Circuits Électriques

Théorème de Millman en Régime Sinusoïdal

Théorème de Millman en Régime Sinusoïdal

Théorème de Millman en Régime Sinusoïdal

Contexte : L'analyse des circuits en régime sinusoïdalÉtat d'un circuit électrique où les tensions et courants sont des fonctions sinusoïdales du temps, à une pulsation commune..

Le théorème de Millman est un outil puissant pour simplifier l'analyse des circuits électriques, en particulier ceux comportant plusieurs branches en parallèle connectées à un nœud commun. En régime sinusoïdal, où les tensions et courants varient dans le temps, nous utilisons la notation complexe pour les impédancesGénéralisation de la résistance aux circuits alternatifs. C'est un nombre complexe qui représente l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif. et les tensions. Cet exercice vous guidera dans l'application de ce théorème pour déterminer la tension à un nœud spécifique d'un circuit AC.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est conçu pour renforcer votre maîtrise des nombres complexes (impédances, admittances) et leur application dans un théorème fondamental de l'analyse de circuits. Il vous apprendra à calculer la tension en un point sans avoir à résoudre un système d'équations complet (méthode des nœuds).

Objectifs Pédagogiques

  • Savoir modéliser un circuit AC en utilisant les impédances complexes.
  • Calculer les admittancesInverse de l'impédance (Y = 1/Z). Elle représente la facilité avec laquelle un circuit laisse passer le courant. Mesurée en Siemens (S). complexes des différentes branches d'un circuit.
  • Appliquer la formule du théorème de Millman en notation complexe.
  • Convertir un nombre complexe de la forme rectangulaire à la forme polaire pour interpréter le résultat (module et phase).
  • Traduire une tension complexe en son expression temporelle sinusoïdale.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique ci-dessous, fonctionnant en régime sinusoïdal à la pulsation \(\omega\). Il est composé de trois branches connectées entre deux nœuds A et B. L'objectif est de déterminer la tension \(v_{AB}(t)\) aux bornes de ces nœuds.

Schéma du circuit électrique AC
A B e₁(t) R₁ e₂(t) R₂ L C
Paramètre Description Valeur Unité
\(e_1(t)\) Source de tension 1 \(10\sqrt{2} \sin(1000t)\) V
\(e_2(t)\) Source de tension 2 \(20\sqrt{2} \sin(1000t + \pi/4)\) V
\(R_1\) Résistance 1 10 Ω
\(R_2\) Résistance 2 5 Ω
\(L\) Inductance 20 mH
\(C\) Capacité 100 \(\mu\)F

Questions à traiter

  1. Donner les expressions complexes \(\underline{E_1}\) et \(\underline{E_2}\) des sources de tension.
  2. Calculer les impédances complexes \(\underline{Z_1}\), \(\underline{Z_2}\) et \(\underline{Z_3}\) de chaque branche.
  3. En déduire les admittances complexes \(\underline{Y_1}\), \(\underline{Y_2}\) et \(\underline{Y_3}\).
  4. En utilisant le théorème de Millman, calculer la tension complexe \(\underline{V}_{AB}\).
  5. Donner le module (valeur efficace) et l'argument (phase à l'origine) de \(\underline{V}_{AB}\).
  6. En déduire l'expression temporelle de la tension, \(v_{AB}(t)\).

Les bases sur le Théorème de Millman en AC

Le théorème de Millman permet de calculer le potentiel d'un nœud auquel sont connectées N branches. En régime sinusoïdal, on l'applique en utilisant les grandeurs complexes (tensions, impédances, admittances).

1. Représentation Complexe
Une grandeur sinusoïdale \(x(t) = X\sqrt{2} \sin(\omega t + \phi)\) est associée à un nombre complexe \(\underline{X} = X e^{j\phi} = X(\cos\phi + j\sin\phi)\). \(X\) est la valeur efficace. Les composants passifs sont représentés par leur impédance complexe :

  • Résistance R : \(\underline{Z_R} = R\)
  • Inductance L : \(\underline{Z_L} = jL\omega\)
  • Capacité C : \(\underline{Z_C} = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega}\)

2. Formule de Millman
Pour un ensemble de branches en parallèle, chacune contenant un générateur de tension \(\underline{E_k}\) en série avec une impédance \(\underline{Z_k}\), la tension \(\underline{V}_{AB}\) entre les nœuds communs A et B est donnée par : \[ \underline{V}_{AB} = \frac{\sum_{k=1}^{N} \frac{\underline{E_k}}{\underline{Z_k}}}{\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{\underline{Z_k}}} = \frac{\sum_{k=1}^{N} \underline{E_k} \underline{Y_k}}{\sum_{k=1}^{N} \underline{Y_k}} \] Où \(\underline{Y_k} = 1/\underline{Z_k}\) est l'admittance de la branche k.

