Théorème de Superposition : Circuit à Deux Sources Sinusoïdales
Contexte : Le Théorème de SuperpositionUn principe fondamental pour les circuits linéaires, stipulant que la réponse (tension ou courant) dans une branche est la somme algébrique des réponses causées par chaque source indépendante agissant seule..
L'analyse de circuits électriques contenant plusieurs sources indépendantes peut s'avérer complexe. Le théorème de superposition est un outil puissant qui simplifie cette analyse en nous permettant d'étudier l'effet de chaque source individuellement. Cet exercice est particulièrement pertinent en régime sinusoïdalUn état stable d'un circuit où toutes les tensions et tous les courants sont des sinusoïdes de même fréquence, mais avec des amplitudes et des phases potentiellement différentes., surtout lorsque les sources opèrent à des fréquences différentes, une situation où l'analyse par phaseursUn nombre complexe représentant l'amplitude et la phase d'une sinusoïde. Il simplifie l'analyse des circuits en régime sinusoïdal en transformant les équations différentielles en équations algébriques. doit être menée avec précaution.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe en sous-problèmes plus simples et à comprendre pourquoi la superposition est indispensable lorsque les fréquences des sources diffèrent.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer correctement le théorème de superposition dans un circuit RLC.
- Calculer les impédancesLa généralisation de la résistance pour les circuits en courant alternatif. C'est un nombre complexe qui représente à la fois la résistance et la réactance (opposition au changement de courant ou de tension). des composants à différentes fréquences.
- Analyser la contribution de chaque source (tension et courant) séparément.
- Synthétiser les résultats partiels dans le domaine temporel pour obtenir la réponse finale.
Données de l'étude
Schéma du Circuit RLC à Deux Sources
| Composant / Source | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Source de tension | \(v_1(t)\) | \(10 \cos(100t) \text{ V}\) |
| Source de courant | \(i_2(t)\) | \(1 \cos(200t + 30^\circ) \text{ A}\) |
| Résistance 1 | \(R_1\) | \(5 \, \Omega\) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | \(10 \, \Omega\) |
| Inductance | \(L\) | \(100 \text{ mH}\) |
Questions à traiter
- Déterminer l'expression de la tension \(v'_L(t)\) aux bornes de l'inductance due uniquement à la source de tension \(v_1(t)\).
- Déterminer l'expression de la tension \(v''_L(t)\) aux bornes de l'inductance due uniquement à la source de courant \(i_2(t)\).
- En appliquant le théorème de superposition, trouver l'expression finale de la tension totale \(v_L(t)\).
- Déterminer l'expression du courant total \(i_{R1}(t)\) traversant la résistance \(R_1\).
- Calculer la puissance moyenne totale \(P_{R1}\) dissipée par la résistance \(R_1\).
Les bases sur la Superposition et les Impédances
Pour résoudre cet exercice, deux concepts clés sont nécessaires : le théorème de superposition et la notion d'impédance complexe en régime sinusoïdal.
1. Le Théorème de Superposition
Pour un circuit électrique linéaire contenant plusieurs sources indépendantes, la réponse totale dans n'importe quelle partie du circuit est la somme algébrique des réponses causées par chaque source agissant seule. Pour analyser l'effet d'une source, les autres sources indépendantes doivent être "éteintes" :
- Les sources de tension sont remplacées par un court-circuit (tension nulle).
- Les sources de courant sont remplacées par un circuit ouvert (courant nul).
2. L'Impédance Complexe (\(Z\))
En régime sinusoïdal, on utilise les phaseurs et les impédances pour transformer les équations différentielles en équations algébriques. L'impédance d'un composant dépend de la pulsation \(\omega\) de la source.
- Résistance \(R\): \(Z_R = R\)
- Inductance \(L\): \(Z_L = j\omega L\)
- Condensateur \(C\): \(Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C}\)
Correction : Théorème de Superposition : Circuit à Deux Sources Sinusoïdales
Question 1 : Contribution de la source de tension \(v_1(t)\)
Principe (le concept physique)
On isole l'effet de la première source. Physiquement, cela revient à analyser le comportement du circuit comme si seule la source de tension existait. On étudie comment cette source seule va générer une tension aux bornes de l'inductance.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Dans un circuit série alimenté par une tension, la tension se répartit entre les composants. Le diviseur de tension est un principe découlant des lois de Kirchhoff qui permet de calculer la tension aux bornes d'un composant sans avoir à calculer le courant au préalable. La tension est proportionnelle à l'impédance du composant.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La première étape est toujours de redessiner le circuit simplifié. Ici, "éteindre" la source de courant \(i_2(t)\) signifie la remplacer par un circuit ouvert. Visualiser ce nouveau schéma simple (un circuit série) est la clé pour ne pas se tromper.
