Circuits Électriques

Transformée de Laplace pour l’analyse de circuits

Analyse de Circuits RLC par Transformée de Laplace

Transformée de Laplace pour l'analyse de circuits

Contexte : L'analyse des circuits électriques en régime transitoireLe comportement temporaire d'un circuit après un changement soudain, comme la fermeture d'un interrupteur, avant qu'il n'atteigne un état stable..

L'étude des phénomènes transitoires est fondamentale en génie électrique pour comprendre comment les circuits réagissent à des changements brusques (fermeture d'interrupteur, échelon de tension, etc.). La résolution des équations différentielles qui régissent ces circuits peut être complexe. La Transformée de LaplaceOutil mathématique qui convertit des fonctions de la variable temps (t) en fonctions de la variable complexe fréquence (s), transformant les équations différentielles en équations algébriques plus simples. est une méthode puissante qui simplifie grandement cette analyse en transformant les équations différentielles en équations algébriques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes clés de l'analyse d'un circuit RLC série à l'aide de la transformée de Laplace, depuis la mise en équation jusqu'à l'interprétation de la nature de la réponse du circuit.

Objectifs Pédagogiques

  • Mettre en équation un circuit RLC à l'aide de la loi des mailles de Kirchhoff.
  • Transformer le circuit et l'équation différentielle dans le domaine de Laplace (domaine 's').
  • Résoudre l'équation algébrique pour trouver l'expression du courant \(I(s)\).
  • Utiliser la transformée de Laplace inverse pour revenir au domaine temporel et trouver \(i(t)\).
  • Analyser la réponse du circuit et déterminer la nature de l'amortissementLa manière dont un système oscillant (comme un circuit RLC) dissipe l'énergie. L'amortissement détermine si la réponse oscille, retourne rapidement à l'équilibre, ou retourne lentement à l'équilibre..

Données de l'étude

On considère le circuit RLC série ci-dessous. À l'instant \(t=0\), l'interrupteur S se ferme, connectant une source de tension continue E au circuit. Avant la fermeture de l'interrupteur, le circuit est au repos : le courant est nul et le condensateur est déchargé.

Schéma du Circuit RLC Série
E S t = 0 R L C i(t)
Caractéristique Symbole Valeur
Force Électromotrice \(E\) 24 V
Résistance \(R\) 8 \(\Omega\)
Inductance \(L\) 2 H
Capacité \(C\) 0.02 F

Questions à traiter

  1. Établir l'équation intégro-différentielle qui régit le courant \(i(t)\) pour \(t > 0\).
  2. Appliquer la transformée de Laplace à cette équation pour obtenir l'expression de \(I(s)\).
  3. Mettre \(I(s)\) sous une forme canonique et identifier les pôles du système.
  4. Appliquer la transformée de Laplace inverse pour trouver l'expression temporelle de \(i(t)\).
  5. Déterminer la nature du régime transitoire et calculer la valeur finale du courant en régime permanent.

Les bases : La Transformée de Laplace pour les Circuits

La transformée de Laplace est un outil mathématique qui permet de convertir une fonction du temps \(f(t)\) en une fonction de la fréquence complexe \(F(s)\). Son principal avantage en analyse de circuits est qu'elle transforme les équations différentielles et intégrales en simples équations algébriques, beaucoup plus faciles à manipuler.

1. Propriété de la Dérivation
C'est la propriété la plus importante pour nous. Elle transforme l'opération de dérivation par rapport au temps en une multiplication par 's' dans le domaine de Laplace. \[ \mathcal{L}\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\} = sF(s) - f(0^-) \] Où \(f(0^-)\) est la condition initiale juste avant \(t=0\).

2. Éléments de Circuit dans le Domaine de Laplace
Chaque composant a un équivalent dans le domaine 's' qui est appelé son impédance :

  • Résistance \(R \Rightarrow Z_R(s) = R\)
  • Inductance \(L \Rightarrow Z_L(s) = sL\)
  • Capacité \(C \Rightarrow Z_C(s) = \frac{1}{sC}\)

Correction : Transformée de Laplace pour l'analyse de circuits

Question 1 : Établir l'équation intégro-différentielle

Principe

Pour trouver l'équation qui décrit le comportement du circuit, nous utilisons la loi des mailles de Kirchhoff (LdM). Cette loi stipule que la somme algébrique des tensions dans une boucle fermée est nulle. Nous allons l'appliquer au circuit pour \(t>0\), lorsque l'interrupteur est fermé.

