Simplifier un circuit avec des résistances en parallèle
Contexte : L'analyse des circuits électriques est fondamentale en ingénierie. Une compétence essentielle est la capacité à simplifier des réseaux de composants pour en déterminer les caractéristiques globales, comme la résistance équivalenteLa valeur unique de résistance qui aurait le même effet sur le circuit que l'ensemble des résistances qu'elle remplace..
Cet exercice se concentre sur les circuits contenant des résistances montées en parallèle. Comprendre comment les combiner est crucial pour analyser le comportement du courant et de la tension dans des circuits plus complexes, que l'on retrouve dans presque tous les appareils électroniques.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la résistance équivalente d'un groupe de résistances en parallèle, une étape indispensable pour appliquer des lois fondamentales comme la loi d'Ohm à l'ensemble d'un circuit.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion de montage en parallèle.
- Appliquer la formule de calcul de la résistance équivalente pour un circuit parallèle.
- Calculer le courant total traversant le circuit simplifié.
- Déterminer le courant dans chaque branche du circuit.
- Calculer la puissance électrique dissipée par les composants.
Données de l'étude
Schéma du Circuit Électrique
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension d'alimentation | V | 12 | Volts (V) |
| Résistance 1 | R₁ | 20 | Ohms (Ω) |
| Résistance 2 | R₂ | 30 | Ohms (Ω) |
| Résistance 3 | R₃ | 60 | Ohms (Ω) |
Questions à traiter
- Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) du circuit.
- En utilisant la loi d'Ohm, calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) qui sort de la source de tension.
- Calculer le courant qui traverse chaque résistance (\(I_1\), \(I_2\), et \(I_3\)).
- Calculer la puissance dissipée par chaque résistance (\(P_1\), \(P_2\), et \(P_3\)) ainsi que la puissance totale (\(P_{\text{total}}\)) fournie par la source.
Les bases de l'électricité
Pour résoudre cet exercice, plusieurs concepts clés de l'électricité sont nécessaires.
1. Résistances en Parallèle
Lorsque plusieurs résistances sont connectées en parallèle, l'inverse de la résistance équivalente (\(1/R_{\text{eq}}\)) est égal à la somme des inverses de chaque résistance. Le courant a plusieurs chemins possibles. La formule est :
\[ \frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} \]
2. Loi d'Ohm
La loi d'Ohm établit une relation entre la tension (V), le courant (I) et la résistance (R) dans un circuit :
\[ V = R \times I \]
3. Puissance Électrique
La puissance (P) dissipée par un composant est le produit de la tension à ses bornes et du courant qui le traverse. Elle se mesure en Watts (W).
\[ P = V \times I \]
En combinant avec la loi d'Ohm, on obtient deux autres formules utiles : \(P = V^2 / R\) et \(P = I^2 \times R\).
Correction : Simplifier un circuit avec des résistances en parallèle
Question 1 : Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\))
Principe
Le concept physique est de remplacer un groupe de résistances par une seule résistance "équivalente" qui aurait le même effet sur le reste du circuit. Dans un montage parallèle, on offre plusieurs chemins au courant, ce qui facilite son passage et donc diminue la résistance globale.
Mini-Cours
L'inverse de la résistance (\(1/R\)) est appelé la conductance (G), mesurée en Siemens (S). La formule des résistances en parallèle signifie simplement que les conductances s'additionnent : \(G_{\text{eq}} = G_1 + G_2 + G_3\). C'est une manière plus intuitive de voir pourquoi la résistance équivalente diminue.
Remarque Pédagogique
Imaginez des caisses de supermarché. S'il n'y a qu'une caisse (une résistance), le flux de clients (le courant) est limité. Si on ouvre trois caisses en parallèle, le flux total de clients augmente considérablement. La "résistance" globale du supermarché au passage des clients a donc diminué.
Normes
Les formules utilisées ici sont des lois fondamentales de l'électrocinétique. Les symboles (V, I, R, Ω) sont standardisés au niveau international par la Commission Électrotechnique Internationale (CEI).
Formule(s)
L'outil mathématique pour cette question est la formule d'addition des conductances.
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses d'un circuit idéal :
- Les fils de connexion ont une résistance nulle.
- Les résistances ont une valeur stable et précise (pas d'effet de la température).
