Synthèse d'un Filtre Passe-Bas du Second Ordre
Contexte : Le filtrage analogiqueTechnique de traitement du signal qui utilise des circuits électroniques pour atténuer ou amplifier sélectivement certaines gammes de fréquences d'un signal..
En électronique, les filtres sont des circuits omniprésents qui permettent de "trier" les signaux en fonction de leur fréquence. Ils sont essentiels dans les systèmes audio, les télécommunications, l'instrumentation, etc. Cet exercice vous propose de réaliser la synthèse complète d'un filtre actif, c'est-à-dire de traduire un ensemble de spécifications (un cahier des charges) en un circuit électronique fonctionnel à base d'amplificateur opérationnel. Nous utiliserons la topologie de Sallen-Key, très répandue pour sa simplicité et sa stabilité.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes concrètes de la conception en électronique, depuis la théorie mathématique des fonctions de transfert jusqu'au calcul des composants réels (résistances, condensateurs) qui constitueront le circuit final.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et interpréter le cahier des charges d'un filtre.
- Déterminer la fonction de transfert d'un filtre de Butterworth normalisé.
- Appliquer la dénormalisation en fréquence pour ajuster le filtre aux spécifications.
- Calculer les valeurs des composants pour une structure de Sallen-Key.
Données de l'étude
Cahier des Charges du Filtre
Caractéristique | Valeur |
---|---|
Type de filtre | Passe-bas |
Approximation | ButterworthType de réponse de filtre conçue pour avoir une réponse en fréquence aussi plate que possible dans la bande passante (pas d'ondulation). (réponse maximalement plate) |
Ordre du filtre (\(n\)) | 2 |
Fréquence de coupure à -3dB (\(f_c\)) | 1 kHz |
Gain en bande passante (\(G_0\)) | 2 (soit +6 dB) |
Topologie de circuit | Sallen-KeyUne topologie de filtre actif très populaire, appréciée pour sa simplicité, utilisant un amplificateur opérationnel avec deux résistances et deux condensateurs. |
Schéma fonctionnel du filtre
Questions à traiter
- Déterminer le polynôme de Butterworth normalisé (pour \(n=2\)).
- En déduire la fonction de transfert normalisée \(H_n(p)\) correspondante.
- Effectuer la transformation fréquentielle pour obtenir la fonction de transfert dénormalisée \(H(p)\) qui respecte le cahier des charges.
- Donner le schéma d'un filtre de Sallen-Key passe-bas et déterminer sa fonction de transfert littérale \(H(p) = V_{\text{out}}/V_{\text{in}}\).
- Par identification, calculer les valeurs des composants (résistances et condensateurs) pour réaliser le filtre. On choisira des condensateurs de même valeur \(C = 10 \text{ nF}\).
Les bases sur les Filtres Actifs de Butterworth
La conception d'un filtre commence souvent par le choix d'une "approximation", qui est un modèle mathématique décrivant la forme de la réponse en fréquence du filtre. L'approximation de Butterworth est l'une des plus courantes car elle offre une réponse "maximalement plate" dans la bande passante, c'est-à-dire sans ondulations, ce qui est souhaitable dans de nombreuses applications.
1. Réponse en Amplitude de Butterworth
Le carré du module de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas de Butterworth d'ordre \(n\) est donné par :
\[ |H(j\omega)|^2 = \frac{G_0^2}{1 + \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{2n}} \]
Où \(G_0\) est le gain en courant continu (DC gain), \(\omega_c\) est la pulsation de coupure et \(n\) est l'ordre du filtre. On voit bien que pour \(\omega \ll \omega_c\), le gain est proche de \(G_0\), et pour \(\omega = \omega_c\), le gain est \(G_0/\sqrt{2}\) (soit -3dB par rapport au gain max).
2. Topologie de Sallen-Key
C'est une structure de filtre actif qui utilise un amplificateur opérationnel (AOP) pour réaliser des fonctions de transfert du second ordre. Ses principaux avantages sont sa simplicité (peu de composants) et le fait que le gain et la fréquence de coupure peuvent être ajustés avec une certaine indépendance. L'AOP fournit la puissance au circuit et isole les étages de filtre les uns des autres.