Mini-Cours

Loi des Mailles de Kirchhoff (LdM) : C'est l'un des principes fondamentaux de l'électricité, une conséquence de la conservation de l'énergie. Elle dit que si l'on parcourt une boucle fermée dans un circuit, la somme des augmentations de potentiel (sources) est égale à la somme des chutes de potentiel (charges : R, L, C).

Remarque Pédagogique

La première étape est toujours la même : poser correctement le problème physique. Prenez le temps de définir clairement le sens du courant et les tensions aux bornes de chaque composant. Une bonne convention de signes dès le départ évite 90% des erreurs de calcul.

Normes

La loi de Kirchhoff n'est pas une "norme" au sens industriel, mais une loi physique fondamentale. Cependant, les symboles graphiques pour les résistances, inductances, etc., sont standardisés par des organismes comme la Commission Électrotechnique Internationale (CEI) pour assurer une compréhension universelle des schémas.

Formule(s)

Loi des mailles de Kirchhoff :

\[ \sum V_k = 0 \]

Application au circuit :

\[ E - v_R(t) - v_L(t) - v_C(t) = 0 \Rightarrow E = v_R(t) + v_L(t) + v_C(t) \]
Hypothèses

Pour cette modélisation, nous considérons des composants idéaux : la résistance est pure, l'inductance n'a pas de résistance interne et le condensateur n'a pas de fuite. C'est une simplification courante et valide pour la plupart des analyses académiques.

Donnée(s)

À ce stade, nous travaillons de manière symbolique. Les données sont les relations tension-courant pour chaque composant :

  • Résistance : \(v_R(t) = R \cdot i(t)\)
  • Inductance : \(v_L(t) = L \frac{di(t)}{dt}\)
  • Condensateur : \(v_C(t) = \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau)d\tau + v_C(0^-)\)
Schéma (Avant les calculs)
Circuit RLC Série après fermeture de l'interrupteur
ERLCi(t)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Loi des Mailles
+ E -+ vR -+ vL -+ vC -E - vR - vL - vC = 0
Réflexions

L'équation obtenue est dite "intégro-différentielle" car elle contient à la fois une dérivée (pour l'inductance) et une intégrale (pour le condensateur) du courant. Cela traduit physiquement la "mémoire" du circuit : son état dépend à la fois de la vitesse de variation du courant et de tout le courant qui a circulé auparavant pour charger le condensateur.

Points de vigilance

Le point le plus critique est le respect des conventions de signe. En appliquant la LdM, assurez-vous que les tensions aux bornes des éléments passifs (R, L, C) s'opposent au courant qui les traverse.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : La loi des mailles de Kirchhoff est l'outil de base pour analyser n'importe quel circuit.
  • Formules Essentielles : Maîtriser les relations \(v=Ri\), \(v=L(di/dt)\) et \(i=C(dv/dt)\).
  • Point de Vigilance Majeur : La cohérence des signes des tensions et du courant est primordiale.
Résultat Final
L'équation intégro-différentielle du circuit pour \(t>0\) est : \[ E = R i(t) + L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau)d\tau \]
A vous de jouer

Écrivez l'équation du circuit si le condensateur avait une tension initiale \(V_0\) à ses bornes à \(t=0^-\).

Question 2 : Appliquer la transformée de Laplace pour trouver \(I(s)\)

Principe

Nous allons maintenant transformer chaque terme de l'équation intégro-différentielle dans le domaine de Laplace. L'objectif est de convertir une équation de calcul (avec dérivées et intégrales) en une équation algébrique simple (avec des additions et multiplications) en fonction de la variable complexe \(s\).