Donnée(s)
Ce sont les chiffres d'entrée du problème.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance 1 | R₁ | 20 | Ω |
| Résistance 2 | R₂ | 30 | Ω |
| Résistance 3 | R₃ | 60 | Ω |
Astuces
Pour deux résistances en parallèle, on peut utiliser la formule "produit sur somme" : \(R_{\text{eq}} = (R_1 \times R_2) / (R_1 + R_2)\). Vous pouvez l'appliquer successivement : d'abord R₂ et R₃, puis le résultat avec R₁.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma initial montre les trois chemins possibles pour le courant.
Circuit Initial
Calcul(s)
On applique la formule en mettant les fractions au même dénominateur (60).
On inverse ensuite le résultat pour trouver \(R_{\text{eq}}\).
Schéma (Après les calculs)
Le circuit est maintenant simplifié à son expression la plus simple.
Circuit Équivalent
Réflexions
Le résultat (10 Ω) est inférieur à la plus petite des résistances (20 Ω). C'est une confirmation logique : en offrant plus de chemins, on a facilité le passage du courant, donc la résistance globale a diminué.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'inverser le résultat final. On calcule \(1/R_{\text{eq}} = 1/10\), et on donne 0.1 Ω comme réponse. Il faut toujours faire l'étape finale \(R_{\text{eq}} = 1 / (1/10) = 10\) Ω.
Points à retenir
- En parallèle, les conductances (\(1/R\)) s'ajoutent.
- La résistance équivalente est toujours plus petite que la plus petite des résistances de la branche.
Le saviez-vous ?
C'est le principe du montage en parallèle qui est utilisé dans les installations électriques domestiques. Chaque appareil que vous branchez est ajouté en parallèle, ce qui permet à chacun de recevoir la même tension (230V en Europe) indépendamment des autres.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si R₁ était de 10 Ω au lieu de 20 Ω, quelle serait la nouvelle résistance équivalente ?
Question 2 : Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\))
Principe
Maintenant que le circuit est simplifié à son équivalent le plus simple (une source, une résistance), nous pouvons appliquer la loi la plus fondamentale de l'électricité, la loi d'Ohm, pour trouver la relation directe entre la tension de la source et le courant qu'elle débite.
Mini-Cours
La loi d'Ohm (\(V=RI\)) décrit le comportement des matériaux "ohmiques". Pour une tension donnée, la résistance est l'opposition au passage du courant. Moins il y a de résistance, plus le courant sera élevé. C'est une relation de proportionnalité inverse entre R et I.
Remarque Pédagogique
Pensez à la loi d'Ohm comme à une recette de cuisine. Si vous voulez un certain résultat (le courant I), vous devez utiliser les bons ingrédients (la tension V et la résistance R). Pour le courant TOTAL, il faut utiliser la résistance TOTALE (équivalente).
Normes
La loi d'Ohm est une loi physique empirique, nommée d'après Georg Ohm. Elle est universellement reconnue et fondamentale à toute analyse de circuit.
Formule(s)
On utilise la loi d'Ohm, réarrangée pour isoler le courant I.
Hypothèses
Nous supposons que la source de tension est idéale, c'est-à-dire qu'elle peut fournir n'importe quel courant tout en maintenant sa tension de 12V constante.
Donnée(s)
Nous utilisons la tension de la source et la résistance équivalente de la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension d'alimentation | V | 12 | V |
| Résistance Équivalente | \(R_{\text{eq}}\) | 10 | Ω |
Astuces
Avant de calculer, faites une estimation. 12V / 10Ω est un calcul simple. Le résultat devrait être un peu plus grand que 1. Cela permet de repérer rapidement les erreurs de calcul grossières (par exemple si vous trouvez 0.012 A ou 120 A).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma pertinent est le circuit simplifié, où l'on cherche le courant qui en sort.
Circuit Équivalent avec Courant Total
Calcul(s)
L'application numérique est directe.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma est le même, mais nous pouvons maintenant y annoter la valeur calculée du courant.
Circuit Équivalent avec Valeur du Courant
Réflexions
Un courant de 1.2 Ampères est un courant significatif pour de nombreux circuits électroniques. Ce résultat nous donne une idée de la demande globale du circuit sur la source d'alimentation.
Points de vigilance
L'erreur classique ici serait d'utiliser une seule des résistances individuelles (par ex. 20 Ω) au lieu de la résistance équivalente pour calculer le courant total. Chaque résistance ne "voit" qu'une partie du courant total.