Correction : Synthèse d'un Filtre Passe-Bas du Second Ordre
Question 1 : Déterminer le polynôme de Butterworth normalisé (\(n=2\)).
Principe (le concept physique)
La première étape de la synthèse est de travailler avec un filtre "normalisé", c'est-à-dire un filtre dont la pulsation de coupure est \(\omega_n = 1 \text{ rad/s}\). La clé est de trouver les pôles de la fonction de transfert, qui, pour un filtre de Butterworth, sont situés sur un cercle de rayon 1 dans le plan complexe. Pour garantir la stabilité du filtre, nous ne conservons que les pôles situés dans le demi-plan gauche.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le polynôme de Butterworth est la pierre angulaire mathématique qui garantit la réponse "maximalement plate" du filtre. Ses racines (les pôles du filtre) sont réparties de manière spécifique sur un cercle dans le plan complexe, ce qui assure une transition douce de la bande passante à la bande coupée, sans aucune ondulation.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La beauté des polynômes de Butterworth est que leur forme est tabulée pour les ordres courants. Pour un ordre 2, le polynôme est toujours de la forme \(p^2 + ap + 1\). Notre travail consiste à trouver la valeur de 'a' qui garantit la réponse de Butterworth, qui se trouve être \(\sqrt{2}\).
Normes (la référence réglementaire)
Il ne s'agit pas ici d'une norme réglementaire comme dans le BTP, mais d'une "norme" mathématique fondamentale en théorie des circuits. L'approximation de Butterworth est un standard industriel et académique pour la conception de filtres, au même titre que les approximations de Chebyshev ou Bessel, chacune ayant ses propres avantages.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Expression des pôles
Le polynôme de Butterworth est alors formé en utilisant uniquement les pôles à partie réelle négative (stabilité).
Hypothèses (le cadre du calcul)
- On travaille sur un modèle de filtre idéal et normalisé (\(\omega_c = 1 \text{ rad/s}\)).
- La stabilité est une condition impérative, ce qui justifie le choix des pôles à partie réelle négative.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
---|---|---|---|
Ordre du filtre | \(n\) | 2 | - |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour les ordres faibles, il est plus rapide de se souvenir des polynômes normalisés que de recalculer les pôles. Pour \(n=2\), le polynôme est \(p^2+\sqrt{2}p+1\). Pour \(n=3\), c'est \((p+1)(p^2+p+1)\). Connaître les premiers par cœur est un gain de temps précieux.
Schéma (Avant les calculs)
La position des pôles dans le plan complexe est un excellent moyen de visualiser la solution. Pour \(n=2\), les 4 pôles sont sur le cercle unité, et nous ne gardons que les deux du demi-plan gauche.
Position des pôles de Butterworth (n=2)
Calcul(s) (l'application numérique)
Pour \(n=2\), nous devons calculer \(2n=4\) pôles :
Calcul du pôle p1 (k=1)
Calcul du pôle p2 (k=2)
Calcul du pôle p3 (k=3)
Calcul du pôle p4 (k=4)
Les pôles stables sont \(p_1\) et \(p_2\) car leur partie réelle est négative. Le polynôme \(D_n(p)\) est le produit des facteurs \((p-p_k)\) pour ces pôles stables.
Calcul du Polynôme
Schéma (Après les calculs)
Le calcul nous a permis d'identifier les pôles stables. Le schéma suivant visualise ces pôles, qui sont le résultat final de cette étape.
Pôles stables résultants (\(n=2\))
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le polynôme \(p^2 + \sqrt{2}p + 1\) est la "carte d'identité" mathématique de tout filtre de Butterworth du second ordre. Le coefficient du terme en \(p\), \(\sqrt{2}\), est directement lié au facteur d'amortissement du filtre et est crucial pour obtenir la réponse maximalement plate.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La principale erreur à éviter est de ne pas sélectionner les bons pôles. Un filtre réel doit être stable, ce qui impose de choisir uniquement les pôles dont la partie réelle est négative (ceux situés dans le demi-plan gauche du plan complexe).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Les pôles d'un filtre de Butterworth sont sur un cercle.
