Circuit
Constante de Temps τ
Courant Final I_final
Graphique du Courant i(t)

Pour Aller Plus Loin : Énergie Stockée

L'énergie de la bobine : Pendant que le courant s'établit, la bobine emmagasine de l'énergie sous forme magnétique. Cette énergie est donnée par la formule \(E_L = \frac{1}{2} L i^2\). En régime permanent, lorsque le courant atteint sa valeur maximale \(I_{final} = E/R\), l'énergie stockée est maximale et vaut \(E_{L,max} = \frac{1}{2} L (E/R)^2\). C'est cette énergie qui sera restituée (souvent sous forme d'étincelle aux bornes de l'interrupteur) si on ouvre le circuit brusquement.

Le Saviez-Vous ?

Le principe de l'établissement progressif du courant dans une bobine est utilisé dans les "starters" des anciens tubes fluorescents (néons). Une bobine (le "ballast") est utilisée pour créer une haute tension lors de la coupure du courant, ce qui permet d'amorcer le gaz dans le tube.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la bobine n'est pas au repos au départ ?

Si un courant \(i(0^-) = I_0\) circulait déjà dans la bobine, la condition initiale serait \(i(0^+) = I_0\). La forme de la solution serait la même, \(i(t) = K e^{-t/\tau} + E/R\), mais la constante K serait différente, calculée avec \(i(0^+) = I_0\). Le courant partirait de \(I_0\) pour tendre vers \(E/R\).

Pourquoi la bobine se comporte-t-elle comme un fil en régime permanent ?

La tension aux bornes de la bobine est \(u_L = L \frac{di}{dt}\). En régime permanent continu, le courant \(i\) est constant, donc sa dérivée \(di/dt\) est nulle. Par conséquent, \(u_L = 0\). Une tension nulle aux bornes d'un composant signifie qu'il se comporte comme un court-circuit, c'est-à-dire un simple fil.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un circuit RL, si on double l'inductance L, le temps nécessaire pour atteindre le régime permanent :

2. Juste après la fermeture de l'interrupteur (\(t=0^+\)), la bobine se comporte comme :

Glossaire

Réponse Indicielle
La sortie d'un système (ici, le courant \(i(t)\)) lorsque l'entrée est un échelon de tension (un signal qui passe de 0 à une valeur constante E).
Constante de Temps (\(\tau\))
Pour un circuit RL, \(\tau=L/R\). Elle caractérise la rapidité de l'établissement du courant.
Régime Transitoire
La phase durant laquelle les grandeurs du circuit (tension, courant) évoluent entre un état initial et un état final stable.
Régime Permanent
L'état stable atteint par le circuit après la fin du régime transitoire (\(t \to +\infty\)).
Réponse indicielle d'un circuit du premier ordre (RL)
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