Points à retenir
- Le courant total dépend de la tension totale et de la résistance totale (équivalente).
- La loi d'Ohm est l'outil principal pour passer de la résistance au courant.
Le saviez-vous ?
L'Ampère (A), l'unité du courant, est nommée d'après André-Marie Ampère, un physicien français qui fut l'un des pionniers de l'électromagnétisme. L'une des sept unités de base du Système International.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la tension de la source était de 24 V, quel serait le nouveau courant total (avec \(R_{\text{eq}} = 10\) Ω) ?
Question 3 : Calculer le courant dans chaque résistance (\(I_1, I_2, I_3\))
Principe
Dans un montage en parallèle, les composants sont connectés entre les deux mêmes points (nœuds) du circuit. Par conséquent, la différence de potentiel, ou tension, est identique aux bornes de chaque branche. Cette tension commune est celle de la source d'alimentation.
Mini-Cours
La Loi des nœuds de Kirchhoff stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants qui en sortent. Dans notre cas, le courant total \(I_{\text{total}}\) entre dans le nœud supérieur, se divise en \(I_1, I_2, I_3\), qui se rejoignent ensuite au nœud inférieur. Donc, \(I_{\text{total}} = I_1 + I_2 + I_3\).
Remarque Pédagogique
Le courant se comporte comme l'eau dans une rivière qui se sépare en plusieurs bras. Le débit total se répartit, mais la différence d'altitude (la tension) entre le début et la fin est la même pour tous les bras. Le bras le plus large (plus faible résistance) laissera passer le plus d'eau (courant).
Normes
La Loi des nœuds de Kirchhoff est, avec la loi des mailles, l'un des deux principes fondamentaux de l'analyse des circuits électriques, formalisés par Gustav Kirchhoff.
Formule(s)
On applique la loi d'Ohm individuellement à chaque branche, en utilisant la tension de la source V.
Hypothèses
Nous supposons que la tension est parfaitement identique aux bornes de chaque branche, ce qui découle de l'hypothèse de fils à résistance nulle.
Donnée(s)
Nous avons besoin de la tension de la source et de la valeur de chaque résistance.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension | V | 12 | V |
| Résistance 1 | R₁ | 20 | Ω |
| Résistance 2 | R₂ | 30 | Ω |
| Résistance 3 | R₃ | 60 | Ω |
Astuces
Comme la tension est la même pour tous, le courant sera inversement proportionnel à la résistance. La plus petite résistance (R₁) aura le plus grand courant, et la plus grande (R₃) aura le plus petit courant. C'est un bon moyen de vérifier la cohérence de vos résultats.
Schéma (Avant les calculs)
On représente le courant total se divisant en trois courants de branche.
Division du Courant
Calcul(s)
On effectue le calcul pour chaque courant.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma est le même, mais nous pouvons y annoter les valeurs calculées.
Courants de Branche
Réflexions
La somme des courants de branche (\(0.6 + 0.4 + 0.2 = 1.2\) A) est bien égale au courant total. Cela valide nos calculs et illustre la loi des nœuds de Kirchhoff : ce qui entre doit sortir.
Points de vigilance
L'erreur à ne pas faire est d'utiliser le courant total pour calculer la tension aux bornes d'une seule résistance. Le courant total ne traverse AUCUNE des résistances individuelles, il se divise entre elles.
Points à retenir
- En parallèle, la tension est la même partout.
- Le courant total se divise entre les branches (Loi des Nœuds).
Le saviez-vous ?
Gustav Kirchhoff a formulé ses lois sur les circuits en 1845 alors qu'il n'était encore qu'un étudiant. Ces lois sont l'extension des travaux de Georg Ohm et sont fondamentales pour l'analyse de n'importe quel circuit électrique complexe.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si R₂ était de 120 Ω, quel serait le courant \(I_2\) ?
Question 4 : Calculer la puissance dissipée (\(P_1, P_2, P_3, P_{\text{total}}\))
Principe
L'énergie électrique fournie par la source n'est pas perdue ; elle est convertie en une autre forme d'énergie par les composants. Pour une résistance, cette énergie est transformée en chaleur. La puissance est le taux de cette conversion d'énergie (l'énergie par seconde).