Mini-Cours

La transformée de Laplace est une transformation intégrale. Chaque fonction du temps \(f(t)\) a un équivalent \(F(s)\) dans le domaine de Laplace. Les transformées de base à connaître ici sont :
- Constante (échelon) : \(\mathcal{L}\{A \cdot u(t)\} = A/s\)
- Dérivée : \(\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^-)\)
- Intégrale : \(\mathcal{L}\{\int_0^t f(\tau)d\tau\} = F(s)/s\)

Remarque Pédagogique

Considérez la transformée de Laplace comme un "traducteur". Vous traduisez le problème du langage du "temps" au langage de la "fréquence complexe", un langage où le problème est beaucoup plus simple à résoudre. Une fois la solution trouvée dans ce langage simple, il suffira de la "retraduire" dans le langage du temps.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire ici, mais une convention mathématique universelle : on utilise des lettres minuscules pour les fonctions temporelles (ex: \(i(t)\)) et les mêmes lettres en majuscules pour leurs transformées de Laplace (ex: \(I(s)\)).

Formule(s)

Application de l'opérateur de Laplace :

\[ \mathcal{L}\left\{ E \cdot u(t) = R i(t) + L \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \int_0^t i d\tau \right\} \]
Hypothèses

Le circuit est au repos avant \(t=0\). Cela signifie que toutes les conditions initiales sont nulles.

Donnée(s)

Les données sont les conditions initiales :

Courant initial\(i(0^-)\)0A
Tension initiale du condensateur\(v_C(0^-)\)0V
Astuces

Une méthode plus rapide est de transformer directement le circuit. Remplacez chaque composant par son impédance de Laplace (R, sL, 1/sC) et la source de tension par sa transformée (E/s). Le circuit devient un simple diviseur de tension dans le domaine 's', et on trouve \(I(s) = V_{\text{source}}(s) / Z_{\text{total}}(s)\), ce qui mène au même résultat beaucoup plus vite.

Schéma (Avant les calculs)

On peut redessiner le circuit dans le domaine de Laplace :

Circuit RLC dans le Domaine de Laplace
E/sRsL1/sCI(s)
Calcul(s)

Transformation de l'équation terme à terme :

\[ \frac{E}{s} = R I(s) + L[sI(s) - i(0^-)] + \frac{1}{sC}I(s) \]

Avec la condition initiale \(i(0^-) = 0\), l'équation devient :

\[ \frac{E}{s} = R I(s) + sLI(s) + \frac{1}{sC}I(s) \]

Factorisation de \(I(s)\) :

\[ \frac{E}{s} = I(s) \left(R + sL + \frac{1}{sC}\right) \]

Isolation de \(I(s)\) :

\[ \begin{aligned} I(s) &= \frac{E/s}{R + sL + \frac{1}{sC}} \\ &= \frac{E}{s(R + sL + \frac{1}{sC})} \\ &= \frac{E}{sR + s^2L + \frac{1}{C}} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Circuit Équivalent de Thévenin dans le Domaine 's'
E/sZ(s)I(s)I(s) = (E/s) / Z(s)
Résultat Final
L'expression du courant dans le domaine de Laplace est : \[ I(s) = \frac{E/L}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}} \]
A vous de jouer

Trouvez \(I(s)\) si le circuit était un simple circuit RL (sans condensateur). Que devient l'équation ?

Question 3 : Mettre \(I(s)\) sous forme canonique et identifier les pôles

Principe

La forme canonique du second ordre, \(s^2 + 2\zeta\omega_0 s + \omega_0^2\), est une "carte d'identité" standard pour les systèmes comme notre circuit. En comparant notre dénominateur à cette forme, on peut extraire deux paramètres vitaux : la pulsation naturelle \(\omega_0\) (la vitesse à laquelle le circuit "voudrait" osciller) et le facteur d'amortissement \(\zeta\) (la force qui "freine" ces oscillations). Les pôles (les racines de ce dénominateur) nous disent exactement comment le système se comportera.