Correction : Théorème de Millman en Régime Sinusoïdal

Question 1 : Expressions complexes des sources

Principe

Le concept physique est de remplacer une grandeur sinusoïdale qui oscille dans le temps par un vecteur tournant (phaseur) dans un plan complexe. Ce vecteur a une longueur (proportionnelle à l'amplitude) et un angle (la phase), ce qui simplifie énormément les calculs d'addition et de soustraction.

Mini-Cours

La transformation d'un signal temporel \(e(t) = E_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi)\) vers son phaseur complexe \(\underline{E}\) se fait en deux étapes : 1. On calcule la valeur efficace \(E_{\text{eff}} = E_{\text{max}}/\sqrt{2}\). 2. On utilise la phase \(\phi\) pour former le complexe en notation polaire \(\underline{E} = E_{\text{eff}} e^{j\phi}\) ou rectangulaire \(\underline{E} = E_{\text{eff}}(\cos\phi + j\sin\phi)\).

Remarque Pédagogique

Avant tout, identifiez toujours les trois paramètres clés du signal : l'amplitude maximale (\(E_{\text{max}}\)), la pulsation (\(\omega\)), et la phase (\(\phi\)). Prenez l'habitude de convertir immédiatement l'amplitude maximale en valeur efficace, car c'est cette dernière que l'on manipule dans les calculs de phaseurs.

Normes

La représentation par phaseurs est une convention standardisée en génie électrique, notamment par la Commission électrotechnique internationale (CEI), pour l'analyse des circuits en régime alternatif.

Formule(s)
\[ \underline{E} = \frac{E_{\text{max}}}{\sqrt{2}} e^{j\phi} \]
Hypothèses

On suppose que le circuit est en régime sinusoïdal établi, c'est-à-dire que les phénomènes transitoires de démarrage se sont dissipés et que toutes les tensions et tous les courants oscillent à la même pulsation \(\omega\).

Donnée(s)
  • \(e_1(t) = 10\sqrt{2} \sin(1000t) \text{ V}\)
  • \(e_2(t) = 20\sqrt{2} \sin(1000t + \pi/4) \text{ V}\)
Astuces

Pour un signal en sinus sans déphasage, le phaseur est un nombre réel. Pour un signal en cosinus sans déphasage, le phaseur est un nombre imaginaire pur. Se souvenir de cela peut accélérer les conversions.

Schéma (Avant les calculs)
Représentation d'un signal et de son phaseur
tImReSignal temporelPhaseur complexe
Calcul(s)

Source \(\underline{E_1}\)

\[\begin{aligned} E_{1,\text{eff}} &= \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 \text{ V}; \phi_1 = 0^\circ \\ \Rightarrow \underline{E_1} &= 10e^{j0} = 10 \text{ V} \end{aligned}\]

Source \(\underline{E_2}\)

\[\begin{aligned} E_{2,\text{eff}} &= \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 20 \text{ V}; \phi_2 = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \\ \Rightarrow \underline{E_2} &= 20e^{j45^\circ} \\ &= 20(\cos(45^\circ) + j\sin(45^\circ)) \\ &\approx 14.14 + j14.14 \text{ V} \end{aligned}\]
Schéma (Après les calculs)
Phaseurs \(\underline{E_1}\) et \(\underline{E_2}\) dans le plan complexe
ReImE₁E₂
Réflexions

Les résultats montrent que \(\underline{E_1}\) est notre tension de référence (sur l'axe réel). La tension \(\underline{E_2}\) a une amplitude efficace double et est en avance de phase de 45° sur \(\underline{E_1}\).

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le facteur \(\sqrt{2}\) lors de la conversion. Une autre erreur commune est de mal convertir les angles de radians en degrés (ou vice-versa) : \(\pi\) radians = 180°.

Points à retenir

La représentation complexe encode l'amplitude (via la valeur efficace) et la phase d'un signal sinusoïdal en un seul nombre, ce qui transforme les équations différentielles du domaine temporel en simples équations algébriques.