Normes (la référence réglementaire)
L'analyse de circuits électriques repose sur des lois fondamentales qui agissent comme des normes universelles : les lois d'Ohm et de Kirchhoff. Le théorème de superposition est un corollaire direct de la propriété de linéarité de ces lois.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule du diviseur de tension
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Le circuit est considéré comme linéaire (les valeurs de R et L ne dépendent pas de la tension ou du courant).
- Les composants sont idéaux (pas de résistance interne pour la source ou l'inductance).
- Le circuit est en régime sinusoïdal permanent.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Source de tension (phaseur) | \(\vec{V}_1\) | \(10\angle0^\circ \text{ V}\) |
| Pulsation | \(\omega_1\) | \(100 \text{ rad/s}\) |
| Résistance | \(R_1\) | \(5 \, \Omega\) |
| Inductance | \(L\) | \(0.1 \text{ H}\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Avant de calculer, on peut anticiper que dans un circuit R-L, la tension aux bornes de l'inductance sera en avance de phase sur le courant (et donc sur la tension de la résistance). La phase finale de \(\vec{V'}_L\) devrait donc être comprise entre 0° et 90°.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de l'impédance de l'inductance
Application du diviseur de tension
Conversion en domaine temporel
Schéma (Après les calculs)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat montre que la tension aux bornes de l'inductance a une amplitude de 8.94V, soit un peu moins que la source, ce qui est logique car une partie de la tension est aux bornes de \(R_1\). La phase est de +26.57°, confirmant que la tension aux bornes de l'inductance est en avance sur la tension totale du circuit R-L série.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à bien utiliser la pulsation \(\omega_1 = 100\) rad/s pour ce calcul. Une erreur fréquente est d'utiliser la mauvaise fréquence. Assurez-vous aussi que votre calculatrice est en mode "degrés" pour les calculs d'angles.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Éteindre une source de courant = circuit ouvert.
- L'impédance d'une inductance (\(Z_L=j\omega L\)) dépend de la fréquence.
- La formule du diviseur de tension s'applique avec les impédances complexes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept d'impédance et l'utilisation des nombres complexes pour analyser les circuits AC ont été largement développés par Oliver Heaviside à la fin du 19ème siècle, une avancée qui a radicalement simplifié l'électrotechnique.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)
Recalculez l'amplitude de \(v'_L(t)\) si la résistance \(R_1\) était de \(10 \, \Omega\).
Question 2 : Contribution de la source de courant \(i_2(t)\)
Principe (le concept physique)
On isole maintenant l'effet de la source de courant. Physiquement, on analyse comment cette source injecte un courant dans le circuit et comment ce courant se répartit dans les différentes branches pour créer une tension aux bornes de l'inductance.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Quand un courant arrive à un nœud et se sépare en plusieurs branches parallèles, il se répartit selon le principe du diviseur de courant. Le courant dans une branche est inversement proportionnel à l'impédance de cette branche : il préfère le chemin le plus "facile" (impédance la plus faible).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ici, "éteindre" la source de tension \(v_1(t)\) signifie la remplacer par un court-circuit (un fil). Redessinez le circuit : vous verrez que \(R_1\) et \(L\) sont maintenant en parallèle, et que ce groupe est alimenté par la source de courant.
Normes (la référence réglementaire)
Comme pour la question 1, l'analyse repose sur les lois fondamentales de l'électricité (Ohm, Kirchhoff) et le principe de linéarité.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule du diviseur de courant
Loi d'Ohm généralisée
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Le circuit reste linéaire et les composants idéaux.