Mini-Cours

Pôles et Stabilité : Les pôles d'une fonction de transfert sont les valeurs de 's' qui rendent le dénominateur nul (et donc la fonction infinie). Leur position dans le plan complexe est cruciale :
- Partie réelle négative : Le système est stable, la réponse s'atténue vers zéro.
- Partie réelle positive : Le système est instable, la réponse diverge vers l'infini.
- Partie imaginaire non nulle : La réponse est oscillatoire.

Remarque Pédagogique

Avant même de calculer la transformée inverse, l'analyse des pôles vous donne 90% de l'information sur la réponse du circuit. Apprenez à "lire" le plan complexe : c'est comme regarder la bande-annonce du film avant de le voir en entier.

Normes

L'analyse par pôles et zéros est une technique standard en automatique et en théorie du contrôle, régie par des conventions mathématiques strictes mais pas par des normes industrielles spécifiques.

Formule(s)

Racines d'un polynôme du second degré \(As^2+Bs+C=0\) :

\[ \Delta = B^2 - 4AC \Rightarrow s_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A} \]
Hypothèses

Nous supposons que le système est Linéaire et Invariant dans le Temps (LTI). Cela nous garantit que l'analyse par pôles-zéros est valide et que le comportement du circuit ne change pas au fil du temps.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de l'énoncé pour cette étape :

Tension\(E\)24V
Résistance\(R\)8\(\Omega\)
Inductance\(L\)2H
Capacité\(C\)0.02F
Astuces

Le signe du discriminant \(\Delta\) vous dit tout sur la nature des pôles sans même les calculer :
\(\Delta > 0 \Rightarrow\) Deux pôles réels distincts (régime sur-amorti).
\(\Delta = 0 \Rightarrow\) Un pôle réel double (régime critique).
\(\Delta < 0 \Rightarrow\) Deux pôles complexes conjugués (régime sous-amorti).

Schéma (Avant les calculs)
Identification des Coefficients
s² + (R/L)s + 1/(LC)s² + 2ζω₀s + ω₀²R/L = 2ζω₀1/(LC) = ω₀²
Calcul(s)

Substitution des valeurs numériques dans \(I(s)\) :

\[ \begin{aligned} I(s) &= \frac{24/2}{s^2 + (8/2)s + 1/(2 \times 0.02)} \\ &= \frac{12}{s^2 + 4s + 25} \end{aligned} \]

Calcul du discriminant du dénominateur :

\[ \begin{aligned} \Delta &= 4^2 - 4(1)(25) \\ &= 16 - 100 \\ &= -84 \end{aligned} \]

Calcul des pôles (racines du dénominateur) :

\[ \begin{aligned} s_{1,2} &= \frac{-4 \pm \sqrt{-84}}{2} \\ &= \frac{-4 \pm j\sqrt{84}}{2} \\ &= \frac{-4 \pm j2\sqrt{21}}{2} \\ &= -2 \pm j\sqrt{21} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser les pôles dans le plan complexe (plan 's'), avec l'axe horizontal pour la partie réelle (\(\sigma\)) et l'axe vertical pour la partie imaginaire (\(j\omega\)).

Position des Pôles dans le Plan Complexe
jωσs₁-2+j√21s₂-j√21
Réflexions

Les pôles ont une partie réelle de -2, ce qui signifie que la réponse sera amortie par un facteur \(e^{-2t}\). Comme ils sont dans la moitié gauche du plan, le système est stable. Ils ont une partie imaginaire non nulle (\(\pm\sqrt{21}\)), ce qui garantit que la réponse sera oscillatoire.

Points à retenir

La nature des pôles dicte la forme de la réponse temporelle. Complexes = sinusoïde amortie. Réels et distincts = somme de deux exponentielles. Réel double = terme en \(t e^{-at}\).

Le saviez-vous ?

En aéronautique, les ingénieurs en contrôle analysent en permanence les pôles du système de commande d'un avion. Si un pôle venait à "glisser" dans la partie droite du plan complexe à cause d'une défaillance, l'avion deviendrait instable et incontrôlable. C'est un outil vital pour la sécurité aérienne.

FAQ

Qu'est-ce qu'un pôle "physiquement" ?