Le saviez-vous ?

Le concept de phaseur a été introduit par Charles Proteus Steinmetz, un ingénieur de General Electric, à la fin du 19ème siècle. Cette innovation a radicalement simplifié l'analyse des circuits AC, qui était auparavant extrêmement laborieuse.

FAQ
Pourquoi utiliser la valeur efficace et non maximale ?

La valeur efficace (RMS) est utilisée car elle correspond à la valeur d'une tension continue qui produirait le même échauffement (même puissance) dans une résistance. Cela rend les calculs de puissance en AC directement comparables à ceux en DC.

Résultat Final
\(\underline{E_1} = 10 \text{ V}\) et \(\underline{E_2} \approx 14.14 + j14.14 \text{ V}\).
A vous de jouer

Quelle serait l'expression complexe pour une source \(e_3(t) = 5\sqrt{2} \cos(1000t)\) ? (Indice: \(\cos(x) = \sin(x+90^\circ)\))

Question 2 : Calcul des impédances complexes

Principe

L'impédance généralise la résistance au régime sinusoïdal. Elle représente l'opposition d'un composant au passage du courant, en tenant compte non seulement de la dissipation d'énergie (partie réelle) mais aussi du stockage d'énergie (partie imaginaire) qui crée des déphasages.

Mini-Cours

Chaque composant passif a une impédance qui dépend de la pulsation \(\omega\). Une résistance a une impédance réelle pure (\(\underline{Z_R} = R\)). Une inductance a une impédance imaginaire positive (\(\underline{Z_L} = jL\omega\)), car la tension à ses bornes est en avance de 90° sur le courant. Une capacité a une impédance imaginaire négative (\(\underline{Z_C} = -j/C\omega\)), car la tension est en retard de 90°.

Remarque Pédagogique

Pour trouver l'impédance d'une branche, il suffit d'additionner les impédances de tous les composants en série dans cette branche. C'est exactement comme pour les résistances en série en régime continu, mais avec des nombres complexes.

Normes

La notation \(\underline{Z}\) pour l'impédance et l'utilisation de \(j\) comme unité imaginaire sont des conventions universellement adoptées en électrotechnique pour éviter la confusion avec le courant \(i\).

Formule(s)
\[ \underline{Z_{\text{branche}}} = \sum \underline{Z_{\text{composant}}} \]
\[\underline{Z_R}=R\]
\[\underline{Z_L}=jL\omega\]
\[\underline{Z_C}=\frac{-j}{C\omega}\]
Hypothèses

On considère que les composants sont "parfaits" ou "idéaux", c'est-à-dire que la résistance n'a pas d'effet inductif ou capacitif parasite, et vice-versa pour L et C.

Donnée(s)
  • \(R_1 = 10 \, \Omega\)
  • \(R_2 = 5 \, \Omega\)
  • \(L = 20 \text{ mH} = 20 \times 10^{-3}\) H
  • \(C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6}\) F
  • \(\omega = 1000\) rad/s
Astuces

Calculez d'abord les réactances \(X_L = L\omega\) et \(X_C = 1/(C\omega)\) séparément. Ce sont des nombres réels. Ensuite, vous n'avez plus qu'à écrire \(\underline{Z_L} = jX_L\) et \(\underline{Z_C} = -jX_C\). Cela évite les erreurs de calcul avec les fractions complexes.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit avec composants R, L, C
ABe₁(t)R₁e₂(t)R₂LC
Calcul(s)

Branche 1

\[ \underline{Z_1} = R_1 = 10 \, \Omega \]

Branche 2

\[\begin{aligned} \underline{Z_2} &= R_2 + jL\omega \\ &= 5 + j(20 \cdot 10^{-3} \cdot 1000) \\ &= 5 + j20 \, \Omega \end{aligned}\]

Branche 3

\[\begin{aligned} \underline{Z_3} &= \frac{1}{jC\omega} \\ &= \frac{-j}{C\omega} \\ &= \frac{-j}{100 \cdot 10^{-6} \cdot 1000} \\ &= \frac{-j}{0.1} \\ &= -j10 \, \Omega \end{aligned}\]
Schéma (Après les calculs)
Circuit équivalent avec blocs d'impédance
ABe₁Z₁e₂Z₂Z₃
Réflexions

L'impédance \(\underline{Z_1}\) est purement réelle (branche résistive). \(\underline{Z_2}\) a une partie imaginaire positive, ce qui est caractéristique d'une branche inductive. \(\underline{Z_3}\) est purement imaginaire et négative, ce qui est caractéristique d'une branche capacitive.