- Le circuit est en régime sinusoïdal permanent à la nouvelle pulsation \(\omega_2\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Source de courant (phaseur) | \(\vec{I}_2\) | \(1\angle30^\circ \text{ A}\) |
| Pulsation | \(\omega_2\) | \(200 \text{ rad/s}\) |
| Résistance | \(R_1\) | \(5 \, \Omega\) |
| Inductance | \(L\) | \(0.1 \text{ H}\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Le courant se divise. Comme l'impédance de l'inductance (\(j20 \, \Omega\)) est bien plus grande que celle de la résistance (\(5 \, \Omega\)), on s'attend à ce que le courant dans l'inductance soit plus faible que celui dans la résistance.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit avec \(i_2(t)\) seule active
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de l'impédance de l'inductance
Application du diviseur de courant pour trouver \(\vec{I''}_L\)
Calcul de la tension \(\vec{V''}_L\)
Conversion en domaine temporel
Schéma (Après les calculs)
Diagramme Phasoriel des Courants pour le cas \(i_2\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La source de courant de 1A génère une tension de 4.84V aux bornes de l'inductance. L'amplitude est modérée, ce qui est cohérent avec le fait que le courant se divise et que seule une petite partie (0.242A) traverse l'inductance.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La formule du diviseur de courant est souvent source d'erreur : on met l'impédance de l'autre branche au numérateur. Ici, pour trouver le courant dans \(L\), on met \(R_1\) au numérateur.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Éteindre une source de tension = court-circuit.
- Le diviseur de courant utilise l'impédance de la branche opposée au numérateur.
- La loi d'Ohm \(\vec{V} = Z \vec{I}\) est toujours valable.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de source de courant idéale est une abstraction. En pratique, elles sont construites avec des amplificateurs opérationnels ou des transistors et ont toujours une impédance interne très élevée (mais pas infinie).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)
Recalculez l'amplitude de \(v''_L(t)\) si l'inductance \(L\) était de \(50 \text{ mH}\).
Question 3 : Tension Totale \(v_L(t)\) par Superposition
Principe (le concept physique)
Le principe de superposition affirme que dans un système linéaire, l'effet total de plusieurs actions est la simple somme des effets de chaque action prise individuellement. On additionne donc les deux tensions temporelles calculées précédemment.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'addition de deux sinusoïdes de fréquences différentes donne un signal périodique mais non sinusoïdal. Sa période est le plus petit commun multiple des périodes individuelles. C'est la base de l'analyse de Fourier, qui décompose tout signal périodique en une somme de sinusoïdes.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
L'étape cruciale ici est de se souvenir qu'on ne peut pas additionner les phaseurs \(\vec{V'}_L\) et \(\vec{V''}_L\) car ils "vivent" dans des mondes fréquentiels différents. L'addition doit impérativement se faire dans le domaine temporel.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul est une application directe du principe de linéarité, une propriété mathématique fondamentale des systèmes décrits par des équations différentielles linéaires à coefficients constants, comme ce circuit.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Somme des tensions temporelles
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'hypothèse fondamentale est la linéarité du circuit, qui garantit la validité du théorème de superposition.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Composante | Expression temporelle |
|---|---|
| \(v'_L(t)\) | \(8.94 \cos(100t + 26.57^\circ) \text{ V}\) |
| \(v''_L(t)\) | \(4.84 \cos(200t + 44.04^\circ) \text{ V}\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Il n'y a pas d'astuce ici, l'addition est directe. Il ne faut surtout pas chercher à simplifier davantage l'expression finale.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
On écrit simplement la somme des deux expressions temporelles.
Schéma (Après les calculs)
Allure du signal total \(v_L(t)\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat final n'est pas une simple sinusoïde. Il contient deux composantes fréquentielles. C'est ainsi que les circuits linéaires traitent les signaux complexes : chaque fréquence est traitée indépendamment, et le résultat est la somme de ces traitements.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais, au grand jamais, additionner des phaseurs qui ont été calculés à des fréquences différentes. C'est l'erreur la plus grave et la plus fréquente dans ce type de problème.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La superposition de tensions ou de courants de fréquences différentes se fait uniquement dans le domaine temporel. Le résultat est un signal composite.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Cette méthode est à la base de toute la théorie du traitement du signal. Les analyseurs de spectre, par exemple, fonctionnent en décomposant un signal complexe en ses différentes composantes sinusoïdales, exactement comme nous l'avons fait ici.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)
Si \(v'_L(t) = 5\cos(50t)\) et \(v''_L(t) = 2\cos(100t)\), quelle est l'expression de \(v_L(t)\) ?