- Seuls les pôles du demi-plan gauche sont utilisés pour un filtre stable.
- Le polynôme normalisé d'ordre 2 est \(p^2 + \sqrt{2}p + 1\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Stephen Butterworth, l'ingénieur britannique qui a donné son nom à ce filtre, l'a décrit pour la première fois en 1930. Son objectif était de concevoir un filtre pour les amplificateurs à tubes à vide qui aurait une réponse aussi plate que possible, une problématique toujours d'actualité aujourd'hui !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
En utilisant la même méthode, quel serait le polynôme pour un filtre d'ordre \(n=1\) ? (Indice : il n'y a que 2 pôles, \(p_1=e^{j\pi}=-1\) et \(p_2=e^{j2\pi}=1\))
Question 2 : En déduire la fonction de transfert normalisée \(H_n(p)\).
Principe (le concept physique)
La fonction de transfert \(H(p)\) est le rapport entre la sortie et l'entrée d'un système dans le domaine de Laplace. Pour un filtre passe-bas, la forme générale a son polynôme caractéristique au dénominateur et une constante au numérateur qui définit le gain en basses fréquences (gain DC).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La fonction de transfert d'un filtre passe-bas est de la forme \(H(p) = \frac{K}{D(p)}\), où \(D(p)\) est le polynôme caractéristique (que nous venons de trouver) et \(K\) est une constante. Pour un filtre normalisé, on vise généralement un gain en courant continu de 1 (soit 0 dB), ce qui signifie que \(\lim_{p\to 0} H(p) = 1\). Cela permet de fixer la valeur de K.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour trouver la constante \(K\) qui assure un gain DC de 1, il suffit de regarder le terme constant de votre polynôme au dénominateur. Ici, c'est 1. Donc, pour avoir \(H(0)=1\), il faut que le numérateur soit aussi 1.
Normes (la référence réglementaire)
La convention de normalisation avec un gain DC unitaire est un standard en synthèse de filtre. Elle permet de se concentrer uniquement sur la forme du filtre (sa "rondeur" près de la coupure), indépendamment du gain global, qui sera ajusté plus tard.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Forme générale de la fonction de transfert
Condition de normalisation
Hypothèses (le cadre du calcul)
- On désire un gain en courant continu (pour \(p=0\)) de 1, ce qui est la convention pour un filtre normalisé.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Paramètre | Symbole | Valeur |
---|---|---|
Polynôme normalisé | \(D_n(p)\) | \(p^2 + \sqrt{2}p + 1\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour tous les filtres passe-bas de Butterworth, le terme constant du polynôme normalisé est toujours 1. Par conséquent, pour un gain DC unitaire, le numérateur de \(H_n(p)\) sera toujours 1.
Schéma (Avant les calculs)
Nous cherchons à définir la boîte noire mathématique qui représente notre filtre normalisé.
Représentation de la fonction de transfert normalisée
Calcul(s) (l'application numérique)
Application de la condition de normalisation
On part de la forme générale \(H_n(p) = K / (p^2 + \sqrt{2}p + 1)\). On évalue cette fonction en \(p=0\) :
Comme la condition pour un filtre normalisé est \(H_n(0) = 1\), on en déduit que \(K=1\).
Schéma (Après les calculs)
La fonction de transfert étant déterminée, on peut visualiser sa réponse en fréquence. Le diagramme de Bode montre bien un gain de 0 dB aux basses fréquences qui chute à -3 dB pour la pulsation normalisée \(\omega=1\text{ rad/s}\).