Points de vigilance

L'erreur la plus courante ici est la conversion des unités : ne pas oublier de convertir les millihenrys (mH) en henrys (H) et les microfarads (\(\mu\)F) en farads (F) avant le calcul.

Points à retenir

L'impédance d'une branche est la somme complexe des impédances en série. Sa partie réelle est la résistance, sa partie imaginaire est la réactance. Positive pour une inductance, négative pour une capacité.

Le saviez-vous ?

Le concept d'impédance a été crucial dans le développement des filtres électroniques. En choisissant judicieusement les valeurs de L et C, on peut créer des circuits qui laissent passer certaines fréquences (filtres passe-bas, passe-haut) et en bloquent d'autres, une technologie à la base de toutes les communications radio.

FAQ
Pourquoi l'impédance d'une inductance augmente-t-elle avec la fréquence ?

Une inductance s'oppose aux variations rapides de courant (\(v = L \frac{di}{dt}\)). Plus la fréquence est élevée, plus le courant varie vite, et plus l'opposition (l'impédance) de l'inductance est grande.

Résultat Final
\(\underline{Z_1} = 10 \, \Omega\), \(\underline{Z_2} = 5 + j20 \, \Omega\), \(\underline{Z_3} = -j10 \, \Omega\).
A vous de jouer

Quelle serait l'impédance \(\underline{Z_2}\) si la fréquence était doublée (pulsation \(\omega = 2000\) rad/s) ?

Question 3 : Calcul des admittances complexes

Principe

L'admittance est l'inverse de l'impédance. Elle mesure la facilité avec laquelle un courant peut circuler. C'est une grandeur pratique pour les calculs de circuits en parallèle, comme avec le théorème de Millman.

Mini-Cours

L'admittance \(\underline{Y}\) est un nombre complexe dont la partie réelle est la conductance (\(G\)) et la partie imaginaire est la susceptance (\(B\)), soit \(\underline{Y} = G + jB\). Pour calculer l'inverse d'un complexe \(a+jb\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(a-jb\) : \(\frac{1}{a+jb} = \frac{a-jb}{a^2+b^2}\).

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas l'inverse d'une somme et la somme des inverses. L'admittance d'une branche est l'inverse de l'impédance totale de la branche, et non la somme des admittances de chaque composant en série.

Normes

L'unité de l'admittance est le Siemens (S), nommée en l'honneur de l'inventeur et industriel allemand Ernst Werner von Siemens. Elle est reconnue par le Système International d'unités.

Formule(s)
\[ \underline{Y} = \frac{1}{\underline{Z}} \]
Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire ; nous continuons à travailler avec les valeurs d'impédance calculées précédemment.

Donnée(s)
  • \(\underline{Z_1} = 10 \, \Omega\)
  • \(\underline{Z_2} = 5 + j20 \, \Omega\)
  • \(\underline{Z_3} = -j10 \, \Omega\)
Astuces

Pour une impédance purement réelle ou imaginaire, l'inversion est directe. Pour \(\underline{Z}=R\), \(\underline{Y}=1/R\). Pour \(\underline{Z}=jX\), \(\underline{Y}=1/(jX)=-j/X\). Cela permet de calculer \(\underline{Y_1}\) et \(\underline{Y_3}\) de tête.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit avec blocs d'impédance

Nous partons du circuit modélisé avec les impédances \(\underline{Z_1}\), \(\underline{Z_2}\), \(\underline{Z_3}\).

ABe₁Z₁e₂Z₂Z₃
Calcul(s)

Admittance \(\underline{Y_1}\)

\[ \underline{Y_1} = \frac{1}{\underline{Z_1}} = \frac{1}{10} = 0.1 \text{ S} \]

Admittance \(\underline{Y_2}\)

\[\begin{aligned} \underline{Y_2} &= \frac{1}{\underline{Z_2}} = \frac{1}{5 + j20} \\ &= \frac{1 \cdot (5 - j20)}{(5 + j20)(5 - j20)} \\ &= \frac{5 - j20}{5^2 + 20^2} \\ &= \frac{5 - j20}{425} \\ &\approx 0.0118 - j0.0471 \text{ S} \end{aligned}\]

Admittance \(\underline{Y_3}\)

\[\begin{aligned} \underline{Y_3} &= \frac{1}{\underline{Z_3}} = \frac{1}{-j10} \\ &= \frac{j}{-j^2 \cdot 10} \\ &= \frac{j}{10} = j0.1 \text{ S} \end{aligned}\]
Schéma (Après les calculs)
Circuit équivalent avec blocs d'admittance

Chaque branche est maintenant représentée par son admittance.