Mini-Cours
La conservation de l'énergie est un principe fondamental de la physique. Dans un circuit électrique, cela signifie que la puissance totale fournie par la source doit être égale à la somme de toutes les puissances consommées ou dissipées par les composants du circuit. C'est un excellent moyen de vérifier l'exactitude des calculs.
Remarque Pédagogique
Choisir la bonne formule de puissance peut simplifier la vie. Comme la tension V est la même partout dans un circuit parallèle, la formule \(P = V^2 / R\) est souvent la plus directe, car elle ne nécessite pas de connaître le courant de chaque branche au préalable.
Normes
L'unité de puissance, le Watt (W), est nommée en l'honneur de l'ingénieur écossais James Watt pour ses contributions à la machine à vapeur. Elle est définie dans le Système International comme un Joule par seconde.
Formule(s)
Nous utiliserons \(P = V \times I\) pour chaque branche, et la même formule pour la puissance totale.
La puissance totale est la somme des puissances individuelles, ou peut être calculée avec les valeurs totales :
Hypothèses
Nous supposons que toute l'énergie électrique consommée par les résistances est entièrement convertie en chaleur (effet Joule), sans autre forme de perte d'énergie.
Donnée(s)
Nous utilisons la tension et les courants calculés dans les questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension | V | 12 | V |
| Courant 1 | \(I_1\) | 0.6 | A |
| Courant 2 | \(I_2\) | 0.4 | A |
| Courant 3 | \(I_3\) | 0.2 | A |
| Courant Total | \(I_{\text{total}}\) | 1.2 | A |
Astuces
La résistance qui a le plus grand courant (la plus petite résistance) dissipera le plus de puissance. C'est logique : c'est elle qui "travaille" le plus pour laisser passer le courant. Vérifiez que \(P_1\) est bien la plus grande puissance.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma du circuit initial est utilisé, où nous allons déterminer la puissance dissipée par chaque composant.
Circuit pour le calcul de puissance
Calcul(s)
On calcule la puissance pour chaque résistance, puis la puissance totale.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma peut être annoté avec les puissances dissipées.
Puissances Dissipées
Réflexions
La somme des puissances dissipées par chaque résistance (\(7.2 + 4.8 + 2.4 = 14.4\) W) est exactement égale à la puissance totale calculée à partir de la source (\(12 \text{ V} \times 1.2 \text{ A} = 14.4\) W). C'est une belle illustration de la conservation de l'énergie.
Points de vigilance
Attention à ne pas mélanger les courants. Pour calculer la puissance de R₁, il faut utiliser le courant \(I_1\), pas le courant total \(I_{\text{total}}\). Chaque composant a sa propre puissance, liée au courant qui le traverse réellement.
Points à retenir
- La puissance est une mesure de la consommation d'énergie par seconde.
- La puissance totale fournie par la source est égale à la somme des puissances consommées par les composants.
Le saviez-vous ?
L'effet Joule, la dissipation d'énergie sous forme de chaleur dans une résistance, n'est pas toujours une perte. C'est le principe de fonctionnement de nombreux appareils : grille-pain, radiateur électrique, ampoule à incandescence...
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la puissance totale si le circuit n'avait que les résistances R₁ et R₂ ?
Outil Interactif : Simulateur de Circuit Parallèle
Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs des résistances R₁ et R₂ (R₃ reste fixe à 60 Ω) et observez en temps réel l'impact sur la résistance équivalente et le courant total du circuit (pour une tension de 12V).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on ajoute une quatrième résistance de 10 Ω en parallèle, que deviendra la résistance équivalente ?
2. Quelle est la formule correcte pour deux résistances R₁ et R₂ en parallèle ?
3. Dans un circuit parallèle, la tension aux bornes de chaque résistance est...
4. Si la tension de la source double (passe à 24V), la puissance totale dissipée...
- Résistance Équivalente
- La valeur unique de résistance qui pourrait remplacer un ensemble de résistances dans un circuit sans modifier le courant total et la tension de la source.
- Loi d'Ohm
- Une loi fondamentale en électricité qui relie la tension (V), le courant (I) et la résistance (R) par la formule V = R × I.
- Circuit Parallèle
- Un type de circuit où les composants sont connectés sur des branches différentes. Le courant se divise pour traverser chaque branche, mais la tension reste la même aux bornes de chacune.
- Puissance Électrique
- L'énergie dissipée ou fournie par un composant par unité de temps. Elle se mesure en Watts (W).
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