Un pôle représente une "fréquence naturelle" ou un "mode" du système. C'est une fréquence (complexe) à laquelle le système peut maintenir une sortie sans être excité par une entrée, ce qui correspond à la réponse transitoire intrinsèque du circuit.

Résultat Final
L'expression de \(I(s)\) est \(\frac{12}{s^2 + 4s + 25}\). Les pôles du système sont \(s_1 = -2 + j\sqrt{21}\) et \(s_2 = -2 - j\sqrt{21}\).
A vous de jouer

Sans faire le calcul complet, quelle serait la nature des pôles si on augmentait la résistance R à 25\(\Omega\) ?

Question 4 : Appliquer la transformée inverse pour trouver \(i(t)\)

Principe

Maintenant que nous avons la "traduction" de notre courant, \(I(s)\), nous devons la "retraduire" dans le langage du temps pour obtenir \(i(t)\). Pour cela, on manipule l'expression de \(I(s)\) pour la faire correspondre parfaitement à une entrée d'une table de transformées de Laplace usuelles.

Mini-Cours

Technique de Complétion du Carré : Pour une expression du type \(s^2+Bs+C\) avec des racines complexes, on la réécrit sous la forme \((s+a)^2 + \omega^2\). C'est une étape purement algébrique qui vise à faire apparaître la structure des transformées de sinus et cosinus amortis.

Remarque Pédagogique

C'est souvent l'étape la plus calculatoire. La clé est d'être méthodique. Identifiez la forme cible dans votre table de transformées (ici, un sinus amorti), puis ajustez votre expression pas à pas, en utilisant des astuces comme multiplier et diviser par la même constante pour faire apparaître les bons termes.

Normes

N/A.

Formule(s)

Transformée de Laplace inverse du sinus amorti :

\[ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{(s+a)^2 + \omega^2}\right\} = e^{-at}\sin(\omega t) u(t) \]
Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse n'est requise. Nous continuons de travailler sur le modèle établi précédemment.

Donnée(s)

L'expression à transformer est :

\[ I(s) = \frac{12}{s^2 + 4s + 25} \]
Astuces

Une fois le carré complété en \((s+a)^2 + \omega^2\), identifiez immédiatement \(a\) et \(\omega\). Le terme \(a\) donnera l'exponentielle \(e^{-at}\) et le terme \(\omega\) donnera la pulsation du sinus ou du cosinus.

Schéma (Avant les calculs)
Objectif : Complétion du carré
s² + 4s + 25Transformer en(s+a)² + ω²
Calcul(s)

Complétion du carré au dénominateur :

\[ \begin{aligned} s^2 + 4s + 25 &= (s^2 + 4s + 4) - 4 + 25 \\ &= (s+2)^2 + 21 \\ &= (s+2)^2 + (\sqrt{21})^2 \end{aligned} \]

On identifie \(a=2\) et \(\omega = \sqrt{21}\). L'expression de \(I(s)\) devient :

\[ I(s) = \frac{12}{(s+2)^2 + (\sqrt{21})^2} \]

Ajustement pour la transformée inverse du sinus amorti :

\[ I(s) = \frac{12}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{(s+2)^2 + (\sqrt{21})^2} \]
Schéma (Après les calculs)

La fonction \(i(t)\) est une sinusoïde dont l'amplitude est contenue dans une enveloppe exponentielle décroissante \(y(t) = \pm \frac{12}{\sqrt{21}}e^{-2t}\).

Allure du Courant Temporel \(i(t)\)
i(t)t
Réflexions

Le résultat final a un sens physique clair. \(e^{-2t}\) représente l'amortissement dû à la dissipation d'énergie dans la résistance. \(\sin(\sqrt{21}t)\) représente l'échange d'énergie oscillant entre l'inductance (énergie magnétique) et le condensateur (énergie électrique).

Points de vigilance

Une erreur fréquente est d'oublier le facteur constant que l'on a dû introduire pour faire correspondre la transformée. Ici, il est crucial de ne pas oublier le terme \(\frac{12}{\sqrt{21}}\).