ABe₁Y₁e₂Y₂Y₃
Réflexions

On remarque que la branche inductive (\(\underline{Z_2}\)) a une admittance avec une partie imaginaire négative, tandis que la branche capacitive (\(\underline{Z_3}\)) a une admittance avec une partie imaginaire positive. C'est l'inverse de ce qu'on observe pour les impédances.

Points de vigilance

L'erreur classique est de mal appliquer la formule du conjugué : \((a+jb)(a-jb) = a^2 + b^2\), et non \(a^2 - (jb)^2\) qui donnerait \(a^2-b^2\). Attention au signe !

Points à retenir

L'admittance est l'outil de choix pour l'analyse des circuits en parallèle. Une impédance inductive donne une susceptance (partie imaginaire de Y) négative. Une impédance capacitive donne une susceptance positive.

Le saviez-vous ?

Avant l'adoption du Siemens, l'unité d'admittance était le "mho" (ohm écrit à l'envers), symbolisé par un oméga majuscule inversé mho. Cette notation amusante est encore parfois rencontrée dans de vieux manuels.

FAQ
Pourquoi utiliser les admittances si on a déjà les impédances ?

Parce que les admittances en parallèle s'additionnent, tout comme les résistances en série. Cela simplifie grandement les formules pour les circuits parallèles, comme on le voit dans le théorème de Millman.

Résultat Final
\(\underline{Y_1} = 0.1 \text{ S}\), \(\underline{Y_2} \approx 0.0118 - j0.0471 \text{ S}\), \(\underline{Y_3} = j0.1 \text{ S}\).
A vous de jouer

Quelle est l'admittance d'une impédance \(\underline{Z} = 10 + j10 \, \text{Ω}\) ?

Question 4 : Application du Théorème de Millman

Principe

Le théorème de Millman établit que la tension à un nœud commun est égale à la somme des courants de court-circuit de chaque branche (générateurs de Norton équivalents) divisée par la somme des admittances de chaque branche.

Mini-Cours

Chaque branche (source \(\underline{E_k}\) en série avec \(\underline{Z_k}\)) peut être vue comme un générateur de courant \(\underline{I_k} = \underline{E_k}/\underline{Z_k}\) en parallèle avec une admittance \(\underline{Y_k}\). La loi des nœuds au point A stipule que la somme des courants entrant est nulle. La tension \(\underline{V}_{AB}\) est donc le rapport entre la somme des courants des générateurs et la somme des admittances.

Remarque Pédagogique

La forme la plus simple à retenir et à utiliser est celle avec les admittances : \(\underline{V}_{AB} = (\sum \underline{E_k}\underline{Y_k}) / (\sum \underline{Y_k})\). Organisez votre calcul en deux temps : calculez d'abord la somme au numérateur, puis la somme au dénominateur, avant de faire la division finale.

Normes

Le théorème de Millman est un outil d'analyse standard, dérivé des lois fondamentales de Kirchhoff, qui sont la base de toute l'analyse de circuits électriques.

Formule(s)
\[ \underline{V}_{AB} = \frac{\underline{E_1}\underline{Y_1} + \underline{E_2}\underline{Y_2} + \dots}{\underline{Y_1} + \underline{Y_2} + \dots} \]
Hypothèses

On suppose que les fils de connexion sont parfaits (résistance nulle) et que la tension de référence (nœud B) est bien de 0V par rapport à elle-même.

Donnée(s)

On réutilise les valeurs de \(\underline{E_k}\) et \(\underline{Y_k}\) calculées dans les questions précédentes. Notez que pour la branche 3, \(\underline{E_3} = 0\) V car elle ne contient pas de source.

Astuces

Avant de faire la division finale des deux nombres complexes, convertissez-les en forme polaire. La division des modules et la soustraction des angles sont souvent plus rapides et moins sujettes aux erreurs que la multiplication par le conjugué.

Schéma (Avant les calculs)
Modèle de Thévenin/Norton pour chaque branche

Chaque branche est transformée en un générateur de courant en parallèle avec son admittance.