Question 4 : Courant total \(i_{R1}(t)\) dans la résistance \(R_1\)
Principe (le concept physique)
Le courant total traversant la résistance \(R_1\) est également la somme des courants générés par chaque source agissant seule. On doit donc calculer la contribution de chaque source au courant dans \(R_1\) et les sommer.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette question combine les deux techniques vues précédemment. Pour la source de tension, le courant est le même dans toute la maille série. Pour la source de courant, il faut à nouveau utiliser un diviseur de courant pour trouver la part du courant qui traverse \(R_1\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Faites très attention aux sens des courants. Définissez un sens positif pour \(i_{R1}(t)\) sur le schéma et respectez-le. Lors de l'analyse avec la source de courant, vous verrez que le courant qu'elle induit dans \(R_1\) est dans le sens opposé à celui induit par la source de tension.
Normes (la référence réglementaire)
L'analyse repose toujours sur les lois de Kirchhoff, la loi d'Ohm et le principe de linéarité.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Courant dû à \(v_1\)
Courant dû à \(i_2\)
Courant total
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les mêmes hypothèses de linéarité et de régime permanent s'appliquent.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur (\(\omega_1\)) | Valeur (\(\omega_2\)) |
|---|---|---|---|
| Source | \(\vec{V}_1, \vec{I}_2\) | \(10\angle0^\circ \text{ V}\) | \(1\angle30^\circ \text{ A}\) |
| Pulsation | \(\omega\) | \(100 \text{ rad/s}\) | \(200 \text{ rad/s}\) |
| Résistance | \(R_1\) | \(5 \, \Omega\) | \(5 \, \Omega\) |
| Impédance Inductance | \(Z_L\) | \(j10 \, \Omega\) | \(j20 \, \Omega\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Une partie du travail a déjà été faite. Le dénominateur \(R_1 + Z_L\) a été calculé en forme polaire pour chaque fréquence dans les questions précédentes. Réutilisez ces résultats pour gagner du temps.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la composante de courant \(\vec{I'}_{R1}\) (due à \(v_1\))
Conversion en domaine temporel de \(i'_{R1}(t)\)
Calcul de la composante de courant \(\vec{I''}_{R1}\) (due à \(i_2\))
Conversion en domaine temporel de \(i''_{R1}(t)\)
Schéma (Après les calculs)
Diagramme Phasoriel des Courants
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le courant dans la résistance \(R_1\) est, comme la tension \(v_L(t)\), un signal composite avec deux composantes fréquentielles. Chaque source contribue de manière significative au courant total.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Le signe négatif dans le calcul de \(\vec{I''}_{R1}\) est crucial et vient de la convention du diviseur de courant et du sens du courant de la source. Une erreur de signe ici est très fréquente.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La superposition s'applique à n'importe quelle tension ou courant dans un circuit linéaire. Il faut être méthodique et bien décomposer le problème pour chaque source.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les systèmes audio, la superposition est ce qui permet à nos oreilles d'entendre simultanément une basse (basse fréquence) et une cymbale (haute fréquence) jouées par un haut-parleur. Le circuit de l'amplificateur traite les deux signaux en même temps.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)
Quelle serait l'amplitude de la composante de courant \(i'_{R1}(t)\) si \(v_1(t)\) était de \(20\cos(100t)\) V ?