Réponse du filtre normalisé (n=2)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette fonction de transfert \(H_n(p)\) est le "plan" de base de notre filtre. Elle contient toutes les informations sur la forme de la réponse, mais pas encore sur sa fréquence de coupure réelle ni son gain. C'est un modèle mathématique que nous allons maintenant "étirer" et "amplifier" pour qu'il corresponde à notre cahier des charges.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas oublier de s'assurer que le gain en DC est bien de 1. Si le terme constant du polynôme n'était pas 1, il faudrait ajuster le numérateur en conséquence.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La fonction de transfert normalisée d'un filtre passe-bas a un gain de 1 à la fréquence nulle.
- Son expression est \(H_n(p) = 1/D_n(p)\) si le terme constant de \(D_n(p)\) est 1.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de fonction de transfert a été popularisé par Hendrik Bode dans les années 1930 aux Bell Labs. Les diagrammes de Bode, qui tracent le gain et la phase en fonction de la fréquence, sont devenus un outil indispensable pour l'analyse des circuits et des systèmes de contrôle.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Quelle serait la fonction de transfert normalisée pour un filtre d'ordre 1 (sachant que \(D_1(p) = p+1\)) ?
Question 3 : Obtenir la fonction de transfert dénormalisée \(H(p)\).
Principe (le concept physique)
La dénormalisation est le processus qui permet de passer du filtre prototype (avec \(\omega_c = 1 \text{ rad/s}\)) au filtre réel qui respecte le cahier des charges. Pour un filtre passe-bas, cela consiste à remplacer la variable de Laplace normalisée \(p\) par \(p/\omega_c\), où \(\omega_c\) est la pulsation de coupure désirée. Il faut également ajuster le gain pour qu'il corresponde au gain \(G_0\) spécifié.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette transformation est une mise à l'échelle fréquentielle. En remplaçant \(p\) par \(p/\omega_c\), on "comprime" ou "étire" l'axe des fréquences de la réponse normalisée pour que la pulsation de coupure se retrouve à la valeur souhaitée \(\omega_c\) au lieu de 1. Le gain \(G_0\) est ensuite appliqué pour translater verticalement la courbe de gain dans le diagramme de Bode.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le plus simple est de procéder en deux temps : d'abord, effectuer la substitution \(p \rightarrow p/\omega_c\) et manipuler l'algèbre pour obtenir une nouvelle fraction rationnelle. Ensuite, multiplier le tout par le gain \(G_0\) demandé. N'oubliez pas de convertir la fréquence \(f_c\) en pulsation \(\omega_c\) !
Normes (la référence réglementaire)
Les méthodes de transformation fréquentielle (passe-bas vers passe-bas, passe-bas vers passe-haut, etc.) sont des techniques standards et rigoureuses en théorie de la synthèse de circuits.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de dénormalisation passe-bas
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Le cahier des charges est la cible à atteindre.
- La transformation n'altère pas la forme de la réponse (un Butterworth reste un Butterworth).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
---|---|---|---|
Gain en bande passante | \(G_0\) | 2 | - |
Fréquence de coupure | \(f_c\) | 1 | kHz |
Pulsation de coupure | \(\omega_c = 2\pi f_c\) | 6283 | rad/s |
Fonction de transfert normalisée | \(H_n(p)\) | \(\frac{1}{p^2 + \sqrt{2}p + 1}\) | - |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour un dénominateur normalisé de la forme \(p^2+ap+1\), la forme dénormalisée sera toujours \(p^2 + a\omega_c p + \omega_c^2\) après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur par \(\omega_c^2\). C'est un raccourci utile.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre le concept de dénormalisation : la courbe de réponse du filtre normalisé (en bleu) est mise à l'échelle en fréquence et en gain pour obtenir la courbe de réponse du filtre final désiré (en vert).
Concept de la dénormalisation
Calcul(s) (l'application numérique)
Application de la transformation
On remplace \(p\) par \(p/\omega_c\) dans l'expression de \(H_n(p)\) et on multiplie par \(G_0=2\).
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme de Bode de la fonction de transfert dénormalisée montre clairement que la fréquence de coupure est maintenant à 1kHz et que le gain en bande passante est de \(20 \log_{10}(2) \approx 6 \text{ dB}\).