I_k = E_k Y_kY_k
Calcul(s)

Numérateur \(\sum \underline{E_k}\underline{Y_k}\)

\[\begin{aligned} \text{Num} &= (10)(0.1) + (14.14 + j14.14)(0.0118 - j0.0471) \\ &= 1 + (0.1668 + 0.666) + j(-0.666 + 0.1668) \\ &\approx 1.8328 - j0.4992 \end{aligned}\]

Dénominateur \(\sum \underline{Y_k}\)

\[\begin{aligned} \text{Dén} &= (0.1) + (0.0118 - j0.0471) + (j0.1) \\ &= 0.1118 + j0.0529 \end{aligned}\]

Division

\[\begin{aligned} \underline{V}_{AB} &= \frac{1.8328 - j0.4992}{0.1118 + j0.0529} \\ &= \frac{(1.8328 - j0.4992)(0.1118 - j0.0529)}{(0.1118)^2 + (0.0529)^2} \\ &= \frac{0.1786 - j0.1528}{0.0153} \\ &\approx 11.67 - j9.99 \text{ V} \end{aligned}\]
Réflexions

Le calcul montre comment les différentes sources et impédances se combinent pour créer une tension résultante au nœud A. Le résultat est un nombre complexe, ce qui indique que la tension \(V_{AB}\) aura sa propre amplitude et sa propre phase, différentes de celles des sources initiales.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier un terme dans l'une des sommes (numérateur ou dénominateur), ou de mal calculer le produit de deux nombres complexes. Procédez méthodiquement.

Points à retenir

Le théorème de Millman est la méthode la plus rapide pour trouver la tension à un nœud connectant de multiples branches en parallèle. Sa maîtrise est essentielle pour l'analyse de circuits complexes.

Le saviez-vous ?

Jacob Millman, l'ingénieur qui a formulé ce théorème, était un professeur à l'Université de Columbia. Il est également l'auteur d'un des livres d'électronique les plus influents du 20ème siècle, "Microelectronics".

FAQ
Peut-on utiliser Millman s'il y a des sources de courant ?

Oui. Une branche avec une source de courant \(\underline{I}\) en parallèle d'une admittance \(\underline{Y}\) est déjà sous sa forme "Norton". On ajoute simplement \(\underline{I}\) au numérateur et \(\underline{Y}\) au dénominateur.

Résultat Final
\(\underline{V}_{AB} \approx 11.67 - j9.99\) V.
A vous de jouer

Si on déconnectait la branche 3 (le condensateur), quelle serait la nouvelle partie réelle de \(\underline{V}_{AB}\) ?

Question 5 : Module et argument de \(\underline{V}_{AB}\)

Principe

Convertir le résultat de sa forme rectangulaire (\(a+jb\)) en forme polaire (\(M e^{j\phi}\)) permet d'isoler les deux grandeurs physiques qui nous intéressent : l'amplitude du signal (via le module, qui est la valeur efficace) et son déphasage par rapport à l'origine (l'argument).

Mini-Cours

Pour un nombre complexe \(\underline{Z} = a + jb\), le module (ou magnitude) est la longueur du vecteur dans le plan complexe, calculée par le théorème de Pythagore : \(|\underline{Z}| = \sqrt{a^2 + b^2}\). L'argument (ou phase) est l'angle que fait ce vecteur avec l'axe réel positif, calculé par \(\arg(\underline{Z}) = \arctan(b/a)\), en faisant attention au quadrant.

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de visualiser le nombre complexe dans le plan. Ici, \(a=11.67\) (positif) et \(b=-9.99\) (négatif), le point est donc dans le quatrième quadrant. L'angle calculé par la calculatrice sera donc directement le bon (entre -90° et 0°).

Normes

La représentation polaire (Module, Phase) est la norme pour spécifier les caractéristiques d'un signal AC sur les fiches techniques des équipements (par exemple, un gain de 20 dB et une phase de -30°).

Formule(s)
\[ |\underline{V}| = \sqrt{\text{Re}(\underline{V})^2 + \text{Im}(\underline{V})^2} \]
\[ \arg(\underline{V}) = \arctan\left(\frac{\text{Im}(\underline{V})}{\text{Re}(\underline{V})}\right) \]
Hypothèses

Le calcul se base sur la validité de la valeur rectangulaire \(\underline{V}_{AB} \approx 11.67 - j9.99\) V obtenue à la question précédente.