Question 5 : Puissance moyenne \(P_{R1}\) dissipée par \(R_1\)
Principe (le concept physique)
La puissance dissipée par une résistance dépend du carré du courant qui la traverse. Comme l'opération "carré" n'est pas linéaire, le principe de superposition ne s'applique PAS directement à la puissance. La puissance totale n'est pas la somme des puissances de chaque composante.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La valeur efficace (RMS) d'un signal est la valeur de la tension ou du courant continu qui produirait le même échauffement (même puissance) dans une résistance. Pour un signal composé de plusieurs sinusoïdes de fréquences orthogonales (comme ici), le carré de la valeur RMS totale est la somme des carrés des valeurs RMS de chaque sinusoïde.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est la question piège par excellence. Retenez cette règle d'or : "Superposition pour V et I, OUI. Superposition pour P, NON." La seule méthode sûre est de calculer la valeur efficace (RMS) du courant total, puis d'appliquer la formule de la puissance.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de la puissance moyenne à partir des valeurs efficaces est une définition standard en électrotechnique, formalisée par les normes internationales (CEI, IEEE).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la valeur efficace totale
Formule de la puissance moyenne
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les deux fréquences ne sont pas des harmoniques l'une de l'autre de manière à ce que les termes croisés s'annulent en moyenne sur une période, ce qui est le cas ici.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Amplitude du courant 1 | \(I'_{R1,\text{max}}\) | \(0.894 \text{ A}\) |
| Amplitude du courant 2 | \(I''_{R1,\text{max}}\) | \(0.97 \text{ A}\) |
| Résistance | \(R_1\) | \(5 \, \Omega\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
On peut utiliser directement le carré des amplitudes : \(P = \frac{R}{2} (I'_{\text{max}}{}^2 + I''_{\text{max}}{}^2)\). Cela évite de calculer les valeurs RMS intermédiaires.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du carré de la valeur efficace de la 1ère composante
Calcul du carré de la valeur efficace de la 2ème composante
Calcul du carré de la valeur efficace totale
Calcul de la puissance moyenne
Schéma (Après les calculs)
Contribution à la Puissance Moyenne
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La résistance dissipe en moyenne 4.35 Watts sous forme de chaleur. Si on avait (incorrectement) additionné les puissances (\(P' = 5 \cdot 0.3996 = 2W\) et \(P'' = 5 \cdot 0.4704 = 2.35W\)), on aurait trouvé \(2 + 2.35 = 4.35W\). Dans ce cas précis, ça fonctionne car les fréquences sont différentes. Mais si les fréquences étaient les mêmes, il faudrait additionner les phaseurs avant de calculer la puissance, et le résultat serait différent.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Le point principal est de ne pas appliquer la superposition à la puissance. La méthode correcte et universelle est de passer par le calcul de la valeur efficace (RMS) du signal total.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La puissance n'est pas linéaire.
- La puissance moyenne se calcule avec la valeur efficace (RMS) du signal total.
- Pour des signaux de fréquences différentes, \(I_{\text{total,rms}}^2 = \sum I_{i,\text{rms}}^2\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La valeur efficace (RMS) est fondamentale. C'est la valeur indiquée par un voltmètre ou un ampèremètre en mode "AC". Les 230V du secteur sont une valeur efficace ; la tension maximale (amplitude) est en réalité \(230 \times \sqrt{2} \approx 325V\).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)
Quelle serait la puissance moyenne dissipée si seule la source \(v_1(t)\) était active ?
Outil Interactif : Réponse en Fréquence
Ce simulateur vous permet d'explorer comment l'amplitude de la tension aux bornes de l'inductance, due à la source de tension \(v_1\), change en fonction de la fréquence de cette source. Cela illustre le comportement de filtre du circuit.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés à 100 rad/s
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Lors de l'application du théorème de superposition, comment traite-t-on une source de tension idéale ?
2. Si deux sources sinusoïdales dans un circuit ont des fréquences différentes, comment obtient-on la réponse totale ?
3. Quelle est l'impédance d'une inductance L de 100 mH à une pulsation de 50 rad/s ?
4. La puissance moyenne totale dissipée par une résistance est-elle la somme des puissances moyennes dues à chaque source ?
- Théorème de Superposition
- Principe d'analyse pour les circuits linéaires stipulant que la réponse totale est la somme des réponses à chaque source indépendante agissant seule.
- Impédance (\(Z\))
- Mesure de l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est un nombre complexe qui généralise la résistance.
- Phaseur
- Un nombre complexe représentant l'amplitude et la phase d'une onde sinusoïdale, utilisé pour simplifier les calculs en régime sinusoïdal.
- Valeur Efficace (RMS)
- La racine carrée de la moyenne des carrés d'un signal. Pour une sinusoïde, c'est l'amplitude divisée par \(\sqrt{2}\). Elle est utilisée pour calculer la puissance moyenne.
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