Points à retenir

La transformée inverse d'une fonction avec des pôles complexes conjugués de la forme \(s = -a \pm j\omega\) donnera toujours une réponse temporelle proportionnelle à \(e^{-at}\sin(\omega t + \phi)\).

Le saviez-vous ?

La table de transformées de Laplace est un peu comme un dictionnaire bilingue. La transformée directe est la traduction d'un mot (d'une fonction) du français (temps) vers l'anglais (Laplace), et la transformée inverse est la traduction retour.

FAQ

Pourquoi avons-nous choisi la forme en sinus et non en cosinus ?

Notre numérateur était une constante (12). La transformée du sinus amorti a une constante (\(\omega\)) au numérateur, tandis que celle du cosinus amorti a un terme en 's' (\(s+a\)). Il était donc beaucoup plus simple de viser la forme du sinus.

Résultat Final
Le courant dans le circuit pour \(t>0\) est : \[ i(t) = \frac{12}{\sqrt{21}} e^{-2t}\sin(\sqrt{21}t) \; \text{A} \]
A vous de jouer

Quelle est la valeur du courant à \(t=0.5\; \text{s}\) ? (calculatrice autorisée)

Question 5 : Nature du régime et valeur finale

Principe

Cette dernière étape consiste à interpréter nos résultats pour qualifier le comportement du circuit. On détermine la nature de l'amortissement grâce au facteur \(\zeta\), et on trouve la valeur vers laquelle le courant se stabilise à long terme grâce au théorème de la valeur finale.

Mini-Cours

Théorème de la Valeur Finale : Ce théorème est un raccourci puissant pour trouver la valeur en régime permanent d'une fonction \(f(t)\) directement depuis sa transformée \(F(s)\), sans calculer la transformée inverse. Il stipule que \(\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)\), à condition que le système soit stable (tous les pôles à partie réelle négative).

Remarque Pédagogique

Il est toujours bon de valider un résultat mathématique par une intuition physique. Le théorème de la valeur finale est un excellent outil, mais demandez-vous toujours : "Est-ce que cela a du sens ?". Que devraient devenir une inductance et un condensateur en courant continu après un long moment ? La réponse physique doit correspondre au résultat mathématique.

Normes

N/A.

Formule(s)

Identification avec la forme canonique :

\[ s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC} \equiv s^2 + 2\zeta\omega_0 s + \omega_0^2 \]
Hypothèses

Pour appliquer le théorème de la valeur finale, nous devons nous assurer que le système est stable. Nous l'avons déjà vérifié à la question 3 : les pôles \(s = -2 \pm j\sqrt{21}\) ont bien une partie réelle négative, donc l'hypothèse de stabilité est respectée.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs des composants et le résultat de la Question 2 :

Expression du courant\(I(s)\)\(\frac{12}{s^2 + 4s + 25}\)-
Résistance\(R\)8\(\Omega\)
Inductance\(L\)2H
Capacité\(C\)0.02F
Astuces

Pour l'analyse en régime permanent continu (\(t \to \infty\)), redessinez mentalement le circuit en remplaçant les inductances par des fils (court-circuits) et les condensateurs par des coupures (circuits ouverts). La solution devient alors évidente par une simple analyse de circuit résistif.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit en Régime Permanent Continu
ERCourt-circuitCircuit ouverti(∞) = 0
Calcul(s)

Calcul de la pulsation naturelle \(\omega_0\) :

\[ \omega_0^2 = \frac{1}{LC} = \frac{1}{2 \times 0.02} = 25 \Rightarrow \omega_0 = 5 \; \text{rad/s} \]

Calcul du facteur d'amortissement \(\zeta\) :

\[ \begin{aligned} 2\zeta\omega_0 &= \frac{R}{L} = \frac{8}{2} = 4 \\ \Rightarrow \zeta &= \frac{4}{2\omega_0} = \frac{4}{2 \times 5} = 0.4 \end{aligned} \]

Puisque \(0 < \zeta < 1\), le régime est sous-amorti.