Donnée(s)
  • Partie réelle : \(a = 11.67\)
  • Partie imaginaire : \(b = -9.99\)
Astuces

La plupart des calculatrices scientifiques ont une fonction de conversion rectangulaire vers polaire (souvent notée "Pol(" ou accessible via un menu "Complex"). C'est un excellent moyen de vérifier rapidement vos calculs manuels.

Schéma (Avant les calculs)
Vecteur \(\underline{V}_{AB}\) en coordonnées rectangulaires
11.67-9.99
Calcul(s)

Calcul du module (valeur efficace)

\[\begin{aligned} |\underline{V}_{AB}| &= \sqrt{11.67^2 + (-9.99)^2} \\ &= \sqrt{136.19 + 99.8} \\ &= \sqrt{235.99} \\ &\approx 15.36 \text{ V} \end{aligned}\]

Calcul de l'argument (phase)

\[\begin{aligned} \arg(\underline{V}_{AB}) &= \arctan\left(\frac{-9.99}{11.67}\right) \\ &\approx \arctan(-0.856) \\ &\approx -40.56^\circ \end{aligned}\]
Schéma (Après les calculs)
Vecteur \(\underline{V}_{AB}\) en coordonnées polaires
-40.56°|V| = 15.36
Réflexions

Le résultat nous apprend deux choses : la tension efficace aux bornes de A et B est de 15.36 V. De plus, cette tension est en retard de 40.56° par rapport à la source de référence \(e_1(t)\).

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice est dans le bon mode (degrés ou radians) lors du calcul de l'arc tangente. Une erreur ici est très fréquente et change complètement le résultat final.

Points à retenir

La conversion rectangulaire -> polaire est l'étape qui permet de passer d'un résultat de calcul mathématique à une interprétation physique : une amplitude (valeur efficace) et un déphasage.

Le saviez-vous ?

En distribution d'énergie triphasée, l'équilibre des phases est crucial. Les tensions dans les trois phases sont décalées de 120° les unes par rapport aux autres. La représentation par phaseurs est l'outil indispensable pour analyser ces systèmes.

FAQ
Que signifie physiquement la valeur efficace ?

C'est la valeur de la tension continue qui dissiperait la même quantité d'énergie sous forme de chaleur dans une résistance donnée. C'est en quelque sorte la "valeur utile" de la tension alternative.

Résultat Final
Le module est \(V_{AB_{\text{eff}}} \approx 15.36\) V et l'argument est \(\phi \approx -40.56^\circ\).
A vous de jouer

Quel est le module de la tension complexe \(\underline{V} = 3 - j4\) V ?

Question 6 : Expression temporelle \(v_{AB}(t)\)

Principe

C'est l'opération inverse de la question 1 : on reconstruit le signal sinusoïdal physique, mesurable avec un oscilloscope, à partir de son phaseur. On traduit les informations d'amplitude et de phase du domaine complexe vers le domaine temporel.

Mini-Cours

La conversion d'un phaseur \(\underline{V} = V_{\text{eff}}e^{j\phi}\) en signal temporel \(v(t)\) se fait en appliquant la définition : on multiplie la valeur efficace par \(\sqrt{2}\) pour retrouver l'amplitude maximale, et on insère la phase et la pulsation dans la fonction sinus : \(v(t) = V_{\text{eff}}\sqrt{2} \sin(\omega t + \phi)\).

Remarque Pédagogique

Rappelez-vous que tout le travail avec les nombres complexes n'avait qu'un seul but : trouver ces deux nombres, le module (valeur efficace) et la phase. Une fois que vous les avez, la dernière étape est une simple application de formule pour revenir au monde "réel".

Normes

La représentation \(V_{\text{max}}\sin(\omega t + \phi)\) est la représentation mathématique standard d'un signal sinusoïdal en physique et en ingénierie.

Formule(s)
\[ v(t) = |\underline{V}| \cdot \sqrt{2} \cdot \sin(\omega t + \arg(\underline{V})) \]
Hypothèses

On suppose que la pulsation \(\omega\) du signal de sortie est la même que celle des sources d'entrée, ce qui est toujours le cas dans un circuit linéaire en régime sinusoïdal établi.