Réponse du filtre dénormalisé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette nouvelle fonction de transfert est le plan final de notre filtre. Elle contient toutes les spécifications dynamiques requises. La prochaine étape sera de trouver un circuit électronique dont le comportement physique est décrit par cette même équation mathématique.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier la conversion de \(f_c\) (en Hz) en \(\omega_c\) (en rad/s) en multipliant par \(2\pi\). Une autre erreur est de mal appliquer la substitution algébrique.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La dénormalisation passe-bas se fait par la substitution \(p \rightarrow p/\omega_c\).
- Il faut multiplier par le gain final \(G_0\).
- Ne pas oublier \(\omega_c = 2\pi f_c\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La même technique de dénormalisation peut être utilisée pour transformer un prototype passe-bas en filtre passe-haut (substitution \(p \rightarrow \omega_c/p\)), passe-bande ou coupe-bande, ce qui en fait une méthode de conception extrêmement puissante et versatile.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Quelle serait la fonction de transfert si la fréquence de coupure était de 500 Hz et le gain de 1 ?
Question 4 : Schéma et fonction de transfert d'un filtre de Sallen-Key.
Principe (le concept physique)
La topologie de Sallen-Key est une structure de filtre actif (utilisant un AOP) qui permet de réaliser des fonctions de transfert du second ordre. Pour trouver sa fonction de transfert, on applique les lois fondamentales de l'analyse des circuits (lois de Kirchhoff) en considérant l'AOP comme idéal (gain infini, courants d'entrée nuls, \(V_+ = V_-\) en régime linéaire).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'analyse d'un circuit avec AOP en régime linéaire repose sur deux règles simples : 1) Le courant entrant dans les bornes d'entrée (+) et (-) est nul. 2) La différence de tension entre les bornes (+) et (-) est nulle (\(V_+ = V_-\)). En appliquant ces règles avec la loi des nœuds et la loi d'Ohm généralisée aux impédances (\(Z_C=1/pC\), \(Z_R=R\)), on peut résoudre n'importe quel circuit linéaire.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La méthode la plus robuste est d'identifier les nœuds du circuit, de leur assigner des tensions inconnues, et d'écrire la loi des courants de Kirchhoff à chaque nœud. Cela vous donnera un système d'équations à résoudre pour trouver le rapport \(V_{\text{out}}/V_{\text{in}}\).
Normes (la référence réglementaire)
Le circuit de Sallen-Key est une topologie standard, décrite dans tous les manuels de conception de filtres actifs. Son analyse est un exercice classique en électronique analogique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Loi des Nœuds et Loi d'Ohm
Les outils mathématiques sont la loi des nœuds de Kirchhoff (\(\sum I_{\text{entrant}} = 0\)) et la loi d'Ohm pour les impédances complexes (\(V=ZI\)).
Gain de l'amplificateur non-inverseur
Hypothèses (le cadre du calcul)
- L'amplificateur opérationnel est considéré comme idéal (gain infini, impédance d'entrée infinie, impédance de sortie nulle).
- Le circuit fonctionne en régime linéaire (pas de saturation).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Le circuit est composé de résistances \(R_1, R_2, R_A, R_B\), de condensateurs \(C_1, C_2\) et d'un AOP idéal.
Astuces (Pour aller plus vite)
Le gain \(G_0\) est fixé uniquement par le pont diviseur de tension en contre-réaction (\(R_A, R_B\)). On peut analyser cette partie séparément pour trouver que \(V_{\text{out}} = G_0 \cdot V_+\). Cela simplifie grandement les calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Topologie de Sallen-Key Passe-Bas (gain non-unitaire)
Calcul(s) (l'application numérique)
Fonction de Transfert Littérale
L'établissement de la fonction de transfert est un calcul classique d'analyse de circuit. En appliquant la loi des nœuds aux points pertinents et en utilisant les propriétés de l'AOP idéal, on obtient :
Schéma (Après les calculs)
Le résultat du calcul est la fonction mathématique qui décrit le circuit. Pour visualiser ce qui a été analysé, on peut reprendre le schéma du circuit en y annotant les nœuds principaux dont les tensions ont été utilisées dans le calcul (par exemple, le nœud A et la tension V+).