Calcul de la valeur finale du courant :

\[ \begin{aligned} i(\infty) &= \lim_{s \to 0} sI(s) \\ &= \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{12}{s^2 + 4s + 25} \\ &= \frac{0}{0 + 0 + 25} \\ &= 0 \; \text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Les différents types de régimes peuvent être visualisés ainsi :

Comparaison des Régimes Transitoires
Sous-amorti (ζ < 1)Critique (ζ = 1)Sur-amorti (ζ > 1)t
Réflexions

Le résultat \(i(\infty) = 0 \text{ A}\) est parfaitement logique. Après le régime transitoire, le condensateur est complètement chargé à la tension E=24V. En courant continu, un condensateur chargé se comporte comme un interrupteur ouvert, bloquant le passage du courant dans la maille.

Points de vigilance

Ne pas appliquer le théorème de la valeur finale si le système est instable (pôles à partie réelle positive). Le résultat serait mathématiquement faux car la limite dans le temps n'existe pas (elle diverge vers l'infini).

Points à retenir

La valeur de \(\zeta\) est le critère universel pour déterminer la nature de l'amortissement. Le théorème de la valeur finale est un raccourci puissant pour l'analyse en régime permanent.

Le saviez-vous ?

La notion d'amortissement critique (\(\zeta=1\)) est très recherchée en ingénierie. Une suspension de voiture, par exemple, est conçue pour être légèrement sous-amortie ou quasi-critique. Un amortissement trop faible (\(\zeta \ll 1\)) la ferait rebondir sans fin, un amortissement trop fort (\(\zeta \gg 1\)) la rendrait rigide et inconfortable.

FAQ

Quelle est la différence entre la pulsation naturelle \(\omega_0\) et la pulsation amortie \(\omega_d\) ?

\(\omega_0\) est la pulsation à laquelle le système oscillerait s'il n'y avait aucune résistance (pas d'amortissement). \(\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}\) est la pulsation réelle des oscillations lorsque l'amortissement est présent. On a toujours \(\omega_d < \omega_0\) : l'amortissement "ralentit" les oscillations.

Résultat Final
Le régime transitoire est sous-amorti (\(\zeta = 0.4\)). La valeur finale du courant en régime permanent est \(i(\infty) = 0 \; \text{A}\).
A vous de jouer

Quelle valeur de R (en \(\Omega\)) rendrait le régime critiquement amorti (\(\zeta=1\)) ?

Outil Interactif : Simulateur de Réponse RLC

Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de la résistance (R) et de la capacité (C) et observez en temps réel comment la forme de la réponse du courant \(i(t)\) change. Voyez comment le circuit passe d'un régime sous-amorti (oscillant) à un régime sur-amorti (lent) en passant par le cas critique.

Paramètres d'Entrée
8 Ω
20 mF
Résultats Clés
Facteur d'amortissement ζ -
Nature du Régime -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'impédance de Laplace \(Z_L(s)\) d'une inductance L ?

2. Un régime transitoire est dit "sur-amorti" lorsque le facteur d'amortissement ζ est :

3. La transformée de Laplace de la dérivée \(df(t)/dt\) (avec condition initiale nulle) est :

4. Dans un circuit RLC série alimenté par une source continue, que devient le condensateur en régime permanent (\(t \to \infty\)) ?

5. La transformée de Laplace inverse de \(\frac{A}{s+a}\) est :

Transformée de Laplace
Outil mathématique qui convertit des fonctions de la variable temps (t) en fonctions de la variable complexe fréquence (s), transformant les équations différentielles en équations algébriques plus simples.
Régime Transitoire
Le comportement temporaire d'un circuit après un changement soudain, comme la fermeture d'un interrupteur, avant qu'il n'atteigne un état stable (régime permanent).
Facteur d'Amortissement (ζ)
Un nombre sans dimension qui caractérise la rapidité avec laquelle les oscillations d'un système s'atténuent. Il détermine si la réponse est sous-amortie (ζ<1), critique (ζ=1) ou sur-amortie (ζ>1).
Pôles d'un système
Les racines du dénominateur de la fonction de transfert en 's'. La position des pôles dans le plan complexe définit entièrement la stabilité et la nature de la réponse transitoire du système.
Transformée de Laplace pour l'analyse de circuits

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