Circuits Électriques

Simplifier un circuit avec le théorème de Norton

Électricité : Simplifier un circuit avec le théorème de Norton

Simplifier un circuit avec le théorème de Norton

Contexte : L'Autre Façon de Simplifier

Le théorème de NortonPrincipe fondamental permettant de remplacer n'importe quelle partie d'un circuit linéaire par un générateur de courant idéal en parallèle avec une résistance. est le "jumeau" du théorème de Thévenin. Il propose une autre manière de simplifier un circuit complexe vu depuis deux bornes. Au lieu d'un générateur de tension en série avec une résistance, le théorème de Norton nous dit que l'on peut remplacer le circuit par une source de courantDébit de charges électriques à travers un conducteur. Son unité est l'Ampère (A). idéale, \(I_N\), en parallèle avec une unique résistance, \(R_N\). Cette approche est particulièrement utile dans les circuits où il est plus facile de raisonner en termes de courants qu'en termes de tensions.

Remarque Pédagogique : Maîtriser les théorèmes de Thévenin et de Norton donne une flexibilité immense dans l'analyse de circuits. Selon la configuration du circuit et ce que l'on cherche à calculer, l'un des deux théorèmes peut rendre la solution beaucoup plus simple et intuitive que l'autre.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le concept de générateur de Norton équivalent.
  • Calculer le courant de Norton (\(I_N\)) en trouvant le courant de court-circuit.
  • Calculer la résistance de Norton (\(R_N\)), qui est identique à celle de Thévenin.
  • Dessiner le circuit équivalent de Norton.
  • Utiliser le circuit équivalent pour calculer le courant dans une charge à l'aide du pont diviseur de courant.

Données de l'étude

On reprend le même circuit que pour l'exercice sur le théorème de Thévenin. L'objectif est de trouver son générateur de Norton équivalent vu des bornes A et B.

Schéma du Circuit Initial
U_G 12 V R₁=10Ω R₂=20Ω A B

Données :

  • Tension du générateur : \(U_G = 12 \, \text{V}\)
  • Résistance 1 : \(R_1 = 10 \, \Omega\)
  • Résistance 2 : \(R_2 = 20 \, \Omega\)

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance de Norton \(R_N\).
  2. Calculer le courant de Norton \(I_N\) entre les bornes A et B.
  3. Dessiner le circuit équivalent de Norton et vérifier qu'il donne le même courant \(I_L\) dans une charge de \(30 \, \Omega\) que le circuit de Thévenin.

Correction : Simplifier un circuit avec le théorème de Norton

Question 1 : Résistance de Norton (\(R_N\))

Principe :

La résistance de Norton (\(R_N\)) se calcule exactement de la même manière que la résistance de Thévenin (\(R_{th}\)). On "éteint" toutes les sources indépendantes (les sources de tension sont remplacées par des fils, les sources de courant par des coupures) et on calcule la résistance équivalente vue depuis les bornes de sortie A et B.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le fait que \(R_N = R_{th}\) est fondamental. Cela signifie que les deux modèles équivalents (Thévenin et Norton) partagent la même "résistance interne". C'est la seule chose qu'ils ont en commun, mais c'est ce qui permet de passer facilement de l'un à l'autre.

Formule(s) utilisée(s) :

En éteignant \(U_G\), \(R_1\) et \(R_2\) se retrouvent en parallèle.

\[ R_N = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \]
Donnée(s) :
  • \(R_1 = 10 \, \Omega\)
  • \(R_2 = 20 \, \Omega\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} R_N &= \frac{10 \times 20}{10 + 20} \\ &= \frac{200}{30} \\ &\approx 6.67 \, \Omega \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas se tromper de montage : Encore une fois, il est crucial de bien visualiser le circuit après avoir éteint la source. Les résistances qui étaient en série avec la source se retrouvent souvent en parallèle vues des bornes de sortie.

Le saviez-vous ?

Le théorème de Norton a été publié en 1926 par Edward Lawry Norton, un ingénieur chez Bell Labs. Tout comme pour Thévenin, son travail visait à simplifier l'analyse des circuits de télécommunication de plus en plus complexes à l'époque.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la méthode est-elle la même que pour \(R_{th}\) ?

Parce que la résistance interne d'un circuit, vue depuis ses bornes, est une propriété intrinsèque qui ne dépend que de ses composants passifs (les résistances). Elle ne dépend pas de la manière dont on choisit de modéliser le circuit (source de tension ou de courant).

Résultat : La résistance de Norton est \(R_N \approx 6.67 \, \Omega\).

Question 2 : Courant de Norton (\(I_N\))

Principe :
R₁ R₂ U_G I_N = ?

Le courant de Norton \(I_N\) est le courant qui circulerait si l'on créait un court-circuit entre les bornes A et B. En reliant A et B par un fil, la résistance \(R_2\) est "court-circuitée" : le courant préférera passer par le fil de résistance nulle plutôt que par \(R_2\). Le circuit se résume donc à une source \(U_G\) alimentant uniquement la résistance \(R_1\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le concept de court-circuiter une résistance est important. En plaçant un fil (résistance nulle) en parallèle avec une résistance, la résistance équivalente de ce bloc devient nulle. Tout le courant passe par le fil, et aucun courant ne traverse la résistance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I_N = \frac{U_G}{R_1} \]
Donnée(s) :
  • \(U_G = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_1 = 10 \, \Omega\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} I_N &= \frac{12}{10} \\ &= 1.2 \, \text{A} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Bien analyser le court-circuit : Il faut correctement identifier les conséquences du court-circuit. Ici, il annule l'effet de \(R_2\). Dans d'autres circuits, il pourrait mettre deux résistances en parallèle, ou en court-circuiter d'autres. Redessiner le circuit est encore une fois une bonne pratique.