Schéma avec Nœuds d'Analyse
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette fonction de transfert littérale est très importante. Elle nous montre comment chaque composant (\(R_1, R_2, C_1, C_2, R_A, R_B\)) influence la performance globale du filtre. On voit que les pôles (le dénominateur) dépendent de tous les composants passifs et du gain, ce qui rend le réglage délicat.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Les calculs pour obtenir cette fonction de transfert peuvent être longs et source d'erreurs. Il est crucial d'être méthodique. Une erreur fréquente est d'oublier le terme \((1-G_0)\) qui peut être négatif et qui est essentiel pour fixer l'amortissement du filtre.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La structure de Sallen-Key permet de réaliser une fonction de transfert du second ordre.
- Le gain \(G_0\) est contrôlé par les résistances \(R_A\) et \(R_B\).
- La fréquence et l'amortissement sont contrôlés par \(R_1, R_2, C_1, C_2\) et \(G_0\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
R. P. Sallen et E. L. Key ont développé cette topologie en 1955 au MIT Lincoln Laboratory. C'était une avancée majeure car elle permettait de créer des filtres de haute qualité sans utiliser d'inductances, qui sont des composants coûteux, encombrants et non-idéaux.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Que devient la fonction de transfert si l'AOP est monté en suiveur de tension (c'est-à-dire \(G_0=1\)) ?
Question 5 : Calculer les valeurs des composants.
Principe (le concept physique)
La dernière étape consiste à identifier les coefficients de la fonction de transfert théorique (dénormalisée) avec ceux de la fonction de transfert du circuit réel (littérale). Cela nous donne un système d'équations qui permet de déterminer les valeurs des composants. Comme il y a plus d'inconnues que d'équations, nous avons des degrés de liberté que nous utilisons pour faire des choix de conception judicieux (par exemple, fixer la valeur des condensateurs).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'identification des coefficients est possible car deux systèmes décrits par la même équation différentielle (ou fonction de transfert) auront le même comportement. En égalant les coefficients du terme en \(p^2\), \(p^1\) et \(p^0\) de nos deux expressions de \(H(p)\), on s'assure que notre circuit électronique se comportera exactement comme le filtre de Butterworth théorique que nous souhaitons.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Fixer la valeur des condensateurs est une excellente stratégie de départ. Les condensateurs existent dans une gamme de valeurs standards plus limitée que les résistances. En fixant C, on calcule les résistances nécessaires, qui peuvent ensuite être obtenues plus facilement avec des valeurs précises si besoin (en associant des résistances standard, par exemple).
Normes (la référence réglementaire)
Les valeurs commerciales des composants passifs (résistances, condensateurs) sont standardisées dans des séries de valeurs normalisées, comme les séries E6, E12, E24, E96. Un bon design doit aboutir à des valeurs qui peuvent être approchées par ces séries, en tenant compte des tolérances.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équations d'identification
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Gain \(G_0=2\). On choisit \(R_A = R_B = 10 \text{ k}\Omega\) pour réaliser ce gain simplement.
- Condensateurs identiques : \(C_1 = C_2 = C\). On choisit une valeur standard : \(C = 10 \text{ nF}\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
---|---|---|---|
Pulsation de coupure | \(\omega_c\) | 6283 | rad/s |
Gain cible | \(G_0\) | 2 | - |
Condensateurs choisis | \(C_1=C_2=C\) | 10 | nF |
Coefficient d'amortissement | \(\sqrt{2}\) | ~1.414 | - |
Astuces (Pour aller plus vite)
Le choix de \(G_0=2\) et \(C_1=C_2\) est un cas particulier qui simplifie énormément les équations, car le terme en \((1-G_0)\) se simplifie avec l'un des autres termes. C'est un choix de conception très courant pour cette raison.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma du circuit à dimensionner, avec les choix de conception déjà indiqués (valeurs de C, RA et RB).