Donnée(s)
  • Module (valeur efficace) : \(|\underline{V}_{AB}| \approx 15.36\) V
  • Argument (phase) : \(\arg(\underline{V}_{AB}) \approx -40.56^\circ\)
  • Pulsation : \(\omega = 1000\) rad/s
Astuces

Il est courant de laisser l'angle en degrés dans l'expression finale car c'est plus intuitif pour beaucoup d'ingénieurs. Assurez-vous simplement d'être cohérent. Si un calcul ultérieur nécessite l'angle (par exemple, une intégration), il faudra le convertir en radians.

Schéma (Avant les calculs)
Phaseur \(\underline{V}_{AB}\) en coordonnées polaires

Nous partons du résultat de la question 5.

-40.56°|V| = 15.36
Calcul(s)

Calcul de l'amplitude maximale

\[\begin{aligned} V_{\text{max}} &= V_{\text{eff}} \cdot \sqrt{2} \\ &= 15.36 \cdot \sqrt{2} \\ &\approx 21.72 \text{ V} \end{aligned}\]

Écriture de l'expression temporelle

\[ v_{AB}(t) = 21.72 \sin(1000t - 40.56^\circ) \text{ V} \]
Schéma (Après les calculs)
Signal \(v_{AB}(t)\) dans le temps
tVmax ≈ 21.72V
Réflexions

Le résultat final est la tension physique que l'on pourrait mesurer entre les points A et B avec un oscilloscope. Elle oscille à 1000 rad/s (environ 159 Hz), atteint des pics à +21.72 V et -21.72 V, et est déphasée par rapport à la source de référence.

Points de vigilance

L'erreur la plus critique est d'oublier de multiplier la valeur efficace (le module) par \(\sqrt{2}\) pour obtenir l'amplitude maximale. La valeur efficace n'est PAS l'amplitude du sinus !

Points à retenir

Le passage du domaine complexe au domaine temporel est la dernière étape de l'analyse. Elle donne un sens physique aux résultats des calculs. Les trois informations clés sont : l'amplitude maximale, la pulsation et la phase.

Le saviez-vous ?

Les oscilloscopes modernes peuvent analyser un signal et afficher directement sa valeur efficace (RMS), sa fréquence et son amplitude maximale, effectuant ainsi automatiquement les conversions que nous venons de faire.

FAQ
Puis-je écrire le résultat avec un cosinus ?

Oui. Comme \(\sin(x) = \cos(x - 90^\circ)\), vous pouvez écrire \(v_{AB}(t) = 21.72 \cos(1000t - 40.56^\circ - 90^\circ) = 21.72 \cos(1000t - 130.56^\circ)\) V. Les deux expressions sont rigoureusement identiques.

Résultat Final
\(v_{AB}(t) \approx 21.72 \sin(1000t - 40.56^\circ) \text{ V}\).
A vous de jouer

Quelle est l'expression temporelle pour une tension dont le phaseur est \(\underline{V} = 5e^{j30^\circ}\) V à \(\omega=100\) rad/s ?

Outil Interactif : Simulateur d'influence

Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier la fréquence du circuit ou la valeur de la résistance \(R_1\) et observez en temps réel leur impact sur la tension de Millman \(V_{AB}\) (module et phase), ainsi que sur la courbe de réponse en fréquence.

Paramètres d'Entrée
159 Hz
10 Ω
Résultats Clés
Module de \(V_{AB}\) (Veff) -
Phase de \(V_{AB}\) (degrés) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'admittance est...

2. L'impédance d'une inductance parfaite...

3. Dans la formule de Millman, si une branche ne contient pas de générateur de tension, sa contribution au numérateur est...

4. Une phase de -45° signifie que le signal est...

5. L'unité de l'admittance est le...

Glossaire

Admittance (\(\underline{Y}\))
Inverse de l'impédance (\(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\)), mesurée en Siemens (S). Elle représente la facilité avec laquelle un circuit ou un composant laisse passer un courant alternatif.
Impédance (\(\underline{Z}\))
Nombre complexe représentant l'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. Elle généralise la notion de résistance et se mesure en Ohms (Ω).
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, mesurée en radians par seconde (rad/s). Elle est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).
Régime sinusoïdal
Régime permanent d'un circuit électrique où toutes les tensions et tous les courants sont des fonctions sinusoïdales du temps, de même pulsation.
Déphasage (\(\phi\))
Décalage angulaire (ou temporel) entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence. C'est l'argument du nombre complexe représentant une tension ou un courant.
Théorème de Millman en Régime Sinusoïdal

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