Le saviez-vous ?

Il existe une relation simple entre les modèles de Thévenin et de Norton : \(U_{th} = R_{th} \times I_N\). On peut vérifier avec nos résultats précédents : \(U_{th} = 8 \, \text{V}\) et \(R_{th} \times I_N = 6.67 \times 1.2 \approx 8 \, \text{V}\). Cette relation permet de passer d'un modèle à l'autre sans tout recalculer.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi le courant ne passe-t-il plus dans \(R_2\) ?

Le courant choisit toujours le chemin de moindre résistance. Un fil parfait a une résistance de \(0 \, \Omega\). Entre un chemin à \(20 \, \Omega\) (\(R_2\)) et un chemin à \(0 \, \Omega\) (le court-circuit), 100% du courant choisira le chemin de résistance nulle.

Résultat : Le courant de Norton est \(I_N = 1.2 \, \text{A}\).

Question 3 : Circuit Équivalent et Courant de Charge \(I_L\)

Principe :

Le circuit original peut être remplacé par une source de courant \(I_N\) en parallèle avec une résistance \(R_N\). Lorsqu'on connecte la charge \(R_L\) à ce circuit, on forme un pont diviseur de courant. Le courant \(I_N\) se répartit entre la branche contenant \(R_N\) et celle contenant \(R_L\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la finalité du théorème : utiliser un modèle simple pour prédire le comportement d'une charge. La formule du pont diviseur de courant est ici le moyen le plus direct de trouver \(I_L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I_L = I_N \times \frac{R_N}{R_N + R_L} \]
Donnée(s) :
  • \(I_N = 1.2 \, \text{A}\)
  • \(R_N \approx 6.67 \, \Omega\)
  • \(R_L = 30 \, \Omega\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} I_L &= 1.2 \times \frac{6.67}{6.67 + 30} \\ &= 1.2 \times \frac{6.67}{36.67} \\ &\approx 0.218 \, \text{A} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Formule du diviseur de courant : Attention à la formule du diviseur de courant. Pour calculer le courant dans une branche (\(I_L\)), on met la résistance de l'autre branche (\(R_N\)) au numérateur. C'est l'inverse de la formule du diviseur de tension.

Le saviez-vous ?

Le résultat de \(0.218 \, \text{A}\) est identique à celui trouvé avec le modèle de Thévenin. Cela prouve que les deux modèles sont parfaitement équivalents et décrivent le même comportement physique. Le choix de l'un ou l'autre dépend uniquement de la facilité de calcul pour un circuit donné.

FAQ en rapport avec la question :
Comment dessiner le circuit équivalent de Norton ?

On dessine une source de courant idéale (un cercle avec une flèche à l'intérieur indiquant le sens de \(I_N\)) et on place la résistance \(R_N\) en parallèle avec cette source. Les bornes A et B sont les points de connexion de part et d'autre de ce montage parallèle.

Résultat : Le courant dans la charge est \(I_L \approx 0.218 \, \text{A}\), confirmant le résultat de Thévenin.

Simulation Interactive

Faites varier la tension de la source et les valeurs des résistances. Observez comment les valeurs de Norton (\(I_N\) et \(R_N\)) changent, et comment cela affecte le courant dans une charge fixe.

Paramètres du Circuit
Courant de Norton I_N
Résistance de Norton R_N
Courant dans R_L=30Ω
Influence de R₁ sur I_N

Pour Aller Plus Loin : Conversion de Sources

D'un modèle à l'autre : La relation \(U_{th} = R_{th} \times I_N\) est une passerelle puissante. Elle permet de convertir un générateur de Thévenin (source de tension + R série) en un générateur de Norton (source de courant + R parallèle) et vice-versa. Cette technique de conversion de source est une autre méthode de simplification des circuits, parfois plus rapide que de tout recalculer depuis le début.

Le Saviez-Vous ?

Les transistors, composants de base de toute l'électronique moderne, sont souvent modélisés comme des sources de courant commandées. L'analyse de circuits à transistors fait donc un usage intensif des concepts de sources de courant et du théorème de Norton pour simplifier les calculs.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quand utiliser Thévenin et quand utiliser Norton ?

Il n'y a pas de règle absolue, les deux mènent au même résultat. Cependant, on préfère souvent Thévenin quand le circuit contient principalement des sources de tension et des montages série. Norton est souvent plus pratique pour les circuits avec des sources de courant et des montages parallèles, car le calcul des courants de branche est plus direct.

Que se passe-t-il si la charge est un court-circuit ?

Si on branche un fil (\(R_L = 0\)) sur le circuit équivalent de Norton, on crée un pont diviseur de courant entre \(R_N\) et une résistance nulle. Tout le courant \(I_N\) passera par le court-circuit. Le courant dans la charge est donc \(I_L = I_N\), ce qui est cohérent avec la définition du courant de Norton.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour trouver le courant de Norton \(I_N\), on calcule le courant qui passe dans...

2. Un circuit a un \(I_N = 2 \, \text{A}\) et un \(R_N = 10 \, \Omega\). Quelle est sa tension de Thévenin \(U_{th}\) ?

Glossaire

Théorème de Norton
Théorème d'analyse de circuit qui permet de remplacer une partie d'un circuit linéaire par un générateur de courant idéal (\(I_N\)) en parallèle avec une résistance (\(R_N\)).
Courant de Norton (\(I_N\))
Le courant qui circule entre les bornes de sortie lorsque celles-ci sont court-circuitées.
Résistance de Norton (\(R_N\))
Identique à la résistance de Thévenin, c'est la résistance équivalente vue des bornes de sortie lorsque les sources indépendantes sont éteintes.
Méthodes d'Analyse : Simplifier un circuit avec le théorème de Norton

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