Circuit à dimensionner
Calcul(s) (l'application numérique)
Simplification du système d'équations
Avec nos hypothèses (\(G_0=2\), \(C_1=C_2=C\)), le système se simplifie :
Calcul de la résistance \(R_1\)
À partir de l'équation (2), on isole \(R_1\) :
Calcul de la résistance \(R_2\)
On injecte \(R_1\) dans l'équation (1) pour trouver \(R_2\) :
Schéma (Après les calculs)
Circuit Final avec Valeurs des Composants
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les valeurs calculées ne sont pas des valeurs standard de résistances. En pratique, un ingénieur choisirait les valeurs normalisées les plus proches (par exemple, dans la série E24 : \(R_1 = 11 \text{ k}\Omega\) et \(R_2 = 22 \text{ k}\Omega\)). Ces changements modifieraient légèrement la fréquence de coupure et la forme de la réponse, ce qui nécessiterait une vérification par simulation pour s'assurer que le cahier des charges est toujours respecté avec une marge suffisante.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention aux unités lors du calcul final ! Assurez-vous que les fréquences sont en rad/s, les capacités en Farads, pour obtenir des résistances en Ohms. Une erreur d'un facteur 1000 est vite arrivée entre les k\(\Omega\), nF, kHz, etc.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La méthode d'identification consiste à égaler les coefficients des polynômes.
- Avoir des degrés de liberté permet de faire des choix de conception (fixer C).
- Le design final doit tenir compte des valeurs de composants disponibles dans le commerce.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les résistances et condensateurs réels ne sont pas parfaits : leur valeur a une certaine tolérance (±1%, ±5%, etc.). Pour des filtres de haute précision, les ingénieurs doivent tenir compte de cette tolérance en effectuant des analyses statistiques (comme la méthode de Monte-Carlo) pour garantir que le filtre fonctionnera correctement malgré les variations des composants.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Recalculez \(R_1\) et \(R_2\) si vous deviez utiliser des condensateurs de \(C=47 \text{ nF}\).
Outil Interactif : Simulateur de Filtre
Utilisez cet outil pour voir comment la modification de la fréquence de coupure et de la valeur des condensateurs impacte les valeurs de résistances requises pour un filtre de Butterworth Sallen-Key d'ordre 2 avec un gain de 2.
Paramètres d'Entrée
Composants Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la caractéristique principale d'un filtre de Butterworth ?
2. Dans une topologie de Sallen-Key, quel est le rôle principal de l'amplificateur opérationnel ?
3. Comment définit-on la fréquence de coupure (\(f_c\)) d'un filtre passe-bas ?
4. Si on augmente l'ordre d'un filtre (par exemple de \(n=2\) à \(n=4\)), qu'arrive-t-il à sa réponse en fréquence ?
5. Le processus de "dénormalisation" en synthèse de filtre consiste à :
Glossaire
- Filtre Passe-Bas
- Un circuit électronique qui laisse passer les signaux ayant une fréquence inférieure à une certaine fréquence de coupure et qui atténue les signaux de fréquences supérieures.
- Fréquence de coupure (\(f_c\))
- La fréquence qui marque la frontière entre la bande passante (fréquences transmises) et la bande coupée (fréquences atténuées). Pour un filtre de Butterworth, c'est la fréquence où le gain a chuté de 3 décibels (dB).
- Approximation de Butterworth
- Un type de réponse de filtre caractérisé par une bande passante aussi plate que possible, sans ondulation, et une atténuation qui augmente progressivement dans la bande coupée.
- Topologie Sallen-Key
- Une architecture de filtre actif populaire, basée sur un amplificateur opérationnel, utilisée pour implémenter des fonctions de transfert du second ordre. Elle est appréciée pour sa simplicité et sa bonne stabilité.
- Fonction de Transfert
- Une relation mathématique (généralement dans le domaine de Laplace, notée \(H(p)\)) qui décrit le rapport entre le signal de sortie et le signal d'entrée d'un système, pour n'importe quelle fréquence.
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